Wat is het verschil tussen de inverse en de contrapositie?

Beide ontkennen de twee delen, maar de inverse houdt de volgorde ($\neg p \to \neg q$), terwijl de contrapositie die ook verwisselt ($\neg q \to \neg p$). De contrapositie is equivalent met de oorspronkelijke bewering; de inverse is equivalent met de omgekeerde.

Als de oorspronkelijke bewering onwaar is, is de contrapositie dan ook onwaar?

Ja. Ze zijn equivalent, dus ze hebben altijd dezelfde waarheidswaarde. "Als een getal even is, dan is het deelbaar door $4$" is onwaar ($6$ is een tegenvoorbeeld), en dat geldt ook voor "Als een getal niet deelbaar is door $4$, dan is het niet even", met hetzelfde tegenvoorbeeld $6$.

Is een contrapositie hetzelfde als een bewijs uit het ongerijmde?

Nee. Met de contrapositie bewijs je rechtstreeks $\neg q \to \neg p$ in plaats van $p \to q$. Een bewijs uit het ongerijmde neemt aan dat de hele bewering onwaar is en komt uit bij een onmogelijk resultaat. Beide methoden komen aan bod in het onderwerp bewijzen.

Leermiddelen

Contrapositie

Q: Waarom is de contrapositie altijd waar als de oorspronkelijke bewering waar is?

De bewering $p \to q$ zegt: telkens als $p$ gebeurt, gebeurt ook $q$. Dus als $q$ niet gebeurd is, kan $p$ ook niet gebeurd zijn, anders was $q$ gevolgd. Dat is precies $\neg q \to \neg p$. De waarheidstabel bevestigt het in alle vier de gevallen.

Leer hoe je de contrapositie van een als-dan-bewering maakt, waarom die altijd dezelfde waarheidswaarde heeft als de oorspronkelijke bewering en hoe je ermee over getallen redeneert.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De contrapositie van een als-dan-bewering "Als

p

, dan

q

" (

p \to q

) is de bewering "Als niet

q

, dan niet

p

\neg q \to \neg p

Om haar te maken doe je twee dingen: je verwisselt de hypothese (voorwaarde) en de conclusie, en je ontkent ze allebei.

Belangrijk feit: een bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent. Ze zijn altijd allebei waar of allebei onwaar. De waarheidstabel laat het rij voor rij zien (W = waar, O = onwaar):

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p & q & \neg p & \neg q & p \to q & \neg q \to \neg p \\ \hline W & W & O & O & W & W \\ W & O & O & W & O & O \\ O & W & W & O & W & W \\ O & O & W & W & W & W \end{array}

De laatste twee kolommen zijn gelijk, dus schrijven we

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

. (De interactieve tabel in deze les controleert dit voor je: de laatste kolom,

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

, is in elke rij W.)

De vier verwante beweringen bij

p \to q

Oorspronkelijke bewering: $p \to q$
Omgekeerde: $q \to p$ (alleen verwisselen)
Inverse: $\neg p \to \neg q$ (alleen ontkennen)
Contrapositie: $\neg q \to \neg p$ (verwisselen en ontkennen)

De oorspronkelijke bewering en de contrapositie komen altijd overeen. Ook de omgekeerde en de inverse komen altijd met elkaar overeen, want de inverse is de contrapositie van de omgekeerde.

Probeer het meteen

Wat is de contrapositie van

p \to q

Uitgewerkte voorbeelden

Schrijf de contrapositie van: "Als een getal deelbaar is door $10$ , dan eindigt het op $0$ ."

Bepaal de hypothese $p$ en de conclusie $q$

$p$ : een getal is deelbaar door $10$ . $q$ : het eindigt op $0$ . → Twee delen gevonden

Ontken beide delen

$\neg p$ : het getal is niet deelbaar door $10$ . $\neg q$ : het eindigt niet op $0$ . → Beide delen ontkend

Verwissel de volgorde en schrijf $\neg q \to \neg p$

Zet de ontkende conclusie vooraan en de ontkende hypothese achteraan. → Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$ .

Antwoord: Als een getal niet op $0$ eindigt, dan is het niet deelbaar door $10$ . Net als de oorspronkelijke bewering is deze waar: $73$ eindigt bijvoorbeeld niet op $0$ en $73 \div 10 = 7{,}3$ is geen geheel getal.

Veelgemaakte fouten

Alleen de delen verwisselen en $q \to p$ de contrapositie noemen

Waarom het fout is: Verwisselen zonder ontkennen geeft de omgekeerde, en die kan onwaar zijn terwijl de oorspronkelijke bewering waar is.

Correct: Verwissel en ontken beide delen: de contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$ .

" $x > 5$ " ontkennen als " $x < 5$ "

Waarom het fout is: Dan vergeet je het geval $x = 5$ . Elk getal is groter dan $5$ of niet groter dan $5$ , en "niet groter" omvat $5$ zelf.

Correct: De ontkenning van $x > 5$ is $x \le 5$ , en de ontkenning van $x \ge 5$ is $x < 5$ .

Aannemen dat de omgekeerde van een ware bewering ook waar is

Waarom het fout is: "Als $x = 4$ , dan $x^2 = 16$ " is waar, maar "Als $x^2 = 16$ , dan $x = 4$ " is onwaar, want $x = -4$ werkt ook.

Correct: Alleen de contrapositie heeft gegarandeerd dezelfde waarheidswaarde als de oorspronkelijke bewering. De omgekeerde moet je apart controleren.

Verdwalen in dubbele ontkenningen

Waarom het fout is: Bij "Als het niet regent, dan loop ik naar school" schrijven sommigen "Als ik niet loop, dan regent het niet niet" of laten ze per ongeluk een ontkenning weg.

Correct: De ontkenning van "het regent niet" is "het regent". De contrapositie is: "Als ik niet naar school loop, dan regent het."

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Uitdrukkingp → q ↔ ¬q → ¬p

p	q	p → q	¬q	¬p	¬q → ¬p	p → q ↔ ¬q → ¬p
W	W	W	O	O	W	W
W	O	O	W	O	O	W
O	W	W	O	W	W	W
O	O	W	W	W	W	W

W= WaarO= Onwaar

Waarheidstabel

Operator selecteren

p → q

p	q	p → q
W	W	W
W	O	O
O	W	W
O	O	W

W= WaarO= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Wat is de contrapositie van $p \to q$ ?

Oefenproblemen: Contrapositie

1. Wat is de contrapositie van p → q?
2. Regel: als een getal een veelvoud van 4 is, dan is het even. De contrapositie zegt: als een getal niet even is, dan is het geen veelvoud van 4. Welk van de getallen 12, 15, 20, 28 kun je alleen met de contrapositie uitsluiten?
3. Regel: als een getal deelbaar is door 10, dan is het laatste cijfer 0. Gebruik de contrapositie om te beslissen of 7345 deelbaar is door 10.
4. Welke bewering is de contrapositie van "Als een getal op 5 eindigt, dan is het deelbaar door 5"?
5. Een als-dan-bewering is waar. Hoeveel van de drie andere verwante beweringen (omgekeerde, inverse, contrapositie) zijn naast de bewering zelf gegarandeerd ook waar?
6. Bewering: als x = 3, dan 2x = 6. De contrapositie is: als 2x ≠ 6, dan x ≠ 3. Je weet dat 2x = 14. Laat zien dat x niet 3 is en bepaal x.
7. Van een als-dan-bewering p → q weet je dat ze waar is. Welke verwante bewering moet dan ook waar zijn?
8. Gebruik 1 voor waar en 0 voor onwaar. Bepaal in de rij van de waarheidstabel met p = 1 en q = 0 de waarden van de contrapositie en van de oorspronkelijke bewering.
9. Een waarheidstabel voor \neg q \to \neg p heeft 4 rijen. In hoeveel van die rijen is \neg q \to \neg p waar?
10. Gebruik 1 voor waar en 0 voor onwaar. In de rij met p = 0 en q = 1 is de oorspronkelijke bewering p → q gelijk aan 1. Bepaal in deze rij de contrapositie en de omgekeerde.
11. Welke waarden hebben p \to q en \neg q \to \neg p in de rij van de waarheidstabel waarin p waar is en q onwaar?
12. Regel: als een getal een veelvoud van 6 is, dan is het een veelvoud van 3. Om met de contrapositie te laten zien dat 50 geen veelvoud van 6 is, controleer je dat 50 geen veelvoud van 3 is. Wat is de rest als je 50 deelt door 3?
13. Regel: als een getal deelbaar is door 3, dan is de som van de cijfers deelbaar door 3. Gebruik de contrapositie om te beslissen of 2471 deelbaar is door 3.
14. Oorspronkelijke bewering: "Als x = 4, dan x² = 16." Welke van de vier verwante beweringen (oorspronkelijke bewering, omgekeerde, inverse, contrapositie) zijn waar?
15. De bewering "Als 3x + 2 > 20, dan x > 6" is waar. De contrapositie is "Als x ≤ 6, dan 3x + 2 ≤ 20." Controleer de contrapositie voor x = 6 en x = 5.
16. De contrapositie van "Als n² even is, dan is n even" is "Als n oneven is, dan is n² oneven." Controleer dit voor n = 13: schrijf 13² in de vorm 2m + 1. Hoeveel is m?
17. Om te zien waarom "Als n² even is, dan is n even" klopt, controleer je de contrapositie "Als n oneven is, dan is n² oneven" voor n = 9, met de vorm n = 2k + 1.
18. Voor gehele getallen a, b ≥ 0: "Als a + b ≥ 10, dan a ≥ 5 of b ≥ 5." De contrapositie is "Als a < 5 en b < 5, dan a + b < 10." Bepaal de grootst mogelijke waarde van a + b als a < 5 en b < 5.

Waarom het belangrijk is

De contrapositie geeft je een tweede deur naar dezelfde bewering, en soms gaat die deur veel makkelijker open:

Getallen: om te laten zien dat $2750$ niet deelbaar is door $6$ , is het genoeg om te zien dat het niet deelbaar is door $3$
Je werk controleren: als een goed antwoord een geheel getal moet zijn en je krijgt $4{,}5$ , weet je dat er iets misging
Computerprogramma's: "Als het wachtwoord klopt, gaat de deur open." De deur bleef dicht, dus het wachtwoord was fout
Bewijzen: later bewijs je beweringen als "Als $n^2$ even is, dan is $n$ even" door in plaats daarvan de contrapositie te bewijzen

Weten welke verwante beweringen overeenkomen beschermt je ook tegen een heel veelgemaakte fout: aannemen dat de omgekeerde van een ware bewering ook waar moet zijn.

Toepassingen in de echte wereld

Deelbaarheidsregels en controlecijfers

Veel codes en snelle controles uit het hoofd steunen op deelbaarheidsregels, en dankzij de contrapositie kun je een getal afwijzen zonder te delen.

Voorbeeld:

Regel: als een getal deelbaar is door $9$ , dan is de som van de cijfers deelbaar door $9$ . De cijfersom van $5812$ is $16$ , dus $5812$ kan niet deelbaar zijn door $9$ .

1Probeer het zelf

Regel: als een getal deelbaar is door $9$ , dan is de som van de cijfers deelbaar door $9$ . Een medewerker controleert het codenummer $4372$ .

Is $4372$ deelbaar door $9$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de cijfersom van $4372$ als optelling:

Regels voor gratis verzending

Webwinkels hebben vaak regels als "Als je bestelling 50 € of meer is, is de verzending gratis." De contrapositie vertelt je wat verzendkosten op je factuur betekenen.

Voorbeeld:

Contrapositie: als je verzendkosten hebt betaald, dan was je bestelling minder dan 50 €. Een factuur met verzendkosten bewijst dat de bestelling onder de grens bleef.

2Probeer het zelf

Regel: als een bestelling in totaal 50 € of meer is, is de verzending gratis. Anna heeft verzendkosten betaald. In haar winkelmandje zaten een boek van 18 € en een lamp van 27 €.

Wat was het totaal van haar bestelling, en hoeveel had ze nog nodig voor gratis verzending?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het totaal van de bestelling als optelling:

Een ranglijst lezen

Sportfans gebruiken de contrapositie om dingen uit te sluiten op basis van de stand, zonder elke wedstrijd te zien.

Voorbeeld:

In een competitie met $3$ punten voor een winst, $1$ voor een gelijkspel en $0$ voor een verlies geldt: als een team alle $5$ wedstrijden heeft gewonnen, heeft het $15$ punten. Een team met minder dan $15$ punten heeft niet elke wedstrijd gewonnen.

3Probeer het zelf

Regel: als een team alle $5$ wedstrijden wint, dan heeft het $15$ punten ( $3$ per winst, $1$ per gelijkspel, $0$ per verlies). Team Blauw heeft $13$ punten na $5$ wedstrijden.

Heeft Team Blauw alle wedstrijden gewonnen, en hoeveel wedstrijden kan het hoogstens gewonnen hebben?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de punten voor $5$ overwinningen als vermenigvuldiging:

Belangrijke punten

1De contrapositie van $p \to q$ is $\neg q \to \neg p$ : verwissel de twee delen en ontken ze allebei
2Een bewering en haar contrapositie zijn logisch equivalent: ze zijn altijd allebei waar of allebei onwaar
3De waarheidstabel laat het zien: $p \to q$ en $\neg q \to \neg p$ zijn alleen onwaar in de rij $p$ waar, $q$ onwaar
4De omgekeerde $q \to p$ en de inverse $\neg p \to \neg q$ komen met elkaar overeen, maar niet noodzakelijk met de oorspronkelijke bewering
5Ontken zorgvuldig: het tegendeel van $x > 5$ is $x \le 5$ , en het tegendeel van oneven is even
6Als een bewering lastig direct te controleren is, controleer dan haar contrapositie, bijvoorbeeld "als $n$ oneven is, dan is $n^2$ oneven"

Veelgestelde vragen

De bewering

p \to q

zegt: telkens als

p

gebeurt, gebeurt ook

q

. Dus als

q

niet gebeurd is, kan

p

ook niet gebeurd zijn, anders was

q

gevolgd. Dat is precies

\neg q \to \neg p

. De waarheidstabel bevestigt het in alle vier de gevallen.

Woordenlijst

Contrapositie: De bewering $\neg q \to \neg p$ die je uit $p \to q$ krijgt door beide delen te verwisselen en te ontkennen
Omgekeerde: De bewering $q \to p$ , die je krijgt door hypothese en conclusie te verwisselen
Inverse: De bewering $\neg p \to \neg q$ , die je krijgt door hypothese en conclusie te ontkennen zonder ze te verwisselen
Ontkenning (negatie): Het tegendeel van een bewering, geschreven $\neg p$ ; die is precies dan waar als $p$ onwaar is
Logisch equivalent: Twee beweringen die in elke rij van een waarheidstabel dezelfde waarheidswaarde hebben, geschreven met $\equiv$

Formulekaart

Contrapositie

p \to q \equiv \neg q \to \neg p

Beide delen verwisselen en ontkennen; altijd equivalent met de oorspronkelijke bewering

Omgekeerde en inverse

q \to p \equiv \neg p \to \neg q

Met elkaar equivalent, maar niet noodzakelijk met de oorspronkelijke bewering

Ongelijkheden ontkennen

\neg(x > a) \iff x \le a

De ontkenning van "groter dan" is "kleiner dan of gelijk aan"

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Deelbaarheidsregels en controlecijfers

Regels voor gratis verzending

Een ranglijst lezen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Contrapositie

Omgekeerde en inverse

Ongelijkheden ontkennen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse