Een optelpatroon

Vind de regel en de volgende twee termen: $5, 9, 13, 17, \ldots$

Bepaal de verandering tussen buren: $9 - 5 = 4$, $13 - 9 = 4$, $17 - 13 = 4$ = Het verschil is altijd $4$

Schrijf de regel op: Elke term is $4$ meer dan de vorige = Regel: begin bij $5$, tel $4$ op

Gebruik de regel om verder te gaan: $17 + 4 = 21$, $21 + 4 = 25$ = $21$ en $25$

Answer: De regel is plus $4$. De volgende twee termen zijn $21$ en $25$.

Een vermenigvuldigpatroon

Vind de regel en de volgende twee termen: $3, 6, 12, 24, \ldots$

Probeer eerst de verschillen: $6 - 3 = 3$, $12 - 6 = 6$, $24 - 12 = 12$ = Niet gelijk, dus het is geen optelpatroon

Probeer vermenigvuldigen: $3 \times 2 = 6$, $6 \times 2 = 12$, $12 \times 2 = 24$ = Elke term wordt met $2$ vermenigvuldigd

Gebruik de regel om verder te gaan: $24 \times 2 = 48$, $48 \times 2 = 96$ = $48$ en $96$

Answer: De regel is keer $2$. De volgende twee termen zijn $48$ en $96$.

Een groeiend patroon

Vind de volgende twee termen: $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$

Bepaal de verschillen: $2 - 1 = 1$, $4 - 2 = 2$, $7 - 4 = 3$, $11 - 7 = 4$ = Verschillen: $1, 2, 3, 4$

Zoek het patroon in de verschillen: De verschillen worden elke keer $1$ groter = Volgende verschillen: $5$, daarna $6$

Gebruik de verschillen om verder te gaan: $11 + 5 = 16$, $16 + 6 = 22$ = $16$ en $22$

Answer: De stap wordt elke keer $1$ groter. De volgende twee termen zijn $16$ en $22$.

Een afwisselend patroon

Vind de regel en de volgende twee termen: $10, 13, 11, 14, 12, 15, \ldots$

Schrijf elke verandering op: $+3, -2, +3, -2, +3$ = Twee stappen wisselen elkaar af

Schrijf de regel op: Tel $3$ op, trek dan $2$ af, steeds opnieuw = Regel: $+3$, $-2$, $+3$, $-2$, $\ldots$

Bepaal welke stap nu komt: De laatste verandering was $+3$, dus nu is het $-2$: $15 - 2 = 13$, daarna $13 + 3 = 16$ = $13$ en $16$

Answer: De regel is om de beurt plus $3$ en min $2$. De volgende twee termen zijn $13$ en $16$.

Figuur 10 van een tegelpatroon

Figuur 1 heeft $4$ tegels, figuur 2 heeft $7$ tegels, figuur 3 heeft $10$ tegels. Elke nieuwe figuur krijgt evenveel tegels erbij. Hoeveel tegels heeft figuur 10?

Bepaal de stap: $7 - 4 = 3$, $10 - 7 = 3$ = Elke figuur krijgt $3$ tegels erbij

Tel de sprongen van figuur 1 naar figuur 10: Van $1$ naar $10$ zijn er $10 - 1 = 9$ sprongen = $9$ sprongen

Tel alle sprongen op bij de eerste term: $4 + 9 \times 3 = 4 + 27$ = $31$

Controleer met de bekende figuren: Figuur 3: $4 + 2 \times 3 = 10$ ✓ = De methode werkt

Answer: Figuur 10 heeft $31$ tegels.

Mistake: Een regel kiezen na alleen de eerste twee termen te bekijken

Why: Bij $2, 4, 8, 16$ is de eerste sprong $+2$, maar $4 + 2 = 6$, niet $8$. Er passen veel regels bij twee getallen.

Correct: Test de regel bij elk paar buren. Hier werkt $\times 2$ voor allemaal: $2, 4, 8, 16$.

Mistake: $10$ sprongen gebruiken om de 10e term te bereiken

Why: De eerste term staat er al. Van term $1$ naar term $10$ zijn er maar $9$ sprongen.

Correct: 10e term $=$ eerste term $+ 9 \times$ stap. Voor $4, 7, 10, \ldots$: $4 + 9 \times 3 = 31$, niet $4 + 10 \times 3 = 34$.

Mistake: Denken dat elk patroon steeds hetzelfde getal optelt

Why: Bij $2, 6, 18, 54$ zijn de verschillen $4, 12, 36$, dus het is geen optelpatroon.

Correct: Als de verschillen niet gelijk zijn, probeer dan vermenigvuldigen (hier $\times 3$), afwisselende stappen of groeiende verschillen.

Mistake: Vergeten waar je bent in een afwisselend patroon

Why: Bij $10, 13, 11, 14, 12, 15$ hangt de volgende stap af van de laatste. Nog een keer $+3$ geeft $18$, en dat is fout.

Correct: Schrijf de veranderingen onder de termen ($+3, -2, +3, \ldots$) en ga verder met de afwisseling: $15 - 2 = 13$.

Kalenders

Dezelfde dag van de week komt elke $7$ dagen terug, dus de datums van die dag vormen een optelpatroon.

Als de eerste maandag van een maand de $3$e is, zijn de maandagen de $3$e, $10$e, $17$e, $24$e en $31$e.

Tegels en patronen in de bouw

Tegelzetters en ontwerpers gebruiken tegelpatronen voor vloeren, paden en muren, en ze moeten weten hoeveel tegels elk deel nodig heeft.

Een pad waarbij elk nieuw stuk $2$ tegels meer krijgt, gebruikt $6, 8, 10, 12, \ldots$ tegels. Zo kun je elk stuk voorspellen zonder het te tekenen.

Geld sparen

Wie elke week hetzelfde bedrag spaart, laat de inhoud van de spaarpot groeien volgens een optelpatroon.

Met 10 € aan het begin en elke week 4 € erbij heb je na week 1 tot en met 4 in totaal 14 €, 18 €, 22 € en 26 €.

Q: Hoe begin ik als ik een nieuw patroon zie?

A: Schrijf het verschil tussen elk paar buurtermen onder de rij. Zijn ze allemaal gelijk, dan heb je een optel- of aftrekpatroon. Zo niet, probeer dan vermenigvuldigen of zoek een patroon in de verschillen.

Q: Kan een patroon meer dan één regel hebben?

A: Met maar twee of drie termen wel, dan kunnen er meerdere regels passen. Daarom heb je genoeg termen nodig en moet je je regel bij allemaal controleren. Bij $2, 4$ kan de regel $+2$ of $\times 2$ zijn, maar bij $2, 4, 8$ past alleen $\times 2$.

Q: Waarom tel ik voor de 10e term 9 stappen op en niet 10?

A: De eerste term staat al op zijn plek. Om van term $1$ naar term $10$ te gaan maak je $9$ sprongen, net zoals je van de 1e naar de 10e sport van een ladder klimt.

Q: Hoe vind ik de 20e vorm in een herhalend patroon?

A: Tel de vormen in één blok. Bij cirkel, vierkant, driehoek heeft het blok $3$ vormen. $20 \div 3 = 6$ rest $2$, dus de 20e vorm is de 2e vorm van het blok: een vierkant.