Moet het woord "dan" er altijd staan?

Nee. "Als het regent, blijf ik thuis", "Ik blijf thuis wanneer het regent" en "Regen betekent dat ik thuisblijf" zijn allemaal dezelfde implicatie. Met "als" en "dan" geschreven zie je de hypothese en de conclusie alleen makkelijker.

Hoeveel tegenvoorbeelden heb ik nodig om te laten zien dat een uitspraak onwaar is?

Maar één. Een implicatie beweert dat de conclusie volgt elke keer dat de hypothese waar is, dus één geval met W → O is genoeg om haar te weerleggen.

Wat gebeurt er als ik de hypothese en de conclusie verwissel?

Dan krijg je een nieuwe uitspraak die een andere waarheidswaarde kan hebben. "Als een figuur een vierkant is, dan is het een rechthoek" is waar, maar "als een figuur een rechthoek is, dan is het een vierkant" is onwaar. Het verwisselen en ontkennen van de delen is het onderwerp van de volgende lessen, Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Leermiddelen

Als-dan-beweringen

Q: Waarom is "als $p$, dan $q$" waar als $p$ onwaar is?

Omdat de uitspraak alleen iets belooft voor het geval dat $p$ gebeurt. Als je zegt "als het regent, neem ik een paraplu mee" en het regent niet, dan heb je je woord niet gebroken, wat je ook doet.

Leer uitspraken in de als-dan-vorm te schrijven, de hypothese en de conclusie te herkennen en te bepalen wanneer een implicatie onwaar is.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een als-dan-bewering, ook implicatie of conditionele bewering genoemd, verbindt twee uitspraken met de woorden als en dan:

\text{Als } p\text{, dan } q.

Het deel na "als" is de hypothese ( $p$ ), de voorwaarde.
Het deel na "dan" is de conclusie ( $q$ ), wat eruit moet volgen.

In symbolen schrijven we

p \to q

en lezen we "als

p

, dan

q

" of "

p

impliceert

q

Voorbeeld: Als een getal op 0 eindigt, dan is het deelbaar door 10.

Hypothese $p$ : een getal eindigt op 0
Conclusie $q$ : het getal is deelbaar door 10

Zie een implicatie als een belofte. De belofte wordt alleen gebroken als de hypothese uitkomt en de conclusie niet. Dus

p \to q

is in precies één geval onwaar:

p

is waar en

q

is onwaar. In alle andere gevallen is ze waar.

$p$	$q$	$p \to q$
W	W	W
W	O	O
O	W	W
O	O	W

De interactieve waarheidstabel in deze les toont dezelfde vier rijen in omgekeerde volgorde, te beginnen met de rij O, O. Beide volgordes zijn goed.

Een geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar, heet een tegenvoorbeeld. Eén tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat een implicatie onwaar is.

Probeer het meteen

Wat is de hypothese van de uitspraak "Als het regent, dan wordt de voetbalwedstrijd afgelast"?

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal de hypothese en de conclusie: "Als een driehoek een rechte hoek heeft, dan is het een rechthoekige driehoek."

Zoek het deel na "als"

"een driehoek heeft een rechte hoek" → Hypothese $p$ : een driehoek heeft een rechte hoek

Zoek het deel na "dan"

"het is een rechthoekige driehoek" → Conclusie $q$ : de driehoek is rechthoekig

Schrijf het in symbolen

Eerst komt de voorwaarde, dan het gevolg → $p \to q$

Antwoord: Hypothese: een driehoek heeft een rechte hoek. Conclusie: het is een rechthoekige driehoek. In symbolen: $p \to q$ .

Veelgemaakte fouten

Het eerste deel van de zin voor de hypothese houden, zoals bij "Ik neem een paraplu mee als het regent" → hypothese "ik neem een paraplu mee"

Waarom het fout is: De hypothese is het deel na het woord "als" (of "wanneer", "zodra"), waar het ook in de zin staat.

Correct: Zoek eerst de voorwaarde: "het regent". Schrijf dan: Als het regent, dan neem ik een paraplu mee.

Denken dat $p \to q$ onwaar is zodra de hypothese onwaar is

Waarom het fout is: Een implicatie belooft alleen iets voor het geval dat $p$ gebeurt. Als $p$ niet gebeurt, kan de belofte niet gebroken worden.

Correct: $p \to q$ is alleen onwaar in het geval W → O. Als $p$ onwaar is, is de implicatie waar, wat $q$ ook is.

Een getal dat niet aan de hypothese voldoet als tegenvoorbeeld gebruiken, bijvoorbeeld $x = 0$ tegen "als $x > 3$ , dan $x > 1$ "

Waarom het fout is: Voor $x = 0$ is de conclusie $x > 1$ onwaar, maar de hypothese $x > 3$ is ook onwaar, dus dit geval kan de uitspraak niet weerleggen.

Correct: Een tegenvoorbeeld moet de hypothese waar en de conclusie onwaar maken. Voor "als $x > 3$ , dan $x > 1$ " bestaat zo'n getal niet, dus de uitspraak is waar.

Geloven dat één voorbeeld dat klopt de uitspraak bewijst

Waarom het fout is: "Als $n$ een natuurlijk getal is, dan is $2^n + 1$ een priemgetal" klopt voor $n = 1$ ( $3$ ) en $n = 2$ ( $5$ ), maar $n = 3$ geeft $9$ , en dat is geen priemgetal.

Correct: Voorbeelden kunnen een uitspraak alleen ondersteunen. Om haar te bewijzen heb je een algemeen argument nodig, maar één tegenvoorbeeld is genoeg om haar te weerleggen.

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Operator selecteren

p → q

p	q	p → q
O	O	W
O	W	W
W	O	O
W	W	W

W= WaarO= Onwaar

Waarheidstabel

Operator selecteren

p → q

p	q	p → q
O	O
O	W
W	O
W	W

W= WaarO= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Wat is de hypothese van de uitspraak "Als het regent, dan wordt de voetbalwedstrijd afgelast"?

Oefenproblemen: Als-dan-beweringen

1. Wat is de hypothese van de uitspraak "Als het regent, dan wordt de voetbalwedstrijd afgelast"?
2. Maak de als-dan-bewering af zodat ze waar is: als x = 4, dan 3x - 2 = \square. Welk getal hoort in het vakje?
3. Controleer de uitspraak "Als x = 6, dan 2x + 3 = 15" door 2x + 3 uit te rekenen voor x = 6.
4. Welke zin is "Alle vierkanten zijn rechthoeken" geschreven in de als-dan-vorm?
5. De waarheidstabel van p → q heeft 4 rijen. In hoeveel van deze rijen is p → q onwaar?
6. De regel van een winkel: als je bestelling minstens 30 € is, dan is de verzending gratis. Je koopt een boek van 12 € en een spel van 15 €. Hoeveel euro moet je nog uitgeven zodat de verzending gratis is?
7. In welk geval is de implicatie p → q onwaar?
8. De uitspraak "Als een natuurlijk getal groter is dan 5, dan is het groter dan 8" is onwaar. Wat is het kleinste natuurlijke getal dat een tegenvoorbeeld is?
9. Bewering: als een natuurlijk getal deelbaar is door 2, dan is het deelbaar door 4. Zoek het kleinste positieve tegenvoorbeeld.
10. Mia zegt: "Als ik mijn huiswerk af heb, dan ga ik naar de bioscoop." Ze had haar huiswerk niet af, maar ging toch naar de bioscoop. Is haar uitspraak waar of onwaar?
11. De regel van een winkel: als je minstens 3 schriften koopt, dan kost elk schrift 2 € in plaats van 3 €. Je koopt 4 schriften. Hoeveel euro betaal je in totaal?
12. Uitspraak: als een getal een veelvoud van 6 is, dan is het een veelvoud van 3. Controleer de uitspraak voor het getal 42: deel 42 eerst door 6 en dan door 3. Wat is 42 ÷ 3?
13. Regel: als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan. Om 7:00 uur is het in de kamer 23 °C en de temperatuur daalt elk uur 2 °C. Na hoeveel hele uren gaat de verwarming voor het eerst aan?
14. Welk getal is een tegenvoorbeeld voor de uitspraak "Als een getal een priemgetal is, dan is het oneven"?
15. Bewering: als n een natuurlijk getal groter dan 1 is, dan is n² + n + 1 een priemgetal. Wat is het kleinste tegenvoorbeeld n?
16. Bewering: als n een positief natuurlijk getal is, dan is 2ⁿ + 1 een priemgetal. Test n = 1, 2, 3 en zoek het kleinste tegenvoorbeeld.
17. Uitspraak: als x > 2, dan x² > 9. Welk van de natuurlijke getallen 3, 4 en 5 is een tegenvoorbeeld?
18. Vier kaarten hebben aan de ene kant een getal en aan de andere kant een kleur. Je ziet: 4, 7, rood, blauw. Regel: als een kaart aan één kant een even getal heeft, dan is de andere kant rood. Welke kaarten moet je omdraaien om de regel te controleren, en hoeveel zijn het?

Waarom het belangrijk is

Als-dan-beweringen zijn overal, vaak verstopt in gewone zinnen:

Winkelen: "Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis."
Regels en spellen: "Als je een 6 gooit, dan mag je nog een keer."
Natuurwetenschappen: "Als water op zeeniveau tot 100 °C wordt verwarmd, dan kookt het."
Programmeren: elke app zit vol opdrachten als "als het wachtwoord klopt, dan open het account".
Wiskunde: bijna elke regel en elke stelling is een implicatie, bijvoorbeeld "als een driehoek een rechte hoek heeft, dan geldt $a^2 + b^2 = c^2$ " (waarbij $c$ de langste zijde is).

In de les Deductief redeneren gebruikte je als-dan-regels als premissen. Nu leer je hoe ze zijn opgebouwd, hoe je ze zelf schrijft en hoe je ze test. Dat is het startpunt voor de omgekeerde, de inverse en de contrapositie, die hierna komen in de lessen Omgekeerde en inverse en Contrapositie.

Toepassingen in de echte wereld

Online winkelen

Winkels gebruiken als-dan-regels voor gratis verzending, kortingen en cadeaus. Om de aanbieding te gebruiken, moet je de hypothese waar maken.

Voorbeeld:

"Als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis." Een bestelling van 52 € maakt de hypothese waar, dus de verzending moet gratis zijn.

1Probeer het zelf

Een winkel belooft: als je bestelling minstens 40 € is, dan is de verzending gratis. In je winkelmandje zitten een T-shirt van 18 € en een pet van 15 €.

Hoeveel euro moet je nog uitgeven zodat de hypothese waar wordt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek je totaal af van 40:

Beweringen in de wiskunde testen

Wiskundigen testen een implicatie door een tegenvoorbeeld te zoeken. Vinden ze er een, dan is de bewering onwaar.

Voorbeeld:

"Als een getal een priemgetal is, dan is het oneven" is onwaar, want 2 is een priemgetal en even.

2Probeer het zelf

Een klasgenoot beweert: als een natuurlijk getal een veelvoud van 3 is, dan is het oneven.

Wat is het kleinste positieve tegenvoorbeeld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De veelvouden van 3 zijn 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Schrijf het tweede:

Slimme huizen en programmeren

Een thermostaat werkt met een implicatie: als de kamer kouder is dan een ingestelde waarde, dan gaat de verwarming aan.

Voorbeeld:

"Als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan." Bij 17 °C is de hypothese waar, dus de verwarming moet aangaan. Bij 20 °C wordt er niets beloofd.

3Probeer het zelf

De regel is: als de temperatuur onder 18 °C is, dan gaat de verwarming aan. Om 7:00 uur is het in de kamer 22 °C en het koelt elk uur 3 °C af.

Hoe warm is het na 2 uur, en staat de verwarming aan?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij 22 en trek twee keer 3 af:

Belangrijke punten

1Een als-dan-bewering heeft de vorm "als $p$ , dan $q$ ", geschreven als $p \to q$
2De hypothese $p$ is de voorwaarde na "als"; de conclusie $q$ is het gevolg na "dan"
3Veel zinnen verbergen een implicatie: "elke A is B" betekent "als iets een A is, dan is het een B"
4 $p \to q$ is alleen onwaar als $p$ waar is en $q$ onwaar (W → O); in de andere drie gevallen is ze waar
5Een tegenvoorbeeld maakt de hypothese waar en de conclusie onwaar, en één is genoeg om een uitspraak te weerleggen
6Voorbeelden die kloppen ondersteunen een uitspraak, maar ze bewijzen haar niet

Veelgestelde vragen

Omdat de uitspraak alleen iets belooft voor het geval dat

p

gebeurt. Als je zegt "als het regent, neem ik een paraplu mee" en het regent niet, dan heb je je woord niet gebroken, wat je ook doet.

Woordenlijst

Als-dan-bewering: Een uitspraak van de vorm "als $p$ , dan $q$ ", ook conditionele bewering genoemd
Hypothese: De voorwaarde van een implicatie, het deel na "als" ( $p$ )
Conclusie: Het gevolg van een implicatie, het deel na "dan" ( $q$ )
Implicatie: Een andere naam voor een als-dan-bewering; $p \to q$ lees je als " $p$ impliceert $q$ "
Tegenvoorbeeld: Een geval waarin de hypothese waar is en de conclusie onwaar; het laat zien dat een implicatie onwaar is
Waarheidswaarde: Of een uitspraak waar (W) of onwaar (O) is

Formulekaart

Implicatie

p \to q

Lees "als $p$, dan $q$": $p$ is de hypothese, $q$ de conclusie

Enige onware geval

W \to O = O

Een implicatie is alleen onwaar als de hypothese waar is en de conclusie onwaar

Tegenvoorbeeld

p \text{ waar en } q \text{ onwaar}

Eén zo'n geval is genoeg om $p \to q$ te weerleggen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Online winkelen

Beweringen in de wiskunde testen

Slimme huizen en programmeren

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Implicatie

Enige onware geval

Tegenvoorbeeld

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Omgekeerde en inverse

Contrapositie