Veelvoorkomende drogredenen

Een **drogreden** is een fout in een redenering: de conclusie **volgt niet** uit de premissen, ook al klinkt de redenering overtuigend. Er zijn twee families. **1. Formele drogredenen** zijn fouten in de **vorm** van een redenering. Twee ervan komen voort uit als-dan-beweringen $p \to q$. Vergelijk ze met de twee geldige vormen: $$\begin{array}{l|c|c|c} \text{Vorm} & \text{Premissen} & \text{Conclusie} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{geldig} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{geldig} \\ \text{Bevestigen van de consequent} & p \to q,\ q & p & \text{ongeldig} \\ \text{Ontkennen van de antecedent} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{ongeldig} \end{array}$$ Het bevestigen van de consequent is de fout van het omgekeerde ($q \to p$), en het ontkennen van de antecedent is de fout van de inverse ($\neg p \to \neg q$). De waarheidstabel laat zien waarom ze mislukken: in de rij waarin $p$ F (onwaar) is en $q$ T (waar), is $p \to q$ waar en $q$ waar, dus beide premissen zijn waar, maar $p$ is onwaar. (De interactieve tabel controleert de fout van het omgekeerde: de laatste kolom is precies in deze rij O. Hij schrijft W voor waar en O voor onwaar.) **2. Informele drogredenen** zijn fouten in de **inhoud** van een redenering: - **Ad-hominemargument (op de man spelen)**: de persoon aanvallen in plaats van zijn redenering. - **Stropopredenering**: de bewering van de ander veranderen in een zwakkere versie en die aanvallen. - **Vals dilemma**: maar twee mogelijkheden noemen terwijl er meer zijn. - **Overhaaste generalisatie**: een algemene regel op basis van te weinig gevallen. - **Cirkelredenering**: de conclusie zit al verstopt in de premissen. - **Hellend vlak**: beweren dat een kleine stap onvermijdelijk tot een ramp leidt. - **Beroep op autoriteit**: iets is waar omdat een beroemd of machtig persoon het zegt. - **Correlatie en causaliteit**: twee dingen gebeuren samen, dus zou het ene het andere veroorzaken. **Belangrijk:** een drogreden laat zien dat de redenering haar conclusie niet **bewijst**. De conclusie zelf kan nog steeds waar of onwaar zijn.

Bevestigen van de consequent

Redenering: als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. 14 is even. Dus 14 is deelbaar door 6. Is de redenering geldig?

Benoem de delen: $p$: het getal is deelbaar door 6. $q$: het getal is even. = Regel: $p \to q$

Zoek uit welk deel gegeven is: We horen dat 14 even is, dus de conclusie $q$ is gegeven, en de redenering leidt daaruit $p$ af. = Vorm: $p \to q,\ q$, dus $p$

Vergelijk met de geldige vormen: Modus ponens heeft $p$ nodig als premisse, niet $q$. Dit is het bevestigen van de consequent. = Ongeldige vorm

Controleer met een berekening: $14 \div 6 = 2$ rest $2$ = 14 is niet deelbaar door 6

Answer: De redenering is ongeldig: ze bevestigt de consequent. 14 is even maar niet deelbaar door 6, dus de conclusie is hier zelfs onwaar.

Ontkennen van de antecedent

Redenering: als een getal deelbaar is door 4, dan is het even. 10 is niet deelbaar door 4. Dus 10 is niet even. Vind de fout en verbeter de redenering.

Schrijf de vorm op: $p$: deelbaar door 4. $q$: even. Uit $\neg p$ concludeert de redenering $\neg q$. = Ontkennen van de antecedent

Test de conclusie: $10 \div 4 = 2{,}5$, maar $10 \div 2 = 5$ = 10 is even, de conclusie is onwaar

Zoek de geldige vorm: Modus tollens gebruikt $\neg q$: als een getal niet even is, dan is het niet deelbaar door 4. = $\neg q \to \neg p$ is geldig

Verbeter de redenering: 15 is niet even. Dus 15 is niet deelbaar door 4. = Een geldige redenering

Answer: De redenering ontkent de antecedent. Het getal 10 laat zien dat de conclusie onwaar kan zijn. Een geldige versie begint bij niet even, bijvoorbeeld: 15 is niet even, dus 15 is niet deelbaar door 4.

Een vals dilemma met nul

Redenering: elk getal is positief of negatief. 0 is niet positief. Dus 0 is negatief. Wat gaat er mis?

Zoek de of-of-premisse: De eerste premisse laat maar twee mogelijkheden toe: positief of negatief. = Er worden twee mogelijkheden aangeboden

Zoek een vergeten mogelijkheid: $0$ is positief noch negatief. = Er is een derde mogelijkheid

Benoem en verbeter de drogreden: De premisse is een vals dilemma. Juiste versie: elk getal is positief, negatief of nul. = Vals dilemma

Answer: De eerste premisse is een vals dilemma, want nul is een derde mogelijkheid. Met de verbeterde premisse volgt de conclusie 0 is negatief niet meer.

Correlatie is geen causaliteit

Op een school met 200 leerlingen ontbijten er 120, en 90 van hen halen de wiskundetoets. Van de 80 die niet ontbijten, halen er 40 de toets. Bewering: ontbijten zorgt voor betere wiskunderesultaten. Controleer de getallen en de redenering.

Slagingspercentage met ontbijt: $\frac{90}{120} \times 100 = 75$ = $75\,\%$

Slagingspercentage zonder ontbijt: $\frac{40}{80} \times 100 = 50$ = $50\,\%$

Beschrijf wat de gegevens laten zien: De twee dingen gaan samen: een correlatie van 25 procentpunten. = Correlatie, geen bewijs

Zoek een verborgen derde factor: Wie genoeg slaapt of een rustige ochtend heeft, ontbijt misschien vaker en leert ook beter. = Mogelijke verstorende variabele

Answer: De slagingspercentages zijn $75\,\%$ en $50\,\%$, er is dus een correlatie. Die bewijst geen causaliteit: een derde factor, zoals slaap, kan allebei verklaren. Een eerlijke test zou vergelijkbare groepen vergelijken in een gecontroleerd experiment.

Het werkte voor 4 gevallen

Een leerling ziet dat $2^n - 1$ priem is voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ en concludeert: als $n$ priem is, dan is $2^n - 1$ altijd priem. Test de bewering met $n = 11$.

Controleer de eerste gevallen: $2^2 - 1 = 3$, $2^3 - 1 = 7$, $2^5 - 1 = 31$, $2^7 - 1 = 127$. = Alle vier zijn priem

Benoem het soort redenering: Vier gevallen worden gebruikt om een regel voor alle priemgetallen te beweren. = Overhaaste generalisatie

Test $n = 11$: $2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$ = $2047$

Ontbind de uitkomst: $2047 = 23 \times 89$ = Geen priemgetal: een tegenvoorbeeld

Answer: De bewering is een overhaaste generalisatie. De eerste vier priemgetallen werken, maar voor $n = 11$ krijg je $2047 = 23 \times 89$. Veel voorbeelden bewijzen nooit een regel, één tegenvoorbeeld weerlegt hem.

Drogredenen zijn overal, en veel ervan verstoppen zich achter getallen: - **Wiskunde**: een formule voor 4 gevallen controleren is geen bewijs. Voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ is $2^n - 1$ priem, maar voor $n = 11$ krijg je $2047 = 23 \times 89$. - **Nieuws en statistiek**: koppen maken van een correlatie vaak een oorzaak, of noemen grote totalen zonder te delen door het aantal inwoners. - **Reclame**: 8 op de 10 gebruikers zijn enthousiast! klinkt sterk, tot je ontdekt dat er maar 10 mensen zijn gevraagd. - **Discussies en sociale media**: persoonlijke aanvallen en stropoppen vervangen echte argumenten, en valse dilemma's verbergen betere mogelijkheden. - **Wetenschap**: onderzoekers gebruiken controlegroepen juist omdat correlatie geen causaliteit is. Zodra je een drogreden kunt benoemen, kun je precies uitleggen wat er ontbreekt en hoe je de redenering kunt repareren.

Mistake: Denken dat een drogreden bewijst dat de conclusie onwaar is

Why: Een drogreden laat alleen zien dat de redenering haar conclusie niet bewijst. Neem de regel: als $x = 2$, dan $x^2 = 4$. Uit $x^2 = 4$ concluderen dat $x = 2$ is ongeldig, en toch kan $x$ gelijk zijn aan $2$.

Correct: Zeg dat de conclusie niet volgt. Om te laten zien dat ze onwaar is, heb je een tegenvoorbeeld nodig, hier $x = -2$.

Mistake: Het bevestigen van de consequent verwarren met modus ponens

Why: Beide gebruiken $p \to q$ en lijken op elkaar. Het verschil is welk deel als premisse gegeven is.

Correct: Is $p$ gegeven, dan mag je $q$ concluderen (geldig). Is $q$ gegeven, dan mag je $p$ niet concluderen (bevestigen van de consequent).

Mistake: Veel voorbeelden als bewijs zien

Why: 3 of zelfs 100 gevallen controleren blijft een overhaaste generalisatie als de bewering over alle getallen gaat.

Correct: Gebruik voorbeelden om een vermoeden op te stellen en bewijs het daarna met een redenering die elk geval dekt, of vind een tegenvoorbeeld.

Mistake: Elke verwijzing naar een expert een beroep op autoriteit noemen

Why: Een relevante expert aanhalen samen met bewijs is normaal. De drogreden is een naam gebruiken in plaats van bewijs, vooral buiten het vakgebied van die persoon.

Correct: Vraag je af: is deze persoon expert in precies dit onderwerp, en welk bewijs ondersteunt de bewering?

Reclameclaims

Reclame houdt van percentages en bekende gezichten. Een kleine steekproef en een beroemdheid zijn een overhaaste generalisatie en een beroep op autoriteit die samenwerken.

Een reclame zegt: 80 % van de gebruikers haalde betere cijfers, zegt een beroemde voetballer! De speler is geen expert in leren, en de 80 % komt misschien van heel weinig mensen.

Nieuwskoppen en totalen

Koppen vergelijken vaak totalen zonder te delen door de grootte van de groep. Grote steden hebben van bijna alles grote totalen.

Stad A heeft 4000 sterfgevallen per jaar en stad B maar 300, dus een krant kopt: stad A is veel gevaarlijker. Maar stad A heeft 2000000 inwoners en stad B 100000.

Statistiek over verkeersveiligheid

Een bekende bewering zegt dat de meeste ongelukken dicht bij huis gebeuren, dus dat rijden dicht bij huis gevaarlijk is. Ze negeert het basispercentage: hoeveel er dicht bij huis gereden wordt.

Als 85 % van alle kilometers dicht bij huis wordt gereden, verwachten we daar ongeveer 85 % van de ongelukken, zelfs als het risico overal even groot zou zijn.

Een drogreden is een fout in een redenering: de conclusie volgt niet uit de premissen

Het bevestigen van de consequent ($p \to q$, $q$, dus $p$) en het ontkennen van de antecedent ($p \to q$, $\neg p$, dus $\neg q$) zijn ongeldige vormen

Modus ponens ($p \to q$, $p$, dus $q$) en modus tollens ($p \to q$, $\neg q$, dus $\neg p$) zijn de geldige vormen

Informele drogredenen zijn onder meer het ad-hominemargument, de stropopredenering, het valse dilemma, de overhaaste generalisatie, de cirkelredenering, het hellend vlak en het beroep op autoriteit

Correlatie is geen causaliteit: zoek naar een derde factor en vergelijk cijfers per groep, geen totalen

Voorbeelden bewijzen nooit een algemene regel, maar één tegenvoorbeeld weerlegt hem

Q: Als een redenering een drogreden bevat, is de conclusie dan onwaar?

A: Niet per se. De drogreden laat zien dat de redenering de conclusie niet bewijst. Die kan om andere redenen nog steeds waar zijn, dus je hebt een tegenvoorbeeld nodig om te laten zien dat ze onwaar is.

Q: Wat is het verschil tussen een formele en een informele drogreden?

A: Een formele drogreden is fout door haar structuur, wat het onderwerp ook is: het bevestigen van de consequent is ongeldig bij getallen, bij het weer en bij al het andere. Een informele drogreden is fout door haar inhoud, zoals een vergeten mogelijkheid of een aanval op een persoon.

Q: Hoeveel gevallen moet ik controleren om een regel te bewijzen?

A: Geen enkel aantal gevallen is genoeg voor een regel over oneindig veel getallen. $2^n - 1$ is priem voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ en faalt toch bij $n = 11$. Voorbeelden helpen je om te vermoeden, een bewijs maakt het zeker.

Q: Hoe onderscheid ik correlatie van causaliteit?

A: Stel drie vragen: kan een derde factor allebei veroorzaken, kan de oorzaak andersom werken, en was er een gecontroleerd experiment? Zonder eerlijke vergelijking laat een correlatie alleen zien dat twee dingen samen voorkomen.

Presentatie afsluiten

Veelvoorkomende drogredenen

1 / 14

Logica & Verzamelingen / Logisch redeneren

Veelvoorkomende drogredenen

Leer de meest voorkomende drogredenen herkennen en verbeteren, van het bevestigen van de consequent tot correlatie en causaliteit, met wiskundige voorbeelden.

Gevorderd25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren