Sommen van oneven getallen

Tel de eerste oneven getallen op: $1$, $1 + 3$, $1 + 3 + 5$, $1 + 3 + 5 + 7$. Stel een vermoeden op en voorspel daarmee de som van de eerste $10$ oneven getallen.

Bekijk de gevallen: $1 = 1$, $1 + 3 = 4$, $1 + 3 + 5 = 9$, $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ = Sommen: $1, 4, 9, 16$

Zoek een patroon: $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $16 = 4^2$ = Elke som is een kwadraat

Stel een vermoeden op: Met $n$ oneven getallen lijkt de som $n \times n$ te zijn = Som van de eerste $n$ oneven getallen $= n^2$

Test het met een nieuw geval: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ = Het vermoeden doorstaat de test

Gebruik het om te voorspellen: $n = 10$: $10^2 = 100$ = $100$

Answer: Vermoeden: de som van de eerste $n$ oneven getallen is $n^2$. De som van de eerste $10$ oneven getallen zou $100$ moeten zijn (en dit vermoeden is inderdaad bewezen).

Een vermoeden weerleggen met nul en negatieve getallen

Leo test de bewering "als je een getal verdubbelt, wordt het altijd groter" met $3$, $10$ en $25$. Is de bewering waar?

Controleer de gevallen van Leo: $3 \to 6$, $10 \to 20$, $25 \to 50$ = Alle drie werden groter

Probeer een ander soort getal: nul: $2 \times 0 = 0$ = $0$ is niet groter dan $0$

Probeer een negatief getal: $2 \times (-5) = -10$, en $-10 < -5$ = Het dubbele is kleiner

Beslis: Eén tegenvoorbeeld is genoeg = De bewering is onwaar

Answer: De bewering is onwaar: $0$ en $-5$ zijn tegenvoorbeelden. Een verbeterd vermoeden is "als je een positief getal verdubbelt, wordt het groter".

Diagonalen van veelhoeken

Een driehoek heeft $0$ diagonalen, een vierhoek $2$, een vijfhoek $5$ en een zeshoek $9$. Voorspel het aantal diagonalen van een achthoek.

Zet de gevallen op een rij: $3$ zijden: $0$, $4$ zijden: $2$, $5$ zijden: $5$, $6$ zijden: $9$ = $0, 2, 5, 9$

Bepaal de verschillen: $2 - 0 = 2$, $5 - 2 = 3$, $9 - 5 = 4$ = De verschillen worden steeds $1$ groter

Zet het patroon voort: Zevenhoek: $9 + 5 = 14$, achthoek: $14 + 6 = 20$ = Voorspelling: $20$

Controleer met een formule die bij alle gevallen past: $\frac{n(n - 3)}{2}$: $\frac{6 \times 3}{2} = 9$, $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ = Beide manieren geven $20$

Answer: Een achthoek zou $20$ diagonalen moeten hebben. Als je ze in een tekening telt, klopt dat.

Veertig gevallen en toch fout

Test het vermoeden "$n^2 + n + 41$ is altijd een priemgetal" voor $n = 0, 1, 2, 3$ en daarna voor $n = 40$.

Test kleine waarden: $n = 0$: $41$, $n = 1$: $43$, $n = 2$: $47$, $n = 3$: $53$ = Allemaal priem

Merk op hoe ver het gaat: Het blijft priemgetallen geven tot $n = 39$ = $40$ gevallen op rij kloppen

Test $n = 40$: $40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41$ = $1681$

Controleer of $1681$ priem is: $1681 = 41 \times 41$ = Niet priem: een tegenvoorbeeld

Answer: Het vermoeden is onwaar. $n = 40$ is een tegenvoorbeeld, ook al klopten de eerste $40$ gevallen allemaal.

Inductief en deductief naast elkaar

Mia ziet: $3 + 5 = 8$, $7 + 9 = 16$, $11 + 1 = 12$. Wat kan ze concluderen over de som van twee oneven getallen, en hoe kan ze het zeker weten?

Redeneer inductief: $8$, $16$ en $12$ zijn allemaal even = Vermoeden: oneven $+$ oneven is even

Zie de grens: Drie gevallen kunnen niet elk paar oneven getallen controleren = Voorlopig alleen waarschijnlijk waar

Redeneer deductief: Oneven getallen zijn $2a + 1$ en $2b + 1$: $(2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$ = Altijd een veelvoud van $2$

Vergelijk: De voorbeelden gaven het idee, de algebra gaf het bewijs = Nu is het zeker

Answer: Inductief redeneren geeft het vermoeden "oneven $+$ oneven is even". Deductief redeneren met $2(a + b + 1)$ bewijst het voor alle oneven getallen.

Mistake: Denken dat een vermoeden bewezen is omdat het in veel gevallen klopte

Why: Voorbeelden kunnen een vermoeden alleen steunen. $n^2 + n + 41$ is priem voor $40$ waarden op rij en gaat toch mis bij $n = 40$.

Correct: Noem het een vermoeden tot het bewezen is. Zeg "waarschijnlijk waar", niet "waar".

Mistake: Denken dat één tegenvoorbeeld niet genoeg is om een vermoeden te verwerpen

Why: Een vermoeden beweert iets over elk geval. Als ook maar één geval niet klopt, is de bewering "altijd" onwaar.

Correct: Eén tegenvoorbeeld is genoeg. $2$ is priem en even, dus "alle priemgetallen zijn oneven" is onwaar.

Mistake: Alleen makkelijke, positieve gehele getallen testen

Why: Veel vermoedens gaan mis bij $0$, bij negatieve getallen of bij breuken. "Kwadrateren maakt een getal groter" klopt voor $2, 3, 10$ maar niet voor $\frac{1}{2}$: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Correct: Test bewust bijzondere gevallen: $0$, $1$, negatieve getallen, breuken en grote getallen.

Mistake: Volledige inductie verwarren met inductief redeneren

Why: De namen lijken op elkaar, maar volledige inductie is een deductieve bewijsmethode met een basisstap en een inductiestap.

Correct: Inductief redeneren stelt een vermoeden op uit voorbeelden. Volledige inductie bewijst een bewering voor alle natuurlijke getallen.

Weersverwachting

Meteorologen vergelijken vandaag met veel eerdere dagen die erop leken. Wat daarna meestal gebeurde, wordt de verwachting. Daarom geven weersverwachtingen kansen en geen zekerheden.

Als het op $80$ van de $100$ eerdere dagen met deze wolken en deze wind de volgende dag regende, meldt de verwachting $80\%$ kans op regen.

Proeven in de wetenschap

Wetenschappers herhalen metingen, zoeken een patroon en stellen een regel op. Ze vertrouwen op de regel zolang geen enkele proef hem weerlegt.

Als je $1$, $2$ en $3$ gelijke gewichtjes aan een veer hangt, rekt die $3$ cm, $6$ cm en $9$ cm uit. Het vermoeden: $3$ cm uitrekking per gewichtje. Met te veel gewichtjes raakt de veer beschadigd en klopt de regel niet meer.

Een toernooi plannen

In een halve competitie speelt elk team precies één keer tegen elk ander team. Organisatoren kunnen het aantal wedstrijden vinden met kleine gevallen en een vermoeden.

$2$ teams spelen $1$ wedstrijd, $3$ teams spelen er $3$, $4$ teams spelen er $6$. Het vermoeden $\frac{n(n - 1)}{2}$ past bij alle drie de gevallen, en hier kun je het zelfs bewijzen: elk van de $n$ teams speelt tegen $n - 1$ andere, en elke wedstrijd wordt twee keer geteld.

Q: Als inductief redeneren fout kan zijn, waarom gebruiken we het dan?

A: Omdat we zo ideeën vinden die de moeite waard zijn om te bewijzen. Deductief redeneren heeft een bewering nodig om mee te beginnen, en die bewering ontstaat meestal doordat je een patroon in voorbeelden ziet.

Q: Hoeveel voorbeelden heb ik nodig voordat ik een vermoeden kan vertrouwen?

A: Geen enkel aantal voorbeelden geeft zekerheid. $n^2 + n + 41$ klopt $40$ keer en gaat dan mis. Meer en gevarieerdere voorbeelden maken een vermoeden geloofwaardiger, maar alleen een bewijs maakt het zeker.

Q: Is volledige inductie een soort inductief redeneren?

A: Nee. Ondanks de naam is volledige inductie een deductief bewijs: je bewijst een basisstap en je bewijst dat elk geval het volgende geval oplevert, dus de bewering is zeker voor alle natuurlijke getallen.

Q: Zijn er beroemde vermoedens die nog niemand heeft bewezen?

A: Ja. Het vermoeden van Goldbach zegt dat elk even getal groter dan $2$ de som is van twee priemgetallen, zoals $10 = 3 + 7$. Computers hebben het gecontroleerd voor elk even getal tot $4 \times 10^{18}$, maar het is nog steeds niet bewezen.