Wat is het verschil tussen een formele en een informele drogreden?

Een formele drogreden is fout door haar structuur, wat het onderwerp ook is: het bevestigen van de consequent is ongeldig bij getallen, bij het weer en bij al het andere. Een informele drogreden is fout door haar inhoud, zoals een vergeten mogelijkheid of een aanval op een persoon.

Hoeveel gevallen moet ik controleren om een regel te bewijzen?

Geen enkel aantal gevallen is genoeg voor een regel over oneindig veel getallen. $2^n - 1$ is priem voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ en faalt toch bij $n = 11$. Voorbeelden helpen je om te vermoeden, een bewijs maakt het zeker.

Hoe onderscheid ik correlatie van causaliteit?

Stel drie vragen: kan een derde factor allebei veroorzaken, kan de oorzaak andersom werken, en was er een gecontroleerd experiment? Zonder eerlijke vergelijking laat een correlatie alleen zien dat twee dingen samen voorkomen.

Leermiddelen

Veelvoorkomende drogredenen

Leer de meest voorkomende drogredenen herkennen en verbeteren, van het bevestigen van de consequent tot correlatie en causaliteit, met wiskundige voorbeelden.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een drogreden is een fout in een redenering: de conclusie volgt niet uit de premissen, ook al klinkt de redenering overtuigend. Er zijn twee families.

1. Formele drogredenen zijn fouten in de vorm van een redenering. Twee ervan komen voort uit als-dan-beweringen

p \to q

. Vergelijk ze met de twee geldige vormen:

\begin{array}{l|c|c|c} \text{Vorm} & \text{Premissen} & \text{Conclusie} & \\ \hline \text{Modus ponens} & p \to q,\ p & q & \text{geldig} \\ \text{Modus tollens} & p \to q,\ \neg q & \neg p & \text{geldig} \\ \text{Bevestigen van de consequent} & p \to q,\ q & p & \text{ongeldig} \\ \text{Ontkennen van de antecedent} & p \to q,\ \neg p & \neg q & \text{ongeldig} \end{array}

Het bevestigen van de consequent is de fout van het omgekeerde (

q \to p

), en het ontkennen van de antecedent is de fout van de inverse (

\neg p \to \neg q

). De waarheidstabel laat zien waarom ze mislukken: in de rij waarin

p

F (onwaar) is en

q

T (waar), is

p \to q

waar en

q

waar, dus beide premissen zijn waar, maar

p

is onwaar. (De interactieve tabel controleert de fout van het omgekeerde: de laatste kolom is precies in deze rij O. Hij schrijft W voor waar en O voor onwaar.)

2. Informele drogredenen zijn fouten in de inhoud van een redenering:

Ad-hominemargument (op de man spelen): de persoon aanvallen in plaats van zijn redenering.
Stropopredenering: de bewering van de ander veranderen in een zwakkere versie en die aanvallen.
Vals dilemma: maar twee mogelijkheden noemen terwijl er meer zijn.
Overhaaste generalisatie: een algemene regel op basis van te weinig gevallen.
Cirkelredenering: de conclusie zit al verstopt in de premissen.
Hellend vlak: beweren dat een kleine stap onvermijdelijk tot een ramp leidt.
Beroep op autoriteit: iets is waar omdat een beroemd of machtig persoon het zegt.
Correlatie en causaliteit: twee dingen gebeuren samen, dus zou het ene het andere veroorzaken.

Belangrijk: een drogreden laat zien dat de redenering haar conclusie niet bewijst. De conclusie zelf kan nog steeds waar of onwaar zijn.

Probeer het meteen

Redenering: als het regent, is de grond nat. De grond is nat. Dus het heeft geregend. Welke drogreden is dit?

Uitgewerkte voorbeelden

Redenering: als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. 14 is even. Dus 14 is deelbaar door 6. Is de redenering geldig?

Benoem de delen

$p$ : het getal is deelbaar door 6. $q$ : het getal is even. → Regel: $p \to q$

Zoek uit welk deel gegeven is

We horen dat 14 even is, dus de conclusie $q$ is gegeven, en de redenering leidt daaruit $p$ af. → Vorm: $p \to q,\ q$ , dus $p$

Vergelijk met de geldige vormen

Modus ponens heeft $p$ nodig als premisse, niet $q$ . Dit is het bevestigen van de consequent. → Ongeldige vorm

Controleer met een berekening

$14 \div 6 = 2$ rest $2$ → 14 is niet deelbaar door 6

Antwoord: De redenering is ongeldig: ze bevestigt de consequent. 14 is even maar niet deelbaar door 6, dus de conclusie is hier zelfs onwaar.

Veelgemaakte fouten

Denken dat een drogreden bewijst dat de conclusie onwaar is

Waarom het fout is: Een drogreden laat alleen zien dat de redenering haar conclusie niet bewijst. Neem de regel: als $x = 2$ , dan $x^2 = 4$ . Uit $x^2 = 4$ concluderen dat $x = 2$ is ongeldig, en toch kan $x$ gelijk zijn aan $2$ .

Correct: Zeg dat de conclusie niet volgt. Om te laten zien dat ze onwaar is, heb je een tegenvoorbeeld nodig, hier $x = -2$ .

Het bevestigen van de consequent verwarren met modus ponens

Waarom het fout is: Beide gebruiken $p \to q$ en lijken op elkaar. Het verschil is welk deel als premisse gegeven is.

Correct: Is $p$ gegeven, dan mag je $q$ concluderen (geldig). Is $q$ gegeven, dan mag je $p$ niet concluderen (bevestigen van de consequent).

Veel voorbeelden als bewijs zien

Waarom het fout is: 3 of zelfs 100 gevallen controleren blijft een overhaaste generalisatie als de bewering over alle getallen gaat.

Correct: Gebruik voorbeelden om een vermoeden op te stellen en bewijs het daarna met een redenering die elk geval dekt, of vind een tegenvoorbeeld.

Elke verwijzing naar een expert een beroep op autoriteit noemen

Waarom het fout is: Een relevante expert aanhalen samen met bewijs is normaal. De drogreden is een naam gebruiken in plaats van bewijs, vooral buiten het vakgebied van die persoon.

Correct: Vraag je af: is deze persoon expert in precies dit onderwerp, en welk bewijs ondersteunt de bewering?

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Uitdrukking(p → q) ∧ q → p

p	q	p → q	(p → q) ∧ q	(p → q) ∧ q → p
O	O	W	O	W
O	W	W	W	O
W	O	O	O	W
W	W	W	W	W

W= WaarO= Onwaar

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Redenering: als het regent, is de grond nat. De grond is nat. Dus het heeft geregend. Welke drogreden is dit?

Oefenproblemen: Veelvoorkomende drogredenen

1. Redenering: als het regent, is de grond nat. De grond is nat. Dus het heeft geregend. Welke drogreden is dit?
2. Een reclame zegt: 4 op de 5 gebruikers haalden betere cijfers! Hoeveel procent is 4 van de 5?
3. Redenering: als x = 4, dan is x² = 16. We weten dat x² = 16. Dus x = 4. Vind een tegenvoorbeeld.
4. Maya laat zien dat x = 5 een oplossing is van 2x + 3 = 13. Leo antwoordt: luister niet naar haar, ze had een onvoldoende voor de vorige toets. Welke drogreden gebruikt Leo?
5. Nadat Tom 3, 5 en 7 heeft gecontroleerd, beweert hij: elk oneven getal groter dan 1 is priem. Wat is het kleinste oneven getal groter dan 1 dat hem ongelijk geeft?
6. Redenering: elk geheel getal is positief of negatief. Vind de mogelijkheid die dit valse dilemma weglaat.
7. Ana: we moeten ons antwoord met een tweede methode controleren. Ben: dus jij denkt dat je nooit een berekening kunt vertrouwen? Belachelijk. Welke drogreden gebruikt Ben?
8. Een school heeft 500 leerlingen en 450 van hen gebruiken de app StudyFast. 60 leerlingen haalden het hoogste cijfer voor wiskunde, en 54 van hen gebruiken de app. Een reclame zegt: 90 % van de leerlingen met het hoogste cijfer gebruikt StudyFast, dus de app zorgt voor hoge cijfers! Welk percentage van de app-gebruikers haalde het hoogste cijfer?
9. Redenering: als een getal een veelvoud van 10 is, dan is het een veelvoud van 5. 15 is geen veelvoud van 10. Dus 15 is geen veelvoud van 5. Laat zien dat de redenering niet klopt.
10. Bewering: deze formule klopt omdat ze altijd de juiste uitkomsten geeft, en we weten dat de uitkomsten juist zijn omdat ze uit deze formule komen. Welke drogreden is dit?
11. Regel: als een getal deelbaar is door 6, dan is het even. Iemand bevestigt de consequent en beschouwt elk even getal als deelbaar door 6. Hoeveel even getallen van 1 tot en met 20 zijn tegenvoorbeelden (even maar niet deelbaar door 6)?
12. In een klas van 40 leerlingen bespelen 25 een instrument en 20 van hen hebben meer dan 80 punten voor wiskunde. Van de 15 die geen instrument bespelen, hebben er 6 meer dan 80 punten. Bewering: een instrument bespelen maakt je beter in wiskunde. Vergelijk de twee groepen.
13. Een hellend vlak: als je één huiswerkopdracht overslaat, raak je achter, haal je de volgende toets niet en blijf je uiteindelijk zitten. Stel dat elk van deze drie stappen echt gebeurt met kans 0,5, onafhankelijk van elkaar. Hoe groot is de kans in procent dat alle drie gebeuren?
14. Redenering: als een getal op 0 eindigt, dan is het deelbaar door 5. 35 is deelbaar door 5. Dus 35 eindigt op 0. Controleer de redenering.
15. Redenering: als een getal deelbaar is door 9, dan is het deelbaar door 3. 21 is niet deelbaar door 9. Dus 21 is niet deelbaar door 3. Welke uitspraak is juist?
16. Een leerling controleert n² - n + 11 voor n = 1 tot en met 10 en krijgt alleen priemgetallen: 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101. Ze beweert dat de uitkomst altijd priem is. Wat is de waarde van n² - n + 11 voor n = 11?
17. Een kop zegt: risico verdubbelt! Een bijwerking stijgt van 1 op de 10000 mensen naar 2 op de 10000 mensen. Zoek uit hoe groot de verandering echt is.
18. Een ziekte treft 20 van de 1000 mensen. Een test is positief bij 18 van de 20 zieken, en per vergissing ook bij 42 van de 980 gezonde mensen. Bewering: de test vindt 90 % van de zieken, dus een positieve uitslag betekent 90 % kans dat je ziek bent. Wat is de echte kans in procent?

Waarom het belangrijk is

Drogredenen zijn overal, en veel ervan verstoppen zich achter getallen:

Wiskunde: een formule voor 4 gevallen controleren is geen bewijs. Voor de priemgetallen $n = 2, 3, 5, 7$ is $2^n - 1$ priem, maar voor $n = 11$ krijg je $2047 = 23 \times 89$ .
Nieuws en statistiek: koppen maken van een correlatie vaak een oorzaak, of noemen grote totalen zonder te delen door het aantal inwoners.
Reclame: 8 op de 10 gebruikers zijn enthousiast! klinkt sterk, tot je ontdekt dat er maar 10 mensen zijn gevraagd.
Discussies en sociale media: persoonlijke aanvallen en stropoppen vervangen echte argumenten, en valse dilemma's verbergen betere mogelijkheden.
Wetenschap: onderzoekers gebruiken controlegroepen juist omdat correlatie geen causaliteit is.

Zodra je een drogreden kunt benoemen, kun je precies uitleggen wat er ontbreekt en hoe je de redenering kunt repareren.

Toepassingen in de echte wereld

Reclameclaims

Reclame houdt van percentages en bekende gezichten. Een kleine steekproef en een beroemdheid zijn een overhaaste generalisatie en een beroep op autoriteit die samenwerken.

Voorbeeld:

Een reclame zegt: 80 % van de gebruikers haalde betere cijfers, zegt een beroemde voetballer! De speler is geen expert in leren, en de 80 % komt misschien van heel weinig mensen.

1Probeer het zelf

Een studie-app heeft 5000 gebruikers. De 80 % uit de reclame komt uit een enquête onder 10 gebruikers, van wie er 8 ja antwoordden.

Welk percentage van alle gebruikers is echt gevraagd?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het deel van de gevraagde gebruikers als percentage:

Nieuwskoppen en totalen

Koppen vergelijken vaak totalen zonder te delen door de grootte van de groep. Grote steden hebben van bijna alles grote totalen.

Voorbeeld:

Stad A heeft 4000 sterfgevallen per jaar en stad B maar 300, dus een krant kopt: stad A is veel gevaarlijker. Maar stad A heeft 2000000 inwoners en stad B 100000.

2Probeer het zelf

Stad A: 2000000 inwoners, 4000 sterfgevallen per jaar. Stad B: 100000 inwoners, 300 sterfgevallen per jaar. Vergelijk de cijfers per 1000 inwoners.

Welke stad heeft het hoogste sterftecijfer per 1000 inwoners?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het cijfer per 1000 inwoners voor stad A:

Statistiek over verkeersveiligheid

Een bekende bewering zegt dat de meeste ongelukken dicht bij huis gebeuren, dus dat rijden dicht bij huis gevaarlijk is. Ze negeert het basispercentage: hoeveel er dicht bij huis gereden wordt.

Voorbeeld:

Als 85 % van alle kilometers dicht bij huis wordt gereden, verwachten we daar ongeveer 85 % van de ongelukken, zelfs als het risico overal even groot zou zijn.

3Probeer het zelf

In een regio gebeuren 700 van de 1000 ongelukken binnen 10 km van huis, en 85 % van al het rijden gebeurt binnen 10 km van huis.

Laten de gegevens zien dat rijden dicht bij huis gevaarlijker is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal ongelukken dat je dicht bij huis zou verwachten als het risico overal even groot was:

Belangrijke punten

1Een drogreden is een fout in een redenering: de conclusie volgt niet uit de premissen
2Het bevestigen van de consequent ( $p \to q$ , $q$ , dus $p$ ) en het ontkennen van de antecedent ( $p \to q$ , $\neg p$ , dus $\neg q$ ) zijn ongeldige vormen
3Modus ponens ( $p \to q$ , $p$ , dus $q$ ) en modus tollens ( $p \to q$ , $\neg q$ , dus $\neg p$ ) zijn de geldige vormen
4Informele drogredenen zijn onder meer het ad-hominemargument, de stropopredenering, het valse dilemma, de overhaaste generalisatie, de cirkelredenering, het hellend vlak en het beroep op autoriteit
5Correlatie is geen causaliteit: zoek naar een derde factor en vergelijk cijfers per groep, geen totalen
6Voorbeelden bewijzen nooit een algemene regel, maar één tegenvoorbeeld weerlegt hem

Veelgestelde vragen

Niet per se. De drogreden laat zien dat de redenering de conclusie niet bewijst. Die kan om andere redenen nog steeds waar zijn, dus je hebt een tegenvoorbeeld nodig om te laten zien dat ze onwaar is.

Woordenlijst

Drogreden: Een fout in een redenering waardoor die haar conclusie niet bewijst
Formele drogreden: Een fout in de vorm van een redenering, zoals het bevestigen van de consequent
Informele drogreden: Een fout in de inhoud van een redenering, zoals een stropopredenering of een vals dilemma
Bevestigen van de consequent: De ongeldige vorm $p \to q$ , $q$ , dus $p$
Ontkennen van de antecedent: De ongeldige vorm $p \to q$ , $\neg p$ , dus $\neg q$
Verstorende variabele (confounder): Een verborgen derde factor die twee dingen beïnvloedt en ze met elkaar verbonden laat lijken

Formulekaart

Modus ponens (geldig)

p \to q,\ p \ \therefore\ q

De voorwaarde is gegeven, dus de conclusie volgt

Modus tollens (geldig)

p \to q,\ \neg q \ \therefore\ \neg p

De conclusie is onwaar, dus de voorwaarde is onwaar

Bevestigen van de consequent (ongeldig)

p \to q,\ q \ \therefore\ p

De fout van het omgekeerde: $q$ kan waar zijn terwijl $p$ onwaar is

Ontkennen van de antecedent (ongeldig)

p \to q,\ \neg p \ \therefore\ \neg q

De fout van de inverse: $q$ kan waar zijn terwijl $p$ onwaar is

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Waarheidstabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Reclameclaims

Nieuwskoppen en totalen

Statistiek over verkeersveiligheid

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Modus ponens (geldig)

Modus tollens (geldig)

Bevestigen van de consequent (ongeldig)

Ontkennen van de antecedent (ongeldig)

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse