Meetkundige bewijzen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
De lijnen $AB$ en $CD$ zijn evenwijdig ( $A$ en $C$ links, $B$ en $D$ rechts). Een snijlijn snijdt $AB$ in $E$ en $CD$ in $F$ . Er geldt $\angle AEF = 72^\circ$ en $\angle EFD = 72^\circ$ . Welke reden rechtvaardigt $\angle EFD = \angle AEF$ ?
1. a)Binnenhoeken aan dezelfde kant zijn gelijk
2. b)Overstaande hoeken zijn gelijk
3. c)Z-hoeken zijn gelijk
4. d)F-hoeken zijn gelijk
Antwoord: Z-hoeken zijn gelijk
$\angle AEF$ (bij $E$ , links) en $\angle EFD$ (bij $F$ , rechts) liggen tussen de evenwijdige lijnen aan verschillende kanten van de snijlijn: het zijn Z-hoeken, en die zijn gelijk bij evenwijdige lijnen.
2.
De lijnen $AB$ en $CD$ zijn evenwijdig ( $A$ en $C$ links, $B$ en $D$ rechts). Een snijlijn snijdt $AB$ in $E$ en $CD$ in $F$ . Er geldt $\angle AEF = 72^\circ$ . Hoeveel graden is $\angle CFE$ ?
Antwoord: 108
$\angle EFD = \angle AEF = 72^\circ$ (Z-hoeken). $\angle CFE$ en $\angle EFD$ vormen een gestrekte hoek, dus $\angle CFE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ . Controle met binnenhoeken aan dezelfde kant: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$ .
3.
In $\triangle ABC$ geldt $\angle A = 47^\circ$ en $\angle B = 68^\circ$ . Hoeveel graden is $\angle C$ ?
Antwoord: 65
Volgens de hoekensom van een driehoek geldt $\angle C = 180^\circ - 47^\circ - 68^\circ = 65^\circ$ .
4.
Welke groep gelijke delen bewijst NIET dat twee driehoeken congruent zijn?
1. a)ZHZ
2. b)HHH
3. c)ZZZ
4. d)HZH
Antwoord: HHH
Drie gelijke hoeken (HHH) leggen alleen de vorm vast, niet de grootte: een kleine en een grote gelijkzijdige driehoek hebben allebei drie hoeken van $60^\circ$ , maar zijn niet congruent. ZZZ, ZHZ en HZH zijn geldige kenmerken.
5.
In $\triangle ABC$ geldt $AB = AC$ en $\angle B = 52^\circ$ . Bereken $\angle C$ en $\angle A$ .
Antwoord: 76
1. Hoeveel graden is $\angle C$ ? 52
2. Hoeveel graden is $\angle B + \angle C$ ? 104
3. Hoeveel graden is $\angle A$ ? 76
6.
De evenwijdige lijnen $\ell$ en $m$ ( $\ell$ boven $m$ ) worden gesneden door een snijlijn $t$ . Bij $\ell$ is de hoek boven $\ell$ en rechts van $t$ gelijk aan $110^\circ$ . Bereken de hoek boven $m$ rechts van $t$ , en daarna de hoek boven $m$ links van $t$ .
Antwoord: 70
1. Hoeveel graden is de hoek boven $m$ rechts van $t$ ? 110
2. Hoeveel graden is de hoek boven $m$ links van $t$ ? 70
7.
De lijnstukken $AD$ en $BC$ snijden elkaar in $M$ , en $M$ is het midden van allebei. Je weet $AM = DM$ , $BM = CM$ en $\angle AMB = \angle DMC$ (overstaande hoeken). Welk kenmerk bewijst $\triangle AMB \cong \triangle DMC$ ?
1. a)ZHH
2. b)HZH
3. c)ZHZ
4. d)ZZZ
Antwoord: ZHZ
Twee zijden ( $AM$ , $BM$ ) en de ingesloten hoek (bij $M$ ) zijn gelijk aan twee zijden en de ingesloten hoek van de andere driehoek: dat is ZHZ.
8.
In $\triangle ABC$ maakt de lijn door $A$ evenwijdig aan $BC$ een hoek van $55^\circ$ met $AB$ (aan de kant van $B$ ) en een hoek van $64^\circ$ met $AC$ (aan de kant van $C$ ). Hoeveel graden is $\angle BAC$ ?
Antwoord: 61
De drie hoeken bij $A$ liggen aan de evenwijdige lijn, dus $55^\circ + \angle BAC + 64^\circ = 180^\circ$ en $\angle BAC = 61^\circ$ . Door Z-hoeken is $\angle B = 55^\circ$ en $\angle C = 64^\circ$ , en inderdaad $55^\circ + 61^\circ + 64^\circ = 180^\circ$ .
9.
In $\triangle ABC$ geldt $AB = AC$ en $\angle A = 36^\circ$ . Bereken de basishoek $\angle B$ en daarna de buitenhoek bij $B$ (tussen $AB$ en het verlengde van $CB$ voorbij $B$ ).
Antwoord: 108
1. Hoeveel graden is $\angle B + \angle C$ ? 144
2. Hoeveel graden is $\angle B$ ? 72
3. Hoeveel graden is de buitenhoek bij $B$ ? 108
10.
De lijnstukken $AE$ en $BD$ snijden elkaar in $C$ , $AB \parallel DE$ en $C$ is het midden van $AE$ . Verder geldt $\angle BAC = 40^\circ$ , $\angle ACB = 75^\circ$ en $AB = 9$ cm. Bereken de hoeken van $\triangle EDC$ en de lengte $DE$ .
Antwoord: 9
1. Hoeveel graden is $\angle CED$ ? 40
2. Hoeveel graden is $\angle ECD$ ? 75
3. Hoeveel graden is $\angle CDE$ ? 65
4. Hoeveel cm is $DE$ ? 9
11.
In $\triangle ABC$ en $\triangle DEF$ geldt: $AB = DE$ , $\angle A = \angle D$ en $\angle B = \angle E$ . Welk kenmerk bewijst $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ?
1. a)ZZZ
2. b)ZHH
3. c)ZHZ
4. d)HZH
Antwoord: HZH
De gelijke zijde $AB$ verbindt de hoekpunten van de twee gelijke hoeken en ligt er dus tussen: hoek, zijde, hoek, dat is HZH.
12.
$AD$ is de bissectrice van $\angle BAC$ en $\angle BAD = 34^\circ$ . Hoeveel graden is $\angle BAC$ ?
Antwoord: 68
Volgens de definitie van bissectrice geldt $\angle CAD = \angle BAD = 34^\circ$ , dus $\angle BAC = 34^\circ + 34^\circ = 68^\circ$ .
13.
Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een snijlijn. Een paar Z-hoeken is $(3x + 10)^\circ$ en $(5x - 30)^\circ$ . Bereken $x$ , de hoek en zijn nevenhoek.
Antwoord: 110
1. Los $3x + 10 = 5x - 30$ op. Hoeveel is $x$ ? 20
2. Hoeveel graden is elk van de Z-hoeken? 70
3. Hoeveel graden is zijn nevenhoek? 110
14.
In $\triangle ABC$ geldt $AB = AC$ , $\angle B = (2x + 10)^\circ$ en $\angle C = (3x - 15)^\circ$ . Hoeveel graden is $\angle A$ ?
Antwoord: 60
$2x + 10 = 3x - 15$ geeft $x = 25$ , dus $\angle B = \angle C = 60^\circ$ . Dan is $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ : de driehoek is zelfs gelijkzijdig.
15.
In vierhoek $ABCD$ geldt $AB = AD$ en $CB = CD$ , met $\angle BAD = 80^\circ$ en $\angle BCD = 60^\circ$ . Gebruik $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (ZZZ) om $\angle ABC$ en $\angle ADC$ te berekenen.
Antwoord: 110
1. Hoeveel graden is $\angle BAC$ ? 40
2. Hoeveel graden is $\angle BCA$ ? 30
3. Hoeveel graden is $\angle ABC$ ? 110
4. Hoeveel graden is $\angle ADC$ ? 110
16.
Bewijs dat de basishoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk zijn. Gegeven: $AB = AC$ , en $AD$ is de bissectrice van $\angle BAC$ met $D$ op $BC$ . Stap 1: $AB = AC$ (gegeven). Stap 2: $\angle BAD = \angle CAD$ (definitie van bissectrice). Stap 3: $AD = AD$ . Stap 4: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (ZHZ). Stap 5: $\angle B = \angle C$ (overeenkomstige delen). Wat is de reden bij stap 3?
1. a)Definitie van midden
2. b)Reflexieve eigenschap
3. c)Transitieve eigenschap
4. d)Overstaande hoeken zijn gelijk
Antwoord: Reflexieve eigenschap
$AD$ is een gemeenschappelijke zijde van $\triangle ABD$ en $\triangle ACD$ . Elk lijnstuk is gelijk aan zichzelf: dat is de reflexieve eigenschap. Ze levert het tweede paar zijden voor ZHZ.
17.
In $\triangle ABC$ geldt $\angle A = 50^\circ$ en $\angle B = 60^\circ$ . De zijde $BC$ wordt voorbij $C$ verlengd tot een punt $D$ . Bereken $\angle ACB$ , de buitenhoek $\angle ACD$ , en vergelijk die met $\angle A + \angle B$ .
Antwoord: 110
1. Hoeveel graden is $\angle ACB$ ? 70
2. Hoeveel graden is $\angle ACD$ ? 110
3. Hoeveel graden is $\angle A + \angle B$ ? 110
18.
In $\triangle ABC$ geldt $AB = AC$ en $\angle A = 44^\circ$ . Een lijnstuk $DE$ met $D$ op $AB$ en $E$ op $AC$ is evenwijdig aan $BC$ . Bereken $\angle ABC$ , $\angle ADE$ en $\angle BDE$ .
Antwoord: 112
1. Hoeveel graden is $\angle ABC$ ? 68
2. Hoeveel graden is $\angle ADE$ ? 68
3. Hoeveel graden is $\angle BDE$ ? 112