Als-dan-beweringen

Een **als-dan-bewering**, ook **implicatie** of **conditionele bewering** genoemd, verbindt twee uitspraken met de woorden **als** en **dan**: $$\text{Als } p\text{, dan } q.$$ - Het deel na "als" is de **hypothese** ($p$), de voorwaarde. - Het deel na "dan" is de **conclusie** ($q$), wat eruit moet volgen. In symbolen schrijven we $p \to q$ en lezen we "als $p$, dan $q$" of "$p$ impliceert $q$". **Voorbeeld:** Als een getal op 0 eindigt, dan is het deelbaar door 10. - Hypothese $p$: een getal eindigt op 0 - Conclusie $q$: het getal is deelbaar door 10 Zie een implicatie als een **belofte**. De belofte wordt alleen gebroken als de hypothese uitkomt en de conclusie niet. Dus $p \to q$ is **in precies één geval onwaar**: $p$ is waar en $q$ is onwaar. In alle andere gevallen is ze waar. | $p$ | $q$ | $p \to q$ | |:---:|:---:|:---:| | W | W | W | | W | O | O | | O | W | W | | O | O | W | De interactieve waarheidstabel in deze les toont dezelfde vier rijen in omgekeerde volgorde, te beginnen met de rij O, O. Beide volgordes zijn goed. Een geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar, heet een **tegenvoorbeeld**. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat een implicatie onwaar is.

De hypothese en de conclusie vinden

Bepaal de hypothese en de conclusie: "Als een driehoek een rechte hoek heeft, dan is het een rechthoekige driehoek."

Zoek het deel na "als": "een driehoek heeft een rechte hoek" = Hypothese $p$: een driehoek heeft een rechte hoek

Zoek het deel na "dan": "het is een rechthoekige driehoek" = Conclusie $q$: de driehoek is rechthoekig

Schrijf het in symbolen: Eerst komt de voorwaarde, dan het gevolg = $p \to q$

Answer: Hypothese: een driehoek heeft een rechte hoek. Conclusie: het is een rechthoekige driehoek. In symbolen: $p \to q$.

Een alledaagse zin herschrijven

Schrijf in de als-dan-vorm: "Ik neem een paraplu mee zodra het regent."

Zoek de voorwaarde: Het woord "zodra" leidt de voorwaarde in: het regent = Hypothese: het regent

Zoek wat uit de voorwaarde volgt: Wat gebeurt er als het regent? Ik neem een paraplu mee = Conclusie: ik neem een paraplu mee

Zet de hypothese na "als" en de conclusie na "dan": De zin begon met de conclusie, dus we draaien de volgorde om = Als het regent, dan neem ik een paraplu mee.

Answer: Als het regent, dan neem ik een paraplu mee. In de oorspronkelijke zin staat de hypothese niet altijd vooraan.

Een wiskundige zin herschrijven en controleren

Schrijf "Elk veelvoud van 10 is even" in de als-dan-vorm en controleer het met het getal 70.

Zoek waar we van uitgaan: We gaan uit van een getal dat een veelvoud van 10 is = $p$: een getal is een veelvoud van 10

Zoek wat erover beweerd wordt: Zo'n getal is even = $q$: het getal is even

Schrijf de implicatie: Als $p$, dan $q$ = Als een getal een veelvoud van 10 is, dan is het even.

Controleer met 70: $70 = 10 \times 7$, dus de hypothese is waar. $70 \div 2 = 35$, dus 70 is even = De conclusie is waar voor 70

Answer: Als een getal een veelvoud van 10 is, dan is het even. Voor 70 zijn beide delen waar, dus dit geval klopt met de uitspraak.

Wanneer is een belofte gebroken?

Een docent zegt: "Als je minstens 80 punten haalt, dan krijg je een sticker." Vier leerlingen: Ana haalt 85 punten en krijgt een sticker, Ben haalt 90 punten en krijgt er geen, Cleo haalt 70 punten en krijgt een sticker, Dan haalt 60 punten en krijgt er geen. Wie laat zien dat de docent de belofte heeft gebroken?

Bepaal de hypothese $p$ voor elke leerling: $p$: punten $\geq 80$. Ana $85$, Ben $90$: waar. Cleo $70$, Dan $60$: onwaar = $p$ is alleen waar voor Ana en Ben

Bepaal de conclusie $q$ voor elke leerling: $q$: krijgt een sticker. Ana en Cleo: waar. Ben en Dan: onwaar = $q$ is onwaar voor Ben en Dan

Zoek het enige onware geval: $p$ waar en $q$ onwaar: Ana: W, W. Ben: W, O. Cleo: O, W. Dan: O, O = Alleen Ben heeft W en O

Answer: Alleen Ben laat zien dat de belofte gebroken is: hij haalde minstens 80 punten, maar kreeg geen sticker. Dat Cleo met 70 punten een sticker krijgt, breekt de belofte niet, want de belofte zegt niets over scores onder de 80.

Een uitspraak weerleggen met een tegenvoorbeeld

Is deze uitspraak waar? "Als $x^2 = 25$, dan is $x = 5$."

Zoek waarden die de hypothese waar maken: Welke getallen geven in het kwadraat 25? $5^2 = 25$ en $(-5)^2 = 25$ = $x = 5$ of $x = -5$

Controleer de conclusie voor elke waarde: Voor $x = 5$ is de conclusie $x = 5$ waar. Voor $x = -5$ is de conclusie $x = 5$ onwaar = $x = -5$ geeft W en O

Beslis: Eén geval met een ware hypothese en een onware conclusie is genoeg = $x = -5$ is een tegenvoorbeeld

Answer: De uitspraak is onwaar. Het tegenvoorbeeld $x = -5$ maakt de hypothese $x^2 = 25$ waar, maar de conclusie $x = 5$ onwaar.

Als-dan-beweringen zijn overal, vaak verstopt in gewone zinnen: - **Winkelen**: "Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis." - **Regels en spellen**: "Als je een 6 gooit, dan mag je nog een keer." - **Natuurwetenschappen**: "Als water op zeeniveau tot 100 °C wordt verwarmd, dan kookt het." - **Programmeren**: elke app zit vol opdrachten als "als het wachtwoord klopt, dan open het account". - **Wiskunde**: bijna elke regel en elke stelling is een implicatie, bijvoorbeeld "als een driehoek een rechte hoek heeft, dan geldt $a^2 + b^2 = c^2$" (waarbij $c$ de langste zijde is). In de les Deductief redeneren gebruikte je als-dan-regels als premissen. Nu leer je hoe ze zijn opgebouwd, hoe je ze zelf schrijft en hoe je ze test. Dat is het startpunt voor de omgekeerde, de inverse en de contrapositie, die hierna komen in de lessen Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Mistake: Het eerste deel van de zin voor de hypothese houden, zoals bij "Ik neem een paraplu mee als het regent" → hypothese "ik neem een paraplu mee"

Why: De hypothese is het deel na het woord "als" (of "wanneer", "zodra"), waar het ook in de zin staat.

Correct: Zoek eerst de voorwaarde: "het regent". Schrijf dan: Als het regent, dan neem ik een paraplu mee.

Mistake: Denken dat $p \to q$ onwaar is zodra de hypothese onwaar is

Why: Een implicatie belooft alleen iets voor het geval dat $p$ gebeurt. Als $p$ niet gebeurt, kan de belofte niet gebroken worden.

Correct: $p \to q$ is alleen onwaar in het geval W → O. Als $p$ onwaar is, is de implicatie waar, wat $q$ ook is.

Mistake: Een getal dat niet aan de hypothese voldoet als tegenvoorbeeld gebruiken, bijvoorbeeld $x = 0$ tegen "als $x > 3$, dan $x > 1$"

Why: Voor $x = 0$ is de conclusie $x > 1$ onwaar, maar de hypothese $x > 3$ is ook onwaar, dus dit geval kan de uitspraak niet weerleggen.

Correct: Een tegenvoorbeeld moet de hypothese waar en de conclusie onwaar maken. Voor "als $x > 3$, dan $x > 1$" bestaat zo'n getal niet, dus de uitspraak is waar.

Mistake: Geloven dat één voorbeeld dat klopt de uitspraak bewijst

Why: "Als $n$ een natuurlijk getal is, dan is $2^n + 1$ een priemgetal" klopt voor $n = 1$ ($3$) en $n = 2$ ($5$), maar $n = 3$ geeft $9$, en dat is geen priemgetal.

Correct: Voorbeelden kunnen een uitspraak alleen ondersteunen. Om haar te bewijzen heb je een algemeen argument nodig, maar één tegenvoorbeeld is genoeg om haar te weerleggen.

Online winkelen

Winkels gebruiken als-dan-regels voor gratis verzending, kortingen en cadeaus. Om de aanbieding te gebruiken, moet je de hypothese waar maken.

"Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis." Een bestelling van 52 € maakt de hypothese waar, dus de verzending moet gratis zijn.

Beweringen in de wiskunde testen

Wiskundigen testen een implicatie door een tegenvoorbeeld te zoeken. Vinden ze er een, dan is de bewering onwaar.

"Als een getal een priemgetal is, dan is het oneven" is onwaar, want 2 is een priemgetal en even.

Slimme huizen en programmeren

Een thermostaat werkt met een implicatie: als de kamer kouder is dan een ingestelde waarde, dan gaat de verwarming aan.

"Als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan." Bij 17 °C is de hypothese waar, dus de verwarming moet aangaan. Bij 20 °C wordt er niets beloofd.

Een als-dan-bewering heeft de vorm "als $p$, dan $q$", geschreven als $p \to q$

De hypothese $p$ is de voorwaarde na "als"; de conclusie $q$ is het gevolg na "dan"

Veel zinnen verbergen een implicatie: "elke A is B" betekent "als iets een A is, dan is het een B"

$p \to q$ is alleen onwaar als $p$ waar is en $q$ onwaar (W → O); in de andere drie gevallen is ze waar

Een tegenvoorbeeld maakt de hypothese waar en de conclusie onwaar, en één is genoeg om een uitspraak te weerleggen

Voorbeelden die kloppen ondersteunen een uitspraak, maar ze bewijzen haar niet

Q: Waarom is "als $p$, dan $q$" waar als $p$ onwaar is?

A: Omdat de uitspraak alleen iets belooft voor het geval dat $p$ gebeurt. Als je zegt "als het regent, neem ik een paraplu mee" en het regent niet, dan heb je je woord niet gebroken, wat je ook doet.

Q: Moet het woord "dan" er altijd staan?

A: Nee. "Als het regent, blijf ik thuis", "Ik blijf thuis wanneer het regent" en "Regen betekent dat ik thuisblijf" zijn allemaal dezelfde implicatie. Met "als" en "dan" geschreven zie je de hypothese en de conclusie alleen makkelijker.

Q: Hoeveel tegenvoorbeelden heb ik nodig om te laten zien dat een uitspraak onwaar is?

A: Maar één. Een implicatie beweert dat de conclusie volgt elke keer dat de hypothese waar is, dus één geval met W → O is genoeg om haar te weerleggen.

Q: Wat gebeurt er als ik de hypothese en de conclusie verwissel?

A: Dan krijg je een nieuwe uitspraak die een andere waarheidswaarde kan hebben. "Als een figuur een vierkant is, dan is het een rechthoek" is waar, maar "als een figuur een rechthoek is, dan is het een vierkant" is onwaar. Het verwisselen en ontkennen van de delen is het onderwerp van de volgende lessen, Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Presentatie afsluiten

Als-dan-beweringen

1 / 14

Logica & Verzamelingen / Logisch redeneren

Als-dan-beweringen

Leer uitspraken in de als-dan-vorm te schrijven, de hypothese en de conclusie te herkennen en te bepalen wanneer een implicatie onwaar is.

Gemiddeld25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren