Betekent "sommige" hetzelfde als "niet alle"?

Nee. In de logica betekent sommige $S$ zijn $P$ dat minstens één $S$ een $P$ is, en de uitspraak blijft waar als alle $S$ $P$ zijn. Uit sommige $S$ zijn $P$ volgt niet sommige $S$ zijn niet $P$.

Mag ik uit alle $M$ zijn $P$ en alle $S$ zijn $M$ besluiten dat sommige $S$ $P$ zijn?

Alleen als je weet dat $S$ minstens één element heeft. In de moderne logica beweert alle $S$ zijn $P$ niet dat er een $S$ bestaat (alle eenhoorns zijn dieren is waar, ook al bestaan er geen eenhoorns). Het venndiagram laat dat zien: de premissen arceren gebieden, maar zetten geen x.

Hoeveel geldige categorische syllogismen zijn er?

Elk van de drie uitspraken is van een van de vier soorten ($4 \times 4 \times 4 = 64$ combinaties), en de middenterm kan op vier verschillende plaatsen staan. Dat geeft $64 \times 4 = 256$ vormen. Slechts $15$ daarvan zijn geldig in de moderne logica ($24$ als je aanneemt dat elke groep minstens één element heeft). Daarom is een test met het diagram veiliger dan vertrouwen op hoe een redenering klinkt.

Leermiddelen

Syllogismen

Leer de vier categorische uitspraken en de delen van een syllogisme, en test de geldigheid met venndiagrammen en het hypothetisch syllogisme.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een syllogisme is een deductieve redenering met precies twee premissen en één conclusie. Een categorisch syllogisme gaat over groepen en gebruikt precies drie termen:

de kleine term $S$ : het onderwerp (subject) van de conclusie
de grote term $P$ : het gezegde (predicaat) van de conclusie
de middenterm $M$ : die staat in beide premissen, maar nooit in de conclusie

De premisse met

P

heet de eerste premisse (grote premisse), de premisse met

S

heet de tweede premisse (kleine premisse).

Elke uitspraak in een categorisch syllogisme heeft een van vier vormen (de letters A, E, I, O zijn de traditionele codes, afkomstig van de Latijnse woorden *affirmo*, ik bevestig, en *nego*, ik ontken: A en I bevestigen, E en O ontkennen):

Code	Uitspraak	Wat ze zegt over de groepen
A	Alle $S$ zijn $P$	geen element van $S$ ligt buiten $P$
E	Geen $S$ is $P$	$S$ en $P$ hebben geen gemeenschappelijk element
I	Sommige $S$ zijn $P$	minstens één element ligt zowel in $S$ als in $P$
O	Sommige $S$ zijn niet $P$	minstens één element van $S$ ligt buiten $P$

Geldigheid testen met een venndiagram. Teken drie overlappende cirkels

S

M

P

. Die vormen 8 gebieden:

Gebied	Binnen	Buiten
1	$S$	$M$ , $P$
2	$M$	$S$ , $P$
3	$P$	$S$ , $M$
4	$S$ , $M$	$P$
5	$S$ , $P$	$M$
6	$M$ , $P$	$S$
7	$S$ , $M$ , $P$	geen
8	geen	$S$ , $M$ , $P$

Arceer eerst (markeer als leeg) elk gebied dat een premisse met alle of geen uitsluit. Zet daarna een x voor elke premisse met sommige, maar alleen waar de x in precies één gebied gedwongen wordt. Het syllogisme is geldig als het afgewerkte diagram de conclusie al laat zien, zonder dat je nog iets tekent.

Klassieke geldige vorm:

\text{Alle } M \text{ zijn } P,\quad \text{alle } S \text{ zijn } M \quad\Rightarrow\quad \text{alle } S \text{ zijn } P

Dezelfde ketting werkt ook voor als-dan-beweringen. Dat is het hypothetisch syllogisme (transitiviteit):

p \to q,\quad q \to r \quad\Rightarrow\quad p \to r

Probeer het meteen

Alle rechthoeken zijn parallellogrammen. Alle vierkanten zijn rechthoeken. Dus zijn alle vierkanten parallellogrammen. Wat is de middenterm?

Uitgewerkte voorbeelden

Alle vogels kunnen vliegen. Alle pinguïns zijn vogels. Dus kunnen alle pinguïns vliegen. Noem de drie termen en de twee premissen. Is de redenering geldig? Is de conclusie waar?

Zoek de kleine en de grote term in de conclusie

Conclusie: alle pinguïns (onderwerp) zijn dieren die kunnen vliegen (gezegde) → $S$ = pinguïns, $P$ = dieren die kunnen vliegen

Zoek de middenterm

De term die in beide premissen staat, maar niet in de conclusie, is vogels → $M$ = vogels

Benoem de premissen

Alle vogels kunnen vliegen bevat $P$ ; alle pinguïns zijn vogels bevat $S$ → Eerste premisse: alle vogels kunnen vliegen. Tweede premisse: alle pinguïns zijn vogels.

Schrijf de vorm met letters

Alle $M$ zijn $P$ , alle $S$ zijn $M$ , dus alle $S$ zijn $P$ → De klassieke geldige vorm: de redenering is geldig

Controleer of de premissen waar zijn

De eerste premisse is onwaar: pinguïns en struisvogels zijn vogels die niet kunnen vliegen → Geldig maar niet deugdelijk, en de conclusie is onwaar

Antwoord: $S$ = pinguïns, $P$ = dieren die kunnen vliegen, $M$ = vogels. De redenering is geldig (juiste vorm), maar de eerste premisse is onwaar. Ze is dus niet deugdelijk en haar conclusie is onwaar.

Veelgemaakte fouten

Een redenering geldig noemen omdat de conclusie waar is

Waarom het fout is: Geldigheid hangt af van de vorm, niet van de feiten. "Alle rozen zijn bloemen. Sommige bloemen verwelken snel. Dus verwelken sommige rozen snel." heeft een geloofwaardige conclusie, maar de vorm is ongeldig: de bloemen die snel verwelken kunnen allemaal tulpen zijn.

Correct: Vervang de woorden door $S$ , $M$ , $P$ en test de vorm met het venndiagram. Pas daarna vraag je je af of de premissen waar zijn.

Twee groepen verbinden via een middenterm die alleen als "zijn $M$ " voorkomt (niet-verdeelde middenterm)

Waarom het fout is: Alle $S$ zijn $M$ en alle $P$ zijn $M$ zetten $S$ en $P$ alleen ergens binnen $M$ . Ze kunnen in heel verschillende delen van $M$ liggen, zoals katten en honden binnen de zoogdieren.

Correct: De middenterm moet minstens één keer zijn hele groep dekken: hij moet het onderwerp zijn van een uitspraak met alle of geen, of het gezegde van een uitspraak met geen of sommige niet.

Een conclusie trekken uit twee premissen met sommige

Waarom het fout is: Sommige $S$ zijn $M$ en sommige $M$ zijn $P$ kunnen over verschillende elementen van $M$ gaan. Met $S = \{1, 2\}$ , $M = \{2, 3\}$ , $P = \{3, 4\}$ zijn beide premissen waar, maar geen element van $S$ ligt in $P$ .

Correct: Minstens een premisse moet algemeen zijn (alle of geen). Uit twee particuliere premissen, of uit twee ontkennende premissen, volgt nooit een conclusie.

Een uitspraak met alle omdraaien

Waarom het fout is: Alle vierkanten zijn rechthoeken betekent niet dat alle rechthoeken vierkanten zijn. In het diagram maakt alle $S$ zijn $P$ alleen het deel van $S$ buiten $P$ leeg; het deel van $P$ buiten $S$ kan nog steeds elementen hebben.

Correct: Uitspraken met geen en sommige mag je omdraaien (geen $S$ is $P$ betekent geen $P$ is $S$ ; sommige $S$ zijn $P$ betekent sommige $P$ zijn $S$ ), uitspraken met alle en sommige niet niet.

Interactieve visualisatie

Venndiagram

Premissen

EEr zijn geen vissen die zoogdieren zijn
AAlle haaien zijn vissen

= leeg (geen elementen)x= minstens één element

Conclusie

E∴ Er zijn geen haaien die zoogdieren zijn

Tik op een gebied om het te arceren (gearceerd betekent leeg).

Venndiagram

Premissen

AAlle vierkanten zijn parallellogrammen
AAlle rechthoeken zijn parallellogrammen

= leeg (geen elementen)x= minstens één element

Conclusie

A∴ Alle rechthoeken zijn vierkanten

Tik op een gebied om het te arceren (gearceerd betekent leeg).

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Alle rechthoeken zijn parallellogrammen. Alle vierkanten zijn rechthoeken. Dus zijn alle vierkanten parallellogrammen. Wat is de middenterm?

Oefenproblemen: Syllogismen

1. Alle rechthoeken zijn parallellogrammen. Alle vierkanten zijn rechthoeken. Dus zijn alle vierkanten parallellogrammen. Wat is de middenterm?
2. Een venndiagram heeft drie overlappende cirkels S, M en P. Hoeveel gebieden heeft het, als je het gebied buiten alle drie de cirkels meetelt?
3. Ter herinnering: A = alle S zijn P, E = geen S is P, I = sommige S zijn P, O = sommige S zijn niet P. Welke lijst geeft de codes van deze vier uitspraken in de juiste volgorde? (1) Sommige rechthoeken zijn geen vierkanten. (2) Alle vierkanten zijn rechthoeken. (3) Sommige rechthoeken zijn vierkanten. (4) Geen driehoek is een vierkant.
4. Alle 14 leden van de schaakclub zitten ook in de wiskundeclub. De wiskundeclub heeft 25 leden. Hoeveel leden van de wiskundeclub zitten niet in de schaakclub?
5. Geen priemgetal groter dan 2 is even. Alle getallen in de verzameling T zijn priemgetallen groter dan 2. Welke conclusie volgt?
6. Alle veelvouden van 6 zijn veelvouden van 3. Alle veelvouden van 12 zijn veelvouden van 6. Dus zijn alle veelvouden van 12 veelvouden van 3. Benoem de middenterm en volg dan het getal 60 (een veelvoud van 12) door de ketting. Wat is 60 ÷ 3?
7. Alle dichters zijn dromers. Sommige dromers zijn ingenieurs. Dus zijn sommige dichters ingenieurs. Hoe beoordeel je deze redenering?
8. Een klas heeft 60 leerlingen. Geen lid van het zwemteam zit in het voetbalteam. Het zwemteam heeft 16 leden en het voetbalteam 22. Hoeveel leerlingen zitten in geen van beide teams?
9. Een klas heeft 32 leerlingen. Alle 8 leden van de schaakclub zitten in de wiskundeclub, die 15 leden heeft. Geen lid van de wiskundeclub zit in de toneelclub, die 10 leden heeft. Hoeveel leerlingen zitten in geen van de drie clubs?
10. Alle veelvouden van 4 zijn even. Alle veelvouden van 6 zijn even. Dus zijn alle veelvouden van 6 veelvouden van 4. Laat met een tegenvoorbeeld zien dat de redenering ongeldig is. Wat is het kleinste positieve veelvoud van 6 dat geen veelvoud van 4 is?
11. Alle veelvouden van 4 zijn veelvouden van 8. 12 is een veelvoud van 4. Dus is 12 een veelvoud van 8. Welke beschrijving klopt?
12. Een orkest heeft 24 leden. Alle 9 leerlingen die viool spelen, zitten in het orkest. 4 van de violisten zingen in het koor, en 7 andere orkestleden zingen ook in het koor. Hoeveel orkestleden zingen niet in het koor?
13. Test het syllogisme geen M is P, sommige S zijn M, dus sommige S zijn niet P met het diagram met 8 gebieden (gebied 4 = alleen binnen S en M, gebied 6 = alleen binnen M en P, gebied 7 = binnen alle drie). Wat is de code van de conclusie?
14. In het venndiagram met drie cirkels voor S, M en P arceer je de premissen alle S zijn M en geen M is P. Hoeveel van de 8 gebieden zijn in totaal gearceerd?
15. De uitspraken p → q en q → r zijn waar, en r is onwaar. Welke uitspraak moet waar zijn?
16. Premissen: als n deelbaar is door 20, dan is n deelbaar door 10. Als n deelbaar is door 10, dan is het laatste cijfer van n een 0. Als het laatste cijfer van n een 0 is, dan is n deelbaar door 5. Het hypothetisch syllogisme geeft: als n deelbaar is door 20, dan is n deelbaar door 5. Controleer dat met n = 140 en laat daarna zien dat de omgekeerde niet volgt. Wat is het kleinste positieve getal dat deelbaar is door 5, maar niet door 20?
17. Een sportclub heeft 70 leden, en 45 van hen zwemmen. Alle 20 tennissers zijn zwemmers. 12 tennissers lopen ook hard, 8 zwemmers die geen tennis spelen lopen hard, en 15 leden die niet zwemmen lopen hard. Hoeveel leden zwemmen niet en lopen ook niet hard?
18. Laat zien dat sommige S zijn M, sommige M zijn P, dus sommige S zijn P ongeldig is. Gebruik S = \{1, 2\}, M = \{2, 3\} en P = \{3, 4\}. Hoeveel elementen hebben S en P gemeen?

Waarom het belangrijk is

Syllogismen zijn de kleinste bouwstenen van elk logisch bewijs, en ze zitten verstopt in veel alledaagse redeneringen:

Meetkundige bewijzen: elk vierkant is een rechthoek en elke rechthoek is een parallellogram, dus elk vierkant is een parallellogram. Lange bewijzen zijn kettingen van zulke stappen.
Zoekfilters en databanken: als elk artikel met het label waterdicht ook het label outdoor heeft, bevat een zoekopdracht naar outdoorartikelen al alle waterdichte artikelen.
Regels en wetten: een regel (alle bezoekers jonger dan 12 hebben een volwassene nodig) plus een feit (Mia is een bezoeker jonger dan 12) geven een conclusie over Mia.
Programmeren: als elk Square-object een Shape is, dan kun je alles wat met een Shape kan ook met een Square doen.
Slechte redeneringen herkennen: reclame en debatten gebruiken vaak ongeldige vormen zoals "alle gezonde snacks zijn vetarm, ons koekje is vetarm, dus ons koekje is gezond". Wie de vormen kent, ziet het gat meteen.

Een venndiagram maakt van een vraag over woorden een vraag over gearceerde gebieden. Zo kun je een redenering controleren in plaats van te vertrouwen op hoe ze klinkt.

Toepassingen in de echte wereld

Schoolclubs en enquêtes

Als een school clubleden telt, vertellen uitspraken als "alle leden van de roboticaclub zitten in de wiskundeclub" welke gebieden van het venndiagram leeg zijn. Zo tel je niemand dubbel.

Voorbeeld:

Geen lid van de toneelclub zit in de wiskundeclub, en alle leden van de roboticaclub zitten in de wiskundeclub. Volgens het syllogisme (geen $M$ is $P$ , alle $S$ zijn $M$ ) zit geen lid van de roboticaclub in de toneelclub.

1Probeer het zelf

Een klas heeft $50$ leerlingen. Alle $12$ leden van de roboticaclub zitten in de wiskundeclub, die $30$ leden heeft. Geen lid van de toneelclub ( $9$ leerlingen) zit in de wiskundeclub.

Hoeveel leerlingen zitten in geen van de drie clubs?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal leerlingen zonder club als één uitdrukking:

Zoekfilters in webwinkels

Winkelcategorieën vormen groepen binnen groepen. Als elk waterdicht artikel ook een outdoorartikel is, bevat het filter outdoor al elk waterdicht artikel: dat is het syllogisme alle $S$ zijn $M$, alle $M$ zijn $P$ aan het werk.

Voorbeeld:

Alle regenjassen in de winkel zijn waterdichte artikelen, en alle waterdichte artikelen zijn outdoorartikelen. Dus verschijnen alle regenjassen in het outdoorfilter.

2Probeer het zelf

Een winkel heeft $120$ outdoorartikelen. Alle $45$ waterdichte artikelen zijn outdoorartikelen. $18$ waterdichte artikelen zijn in de aanbieding, en $10$ outdoorartikelen die niet waterdicht zijn, zijn in de aanbieding.

Hoeveel outdoorartikelen zijn in de aanbieding, en hoeveel outdoorartikelen zijn niet waterdicht en ook niet in de aanbieding?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal outdoorartikelen in de aanbieding als een optelling:

E-mailfilters en regelkettingen

E-mailprogramma's volgen kettingen van als-dan-regels. Het hypothetisch syllogisme ($p \to q$, $q \to r$, dus $p \to r$) vertelt je waar een bericht terechtkomt zonder elke regel één voor één te volgen.

Voorbeeld:

Als een e-mail een link van een onbekende afzender bevat, wordt hij gemarkeerd. Als een e-mail gemarkeerd is, gaat hij naar quarantaine. Dus gaat elke e-mail met een link van een onbekende afzender naar quarantaine.

3Probeer het zelf

Een school krijgt op één dag $200$ e-mails. $35$ daarvan bevatten een link van een onbekende afzender, en elke zo'n e-mail wordt gemarkeerd. $15$ andere e-mails worden gemarkeerd vanwege een verdachte bijlage. Elke gemarkeerde e-mail gaat naar quarantaine, en alleen gemarkeerde e-mails gaan daarheen.

Hoeveel e-mails komen in de inbox terecht?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het aantal e-mails in de inbox als één uitdrukking:

Belangrijke punten

1Een syllogisme heeft twee premissen en één conclusie; een categorisch syllogisme gebruikt drie termen: kleine term $S$ , grote term $P$ en middenterm $M$
2De vier soorten uitspraken zijn A (alle $S$ zijn $P$ ), E (geen $S$ is $P$ ), I (sommige $S$ zijn $P$ ) en O (sommige $S$ zijn niet $P$ )
3Om de geldigheid te testen arceer je de gebieden die premissen met alle en geen leegmaken, zet je een x voor premissen met sommige en kijk je of het diagram de conclusie al laat zien
4Alle $M$ zijn $P$ , alle $S$ zijn $M$ , dus alle $S$ zijn $P$ is geldig; alle $S$ zijn $M$ , alle $P$ zijn $M$ , dus alle $S$ zijn $P$ is ongeldig (niet-verdeelde middenterm)
5Geldig betekent dat de conclusie waar moet zijn als de premissen waar zijn; deugdelijk betekent geldig met ware premissen
6Het hypothetisch syllogisme (transitiviteit) verbindt als-dan-beweringen: uit $p \to q$ en $q \to r$ volgt $p \to r$

Veelgestelde vragen

Ja, als minstens één premisse onwaar is. "Alle vogels kunnen vliegen, alle pinguïns zijn vogels, dus alle pinguïns kunnen vliegen" is geldig, maar heeft een onware conclusie. Onmogelijk is alleen een geldige redenering met ware premissen en een onware conclusie.

Woordenlijst

Syllogisme: Een deductieve redenering met precies twee premissen en één conclusie
Categorische uitspraak: Een uitspraak van de vorm alle $S$ zijn $P$ , geen $S$ is $P$ , sommige $S$ zijn $P$ of sommige $S$ zijn niet $P$
Middenterm: De term die in beide premissen staat, maar niet in de conclusie; hij verbindt de twee andere termen
Eerste en tweede premisse: De eerste (grote) premisse bevat het gezegde $P$ van de conclusie, de tweede (kleine) premisse bevat het onderwerp $S$
Niet-verdeelde middenterm: Een ongeldige vorm waarin de middenterm nooit zijn hele groep dekt, bijvoorbeeld alle $S$ zijn $M$ , alle $P$ zijn $M$
Hypothetisch syllogisme: De transitiviteitsregel voor als-dan-beweringen: uit $p \to q$ en $q \to r$ volgt $p \to r$

Formulekaart

Klassieke geldige vorm

Alle

M

zijn

P

, alle

S

zijn

M

\Rightarrow

alle

S

zijn

P

De middenterm verbindt de twee groepen als een ketting

Geldige vorm met geen

Geen

M

P

, alle

S

zijn

M

\Rightarrow

geen

S

P

Als $S$ binnen $M$ ligt en $M$ niets met $P$ gemeen heeft, dan heeft $S$ niets met $P$ gemeen

Geldige vorm met sommige

Alle

M

zijn

P

, sommige

S

zijn

M

\Rightarrow

sommige

S

zijn

P

De x voor sommige wordt naar het gebied geduwd dat in $S$, $M$ en $P$ ligt

Niet-verdeelde middenterm (ongeldig)

Alle

S

zijn

M

, alle

P

zijn

M

\not\Rightarrow

alle

S

zijn

P

In dezelfde grote groep liggen verbindt twee kleinere groepen niet

Hypothetisch syllogisme

p \to q,\ q \to r \Rightarrow p \to r

Kettingen van als-dan-beweringen; met de contrapositie ook $\neg r \to \neg p$

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Venndiagram

Venndiagram

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Schoolclubs en enquêtes

Zoekfilters in webwinkels

E-mailfilters en regelkettingen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Klassieke geldige vorm

Geldige vorm met geen

Geldige vorm met sommige

Niet-verdeelde middenterm (ongeldig)

Hypothetisch syllogisme

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logisch redeneren

Deductief redeneren

Als-dan-beweringen

Omgekeerde en inverse