Hoeveel voorbeelden heb ik nodig voordat ik een vermoeden kan vertrouwen?

Geen enkel aantal voorbeelden geeft zekerheid. $n^2 + n + 41$ klopt $40$ keer en gaat dan mis. Meer en gevarieerdere voorbeelden maken een vermoeden geloofwaardiger, maar alleen een bewijs maakt het zeker.

Is volledige inductie een soort inductief redeneren?

Nee. Ondanks de naam is volledige inductie een deductief bewijs: je bewijst een basisstap en je bewijst dat elk geval het volgende geval oplevert, dus de bewering is zeker voor alle natuurlijke getallen.

Zijn er beroemde vermoedens die nog niemand heeft bewezen?

Ja. Het vermoeden van Goldbach zegt dat elk even getal groter dan $2$ de som is van twee priemgetallen, zoals $10 = 3 + 7$. Computers hebben het gecontroleerd voor elk even getal tot $4 \times 10^{18}$, maar het is nog steeds niet bewezen.

Leermiddelen

Inductief redeneren

Leer een vermoeden opstellen uit losse gevallen, het testen met nieuwe gevallen en het weerleggen met een tegenvoorbeeld.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Inductief redeneren betekent: je bekijkt losse gevallen, ziet een patroon en doet een algemene gok. Die gok heet een vermoeden.

Inductief redeneren gaat in vier stappen:

1.Waarnemen van losse gevallen: $1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$
2.Een vermoeden opstellen: de som van de eerste $n$ oneven getallen is $n^2$
3.Testen met nieuwe gevallen: $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2$ , klopt nog steeds
4.Bewijzen of weerleggen: een bewijs laat zien dat het altijd klopt, één tegenvoorbeeld laat zien dat het fout is

Een vermoeden dat uit inductief redeneren komt, is alleen waarschijnlijk waar, nooit zeker. De uitdrukking

n^2 + n + 41

geeft een priemgetal voor

n = 0, 1, 2, \ldots, 39

, veertig gevallen op rij, en toch geeft ze voor

n = 40

het getal

1681 = 41 \times 41

, en dat is geen priemgetal.

Deductief redeneren gaat de andere kant op: het begint bij feiten waarvan je weet dat ze waar zijn en komt tot een conclusie die waar moet zijn. Inductief redeneren vindt ideeën, deductief redeneren bewijst ze.

Let op de namen: volledige inductie (uit het onderwerp Bewijzen) is een deductieve bewijsmethode en geen inductief redeneren.

Probeer het meteen

Welk van deze voorbeelden is inductief redeneren?

Uitgewerkte voorbeelden

Tel de eerste oneven getallen op: $1$ , $1 + 3$ , $1 + 3 + 5$ , $1 + 3 + 5 + 7$ . Stel een vermoeden op en voorspel daarmee de som van de eerste $10$ oneven getallen.

Bekijk de gevallen

$1 = 1$ , $1 + 3 = 4$ , $1 + 3 + 5 = 9$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ → Sommen: $1, 4, 9, 16$

Zoek een patroon

$1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ , $16 = 4^2$ → Elke som is een kwadraat

Stel een vermoeden op

Met $n$ oneven getallen lijkt de som $n \times n$ te zijn → Som van de eerste $n$ oneven getallen $= n^2$

Test het met een nieuw geval

$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2$ → Het vermoeden doorstaat de test

Gebruik het om te voorspellen

$n = 10$ : $10^2 = 100$

Antwoord: Vermoeden: de som van de eerste $n$ oneven getallen is $n^2$ . De som van de eerste $10$ oneven getallen zou $100$ moeten zijn (en dit vermoeden is inderdaad bewezen).

Veelgemaakte fouten

Denken dat een vermoeden bewezen is omdat het in veel gevallen klopte

Waarom het fout is: Voorbeelden kunnen een vermoeden alleen steunen. $n^2 + n + 41$ is priem voor $40$ waarden op rij en gaat toch mis bij $n = 40$ .

Correct: Noem het een vermoeden tot het bewezen is. Zeg "waarschijnlijk waar", niet "waar".

Denken dat één tegenvoorbeeld niet genoeg is om een vermoeden te verwerpen

Waarom het fout is: Een vermoeden beweert iets over elk geval. Als ook maar één geval niet klopt, is de bewering "altijd" onwaar.

Correct: Eén tegenvoorbeeld is genoeg. $2$ is priem en even, dus "alle priemgetallen zijn oneven" is onwaar.

Alleen makkelijke, positieve gehele getallen testen

Waarom het fout is: Veel vermoedens gaan mis bij $0$ , bij negatieve getallen of bij breuken. "Kwadrateren maakt een getal groter" klopt voor $2, 3, 10$ maar niet voor $\frac{1}{2}$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Correct: Test bewust bijzondere gevallen: $0$ , $1$ , negatieve getallen, breuken en grote getallen.

Volledige inductie verwarren met inductief redeneren

Waarom het fout is: De namen lijken op elkaar, maar volledige inductie is een deductieve bewijsmethode met een basisstap en een inductiestap.

Correct: Inductief redeneren stelt een vermoeden op uit voorbeelden. Volledige inductie bewijst een bewering voor alle natuurlijke getallen.

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Eerste term (a₁ = 1)

Verschil (d = 2)

11,

13,

, ...

Formule

a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1

Somformule: S_8 = 8/2 × (2×1 + 7×2) = 64

Partiële sommen

S₁ = 1S₂ = 4S₃ = 9S₄ = 16S₅ = 25S₆ = 36S₇ = 49S₈ = 64

a_1

a_5

a_10

a_20

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welk van deze voorbeelden is inductief redeneren?

Oefenproblemen: Inductief redeneren

1. Welk van deze voorbeelden is inductief redeneren?
2. Gebruik het vermoeden "de som van de eerste n oneven getallen is n²" om 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 te vinden zonder getal voor getal op te tellen.
3. Stippen worden in driehoeken gelegd: figuur 1 heeft 1 stip, figuur 2 heeft 3 stippen, figuur 3 heeft 6 stippen en figuur 4 heeft 10 stippen. Hoeveel stippen heeft figuur 6 als het patroon doorgaat?
4. Welk getal is een tegenvoorbeeld voor het vermoeden "alle priemgetallen zijn oneven"?
5. Vermoeden: "een getal verdubbelen maakt het altijd groter." Welk getal is gelijk aan zijn eigen dubbele en is dus een tegenvoorbeeld?
6. Een zonnebloem is 2 cm hoog na week 1, 5 cm na week 2, 8 cm na week 3 en 11 cm na week 4. Hoe hoog is hij na week 8 (in cm) als het patroon doorgaat?
7. Vermoeden: de som van de eerste n oneven getallen is n². Test het met n = 5 en voorspel daarmee de som van de eerste 20 oneven getallen.
8. Tom rekent 1 + 5, 9 + 3 en 15 + 7 uit, krijgt elke keer een even getal en concludeert: "de som van twee oneven getallen is altijd even." Welk soort redeneren gebruikte Tom?
9. Een driehoek heeft 0 diagonalen, een vierhoek 2, een vijfhoek 5, een zeshoek 9, een zevenhoek 14 en een achthoek 20. Zet het patroon voort: hoeveel diagonalen heeft een negenhoek?
10. Bekijk deze producten: 11 × 11 = 121, 111 × 111 = 12321, 1111 × 1111 = 1234321. Stel een vermoeden op en voorspel 11111 × 11111.
11. Lena beweert: "een getal kwadrateren maakt het altijd groter." Test haar bewering met 1/2: wat is (1/2)²? Schrijf je antwoord als breuk.
12. De uitdrukking n² + n + 41 geeft een priemgetal voor elke n van 0 tot 39. Voor n = 40 geeft ze 1681. Welke bewering is juist?
13. Op een feest geeft iedereen iedereen precies één keer een hand. Met 2 personen is er 1 handdruk, met 3 personen zijn er 3 en met 4 personen 6. Hoeveel handdrukken zijn er met 10 personen?
14. Test het vermoeden "n² + n + 41 is altijd priem" stap voor stap en vind de waarde die het weerlegt bij n = 40.
15. Uit de gevallen 0, 2, 5, 9 (veelhoeken met 3 tot 6 zijden) hebben we het vermoeden opgesteld dat een veelhoek met n zijden (n(n - 3))/2 diagonalen heeft. Gebruik het: hoeveel diagonalen heeft een veelhoek met 12 zijden?
16. Sam ziet: 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127, allemaal priem. Hij vermoedt: "als p priem is, dan is 2^p - 1 priem." Welke waarde van p is een tegenvoorbeeld?
17. Zet punten op een cirkel en verbind elk paar punten met een lijnstuk. Tel de gebieden binnen de cirkel: 1 punt geeft 1 gebied, 2 punten geven 2, 3 punten 4, 4 punten 8, 5 punten 16. Een zorgvuldige tekening met 6 punten, zo geplaatst dat er nooit drie lijnstukken door één punt gaan, laat 31 gebieden zien. Test het verdubbelingsvermoeden: hoeveel gebieden zit de voorspelling ernaast?
18. Vermoeden: "de som van drie opeenvolgende gehele getallen is altijd 3 keer het middelste getal." Test het inductief en gebruik daarna de deductieve versie om 49 + 50 + 51 te vinden.

Waarom het belangrijk is

De meeste nieuwe ideeën beginnen met inductief redeneren, in de wiskunde en in het dagelijks leven:

Weer: meteorologen vergelijken veel eerdere dagen met vergelijkbare wolken, wind en luchtdruk en voorspellen wat er morgen waarschijnlijk gebeurt
Wetenschap: een onderzoeker herhaalt een proef vaak en formuleert een wet die bij alle resultaten past, totdat een nieuw resultaat die wet onderuit haalt
Wiskunde: beroemde stellingen begonnen als vermoedens die werden gevonden door voorbeelden te controleren; sommige, zoals het vermoeden van Goldbach, zijn nog steeds niet bewezen
Dagelijks leven: als de bus deze week elke ochtend te laat was, ga je morgen eerder van huis

De grenzen kennen is net zo belangrijk: één tegenvoorbeeld is genoeg om een vermoeden onderuit te halen, hoeveel voorbeelden het ook steunden.

Toepassingen in de echte wereld

Weersverwachting

Meteorologen vergelijken vandaag met veel eerdere dagen die erop leken. Wat daarna meestal gebeurde, wordt de verwachting. Daarom geven weersverwachtingen kansen en geen zekerheden.

Voorbeeld:

Als het op $80$ van de $100$ eerdere dagen met deze wolken en deze wind de volgende dag regende, meldt de verwachting $80\%$ kans op regen.

1Probeer het zelf

De ochtendtemperatuur was op maandag $8°C$ , op dinsdag $10°C$ , op woensdag $12°C$ en op donderdag $14°C$ .

Als het patroon doorgaat, hoe warm is het dan op zaterdagochtend?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin bij de $14$ graden van donderdag en tel er $2$ dagen van $2$ graden bij op:

Proeven in de wetenschap

Wetenschappers herhalen metingen, zoeken een patroon en stellen een regel op. Ze vertrouwen op de regel zolang geen enkele proef hem weerlegt.

Voorbeeld:

Als je $1$ , $2$ en $3$ gelijke gewichtjes aan een veer hangt, rekt die $3$ cm, $6$ cm en $9$ cm uit. Het vermoeden: $3$ cm uitrekking per gewichtje. Met te veel gewichtjes raakt de veer beschadigd en klopt de regel niet meer.

2Probeer het zelf

Een veer rekt $3$ cm uit met $1$ gewichtje, $6$ cm met $2$ gewichtjes en $9$ cm met $3$ gewichtjes.

Hoeveel rekt de veer volgens het vermoeden uit met $7$ gewichtjes?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vermenigvuldig de uitrekking per gewichtje met het aantal gewichtjes:

Een toernooi plannen

In een halve competitie speelt elk team precies één keer tegen elk ander team. Organisatoren kunnen het aantal wedstrijden vinden met kleine gevallen en een vermoeden.

Voorbeeld:

$2$ teams spelen $1$ wedstrijd, $3$ teams spelen er $3$ , $4$ teams spelen er $6$ . Het vermoeden $\frac{n(n - 1)}{2}$ past bij alle drie de gevallen, en hier kun je het zelfs bewijzen: elk van de $n$ teams speelt tegen $n - 1$ andere, en elke wedstrijd wordt twee keer geteld.

3Probeer het zelf

De schaakclub van een school heeft $8$ spelers. Elke speler speelt precies één keer tegen elke andere speler.

Hoeveel partijen worden er gespeeld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik het vermoeden $\frac{n(n - 1)}{2}$ met $n = 8$ :

Belangrijke punten

1Inductief redeneren gaat van losse gevallen naar een algemeen vermoeden
2Test een vermoeden met nieuwe gevallen, vooral met $0$ , negatieve getallen, breuken en grote getallen
3Veel voorbeelden maken een vermoeden waarschijnlijk waar, maar ze bewijzen het nooit
4Eén tegenvoorbeeld is genoeg om te laten zien dat een vermoeden onwaar is
5Deductief redeneren bewijst een vermoeden: inductief redeneren vindt het idee, deductief redeneren maakt het zeker
6Volledige inductie is een deductieve bewijsmethode en geen inductief redeneren

Veelgestelde vragen

Omdat we zo ideeën vinden die de moeite waard zijn om te bewijzen. Deductief redeneren heeft een bewering nodig om mee te beginnen, en die bewering ontstaat meestal doordat je een patroon in voorbeelden ziet.

Woordenlijst

Inductief redeneren: Redeneren van losse gevallen naar een algemene conclusie die waarschijnlijk, maar niet zeker waar is
Vermoeden: Een algemene bewering die op grond van voorbeelden waar lijkt, maar die niet bewezen is
Tegenvoorbeeld: Eén geval waarin een bewering onwaar is; het laat zien dat de bewering niet altijd geldt
Deductief redeneren: Redeneren van bekende feiten en regels naar een conclusie die waar moet zijn
Bewijs: Een deductieve redenering die laat zien dat een bewering in elk geval waar is

Formulekaart

De inductieve kringloop

\text{waarnemen} \to \text{vermoeden} \to \text{testen} \to \text{bewijzen of weerleggen}

Voorbeelden leiden tot een vermoeden; testen en bewijzen beslissen of het standhoudt

Som van de eerste n oneven getallen

1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2

Inductief gevonden uit voorbeelden, later bewezen

Diagonalen van een veelhoek

d = \frac{n(n - 3)}{2}

Aantal diagonalen van een veelhoek met $n$ zijden

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Formule

Partiële sommen

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Weersverwachting

Proeven in de wetenschap

Een toernooi plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

De inductieve kringloop

Som van de eerste n oneven getallen

Diagonalen van een veelhoek

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse