Delen van een syllogisme, en geldig is niet hetzelfde als waar

Alle vogels kunnen vliegen. Alle pinguïns zijn vogels. Dus kunnen alle pinguïns vliegen. Noem de drie termen en de twee premissen. Is de redenering geldig? Is de conclusie waar?

Zoek de kleine en de grote term in de conclusie: Conclusie: alle pinguïns (onderwerp) zijn dieren die kunnen vliegen (gezegde) = $S$ = pinguïns, $P$ = dieren die kunnen vliegen

Zoek de middenterm: De term die in beide premissen staat, maar niet in de conclusie, is vogels = $M$ = vogels

Benoem de premissen: Alle vogels kunnen vliegen bevat $P$; alle pinguïns zijn vogels bevat $S$ = Eerste premisse: alle vogels kunnen vliegen. Tweede premisse: alle pinguïns zijn vogels.

Schrijf de vorm met letters: Alle $M$ zijn $P$, alle $S$ zijn $M$, dus alle $S$ zijn $P$ = De klassieke geldige vorm: de redenering is geldig

Controleer of de premissen waar zijn: De eerste premisse is onwaar: pinguïns en struisvogels zijn vogels die niet kunnen vliegen = Geldig maar niet deugdelijk, en de conclusie is onwaar

Answer: $S$ = pinguïns, $P$ = dieren die kunnen vliegen, $M$ = vogels. De redenering is geldig (juiste vorm), maar de eerste premisse is onwaar. Ze is dus niet deugdelijk en haar conclusie is onwaar.

Een geldige vorm controleren met het venndiagram

Geen vis is een zoogdier. Alle haaien zijn vissen. Dus is geen haai een zoogdier. Test de redenering met het diagram met 8 gebieden.

Wijs de letters toe: Conclusie: geen haai is een zoogdier = $S$ = haaien, $P$ = zoogdieren, $M$ = vissen

Arceer voor geen $M$ is $P$: De overlap van $M$ en $P$ bestaat uit de gebieden 6 en 7 = De gebieden 6 en 7 zijn leeg

Arceer voor alle $S$ zijn $M$: Het deel van $S$ buiten $M$ bestaat uit de gebieden 1 en 5 = De gebieden 1 en 5 zijn leeg

Lees de conclusie geen $S$ is $P$ af: De overlap van $S$ en $P$ bestaat uit de gebieden 5 en 7, en die zijn allebei al gearceerd = Het diagram laat de conclusie zien

Answer: De redenering is geldig: na het arceren van de gebieden 1, 5, 6 en 7 is de hele overlap van haaien en zoogdieren (gebieden 5 en 7) leeg.

De niet-verdeelde middenterm

Alle vierkanten zijn parallellogrammen. Alle rechthoeken zijn parallellogrammen. Dus zijn alle rechthoeken vierkanten. Zoek de fout.

Wijs de letters toe: Conclusie: alle rechthoeken zijn vierkanten = $S$ = rechthoeken, $P$ = vierkanten, $M$ = parallellogrammen

Arceer voor alle $P$ zijn $M$: Het deel van $P$ buiten $M$ bestaat uit de gebieden 3 en 5 = De gebieden 3 en 5 zijn leeg

Arceer voor alle $S$ zijn $M$: Het deel van $S$ buiten $M$ bestaat uit de gebieden 1 en 5 = De gebieden 1 en 5 zijn leeg

Lees de conclusie alle $S$ zijn $P$ af: Daarvoor moeten de gebieden 1 en 4 leeg zijn, maar gebied 4 is niet gearceerd = Het diagram laat de conclusie niet zien

Geef een tegenvoorbeeld voor gebied 4: Een rechthoek met zijden $4$ en $2$ is een parallellogram, maar geen vierkant = Ongeldig: niet-verdeelde middenterm

Answer: Ongeldig. Beide premissen zeggen alleen dat vierkanten en rechthoeken ergens binnen de parallellogrammen liggen; ze verbinden vierkanten en rechthoeken nooit met elkaar. Deze fout heet de niet-verdeelde middenterm.

Een syllogisme met sommige

Alle leden van de schaakclub zijn goed in puzzels. Sommige leerlingen van klas 9B zijn lid van de schaakclub. Welke conclusie volgt: alle leerlingen van 9B zijn goed in puzzels, of sommige leerlingen van 9B zijn goed in puzzels?

Wijs de letters toe: $S$ = leerlingen van 9B, $P$ = goed in puzzels, $M$ = leden van de schaakclub = Premissen: alle $M$ zijn $P$, sommige $S$ zijn $M$

Arceer eerst de premisse met alle: Alle $M$ zijn $P$: het deel van $M$ buiten $P$ bestaat uit de gebieden 2 en 4 = De gebieden 2 en 4 zijn leeg

Zet de x voor sommige $S$ zijn $M$: De overlap van $S$ en $M$ bestaat uit de gebieden 4 en 7, en gebied 4 is gearceerd = De x moet in gebied 7

Test sommige $S$ zijn $P$: Gebied 7 ligt zowel binnen $S$ als binnen $P$ = Sommige $S$ zijn $P$ is zichtbaar

Test alle $S$ zijn $P$: Daarvoor moeten de gebieden 1 en 4 leeg zijn, maar gebied 1 is niet gearceerd = Alle $S$ zijn $P$ is niet zichtbaar

Answer: Alleen "sommige leerlingen van 9B zijn goed in puzzels" volgt. Over de leerlingen van 9B buiten de schaakclub zeggen de premissen niets.

Als-dan-beweringen aan elkaar koppelen

Premissen: als $n$ deelbaar is door $12$, dan is $n$ deelbaar door $6$. Als $n$ deelbaar is door $6$, dan is $n$ deelbaar door $3$. Als $n$ deelbaar is door $3$, dan is de cijfersom van $n$ deelbaar door $3$. Wat volgt daaruit, en wat zegt het over $n = 84$ en over $n = 98$?

Geef de uitspraken een naam: $p$: deelbaar door $12$, $q$: deelbaar door $6$, $r$: deelbaar door $3$, $s$: cijfersom deelbaar door $3$ = $p \to q$, $q \to r$, $r \to s$

Verbind de eerste twee: $p \to q$ en $q \to r$ = $p \to r$

Verbind het resultaat met de derde premisse: $p \to r$ en $r \to s$ = $p \to s$

Controleer $n = 84$: $84 = 12 \times 7$, en de cijfersom is $8 + 4 = 12 = 3 \times 4$ = Zoals voorspeld is de cijfersom deelbaar door $3$

Gebruik de contrapositie voor $n = 98$: De cijfersom $9 + 8 = 17$ is niet deelbaar door $3$, en $\neg s \to \neg p$ = $98$ is niet deelbaar door $12$

Answer: Als $n$ deelbaar is door $12$, dan is de cijfersom van $n$ deelbaar door $3$ ($p \to s$). Voor $84$ klopt dat ($8 + 4 = 12$). Omdat $98$ cijfersom $17$ heeft, laat de contrapositie zien dat $98$ niet deelbaar is door $12$.

Mistake: Een redenering geldig noemen omdat de conclusie waar is

Why: Geldigheid hangt af van de vorm, niet van de feiten. "Alle rozen zijn bloemen. Sommige bloemen verwelken snel. Dus verwelken sommige rozen snel." heeft een geloofwaardige conclusie, maar de vorm is ongeldig: de bloemen die snel verwelken kunnen allemaal tulpen zijn.

Correct: Vervang de woorden door $S$, $M$, $P$ en test de vorm met het venndiagram. Pas daarna vraag je je af of de premissen waar zijn.

Mistake: Twee groepen verbinden via een middenterm die alleen als "zijn $M$" voorkomt (niet-verdeelde middenterm)

Why: Alle $S$ zijn $M$ en alle $P$ zijn $M$ zetten $S$ en $P$ alleen ergens binnen $M$. Ze kunnen in heel verschillende delen van $M$ liggen, zoals katten en honden binnen de zoogdieren.

Correct: De middenterm moet minstens één keer zijn hele groep dekken: hij moet het onderwerp zijn van een uitspraak met alle of geen, of het gezegde van een uitspraak met geen of sommige niet.

Mistake: Een conclusie trekken uit twee premissen met sommige

Why: Sommige $S$ zijn $M$ en sommige $M$ zijn $P$ kunnen over verschillende elementen van $M$ gaan. Met $S = \{1, 2\}$, $M = \{2, 3\}$, $P = \{3, 4\}$ zijn beide premissen waar, maar geen element van $S$ ligt in $P$.

Correct: Minstens een premisse moet algemeen zijn (alle of geen). Uit twee particuliere premissen, of uit twee ontkennende premissen, volgt nooit een conclusie.

Mistake: Een uitspraak met alle omdraaien

Why: Alle vierkanten zijn rechthoeken betekent niet dat alle rechthoeken vierkanten zijn. In het diagram maakt alle $S$ zijn $P$ alleen het deel van $S$ buiten $P$ leeg; het deel van $P$ buiten $S$ kan nog steeds elementen hebben.

Correct: Uitspraken met geen en sommige mag je omdraaien (geen $S$ is $P$ betekent geen $P$ is $S$; sommige $S$ zijn $P$ betekent sommige $P$ zijn $S$), uitspraken met alle en sommige niet niet.

Schoolclubs en enquêtes

Als een school clubleden telt, vertellen uitspraken als "alle leden van de roboticaclub zitten in de wiskundeclub" welke gebieden van het venndiagram leeg zijn. Zo tel je niemand dubbel.

Geen lid van de toneelclub zit in de wiskundeclub, en alle leden van de roboticaclub zitten in de wiskundeclub. Volgens het syllogisme (geen $M$ is $P$, alle $S$ zijn $M$) zit geen lid van de roboticaclub in de toneelclub.

Zoekfilters in webwinkels

Winkelcategorieën vormen groepen binnen groepen. Als elk waterdicht artikel ook een outdoorartikel is, bevat het filter outdoor al elk waterdicht artikel: dat is het syllogisme alle $S$ zijn $M$, alle $M$ zijn $P$ aan het werk.

Alle regenjassen in de winkel zijn waterdichte artikelen, en alle waterdichte artikelen zijn outdoorartikelen. Dus verschijnen alle regenjassen in het outdoorfilter.

E-mailfilters en regelkettingen

E-mailprogramma's volgen kettingen van als-dan-regels. Het hypothetisch syllogisme ($p \to q$, $q \to r$, dus $p \to r$) vertelt je waar een bericht terechtkomt zonder elke regel één voor één te volgen.

Als een e-mail een link van een onbekende afzender bevat, wordt hij gemarkeerd. Als een e-mail gemarkeerd is, gaat hij naar quarantaine. Dus gaat elke e-mail met een link van een onbekende afzender naar quarantaine.

Q: Kan een geldig syllogisme een onware conclusie hebben?

A: Ja, als minstens één premisse onwaar is. "Alle vogels kunnen vliegen, alle pinguïns zijn vogels, dus alle pinguïns kunnen vliegen" is geldig, maar heeft een onware conclusie. Onmogelijk is alleen een geldige redenering met ware premissen en een onware conclusie.

Q: Betekent "sommige" hetzelfde als "niet alle"?

A: Nee. In de logica betekent sommige $S$ zijn $P$ dat minstens één $S$ een $P$ is, en de uitspraak blijft waar als alle $S$ $P$ zijn. Uit sommige $S$ zijn $P$ volgt niet sommige $S$ zijn niet $P$.

Q: Mag ik uit alle $M$ zijn $P$ en alle $S$ zijn $M$ besluiten dat sommige $S$ $P$ zijn?

A: Alleen als je weet dat $S$ minstens één element heeft. In de moderne logica beweert alle $S$ zijn $P$ niet dat er een $S$ bestaat (alle eenhoorns zijn dieren is waar, ook al bestaan er geen eenhoorns). Het venndiagram laat dat zien: de premissen arceren gebieden, maar zetten geen x.

Q: Hoeveel geldige categorische syllogismen zijn er?

A: Elk van de drie uitspraken is van een van de vier soorten ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaties), en de middenterm kan op vier verschillende plaatsen staan. Dat geeft $64 \times 4 = 256$ vormen. Slechts $15$ daarvan zijn geldig in de moderne logica ($24$ als je aanneemt dat elke groep minstens één element heeft). Daarom is een test met het diagram veiliger dan vertrouwen op hoe een redenering klinkt.