Volledige inductie

Naam:

Klas:

Datum:

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Welke twee delen moet elk bewijs met volledige inductie bevatten?
1. a)Alleen het controleren van de gevallen $n = 1$ tot en met $n = 5$
2. b)Een tegenvoorbeeld en een tegenspraak
3. c)Een basisstap en een inductiestap
4. d)Een tabel met beweringen en redenen
2.
De formule $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ is met inductie bewezen. Controleer haar voor $n = 5$ : wat is $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ ?
3.
Controleer $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ voor $n = 6$ : wat is $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ ?
4.
Wat garandeert de inductiestap in het dominobeeld van inductie?
1. a)Alle stenen zijn even groot
2. b)De eerste steen valt
3. c)Elke vallende steen duwt de volgende om
4. d)De laatste steen valt
5.
Controleer de eerste dominostenen voordat je $2^n > n$ bewijst: bereken $2^n$ voor $n = 1, 2, 3$ .
6.
Controleer de formule $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ voor $n = 3$ .
7.
Zij $P(n)$ de uitspraak $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . In de inductiestap met $k = 9$ is de rechterkant van $P(k+1)$ gelijk aan $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . Wat is de waarde?
8.
Gebruik de met inductie bewezen formule $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ om $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ te berekenen.
9.
Welke term wordt in de inductiestap voor $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ bij $1 + 3 + \dots + (2k-1)$ opgeteld om de linkerkant van $P(k+1)$ te krijgen?
1. a) $2k + 1$
2. b) $k + 1$
3. c) $2k$
4. d) $2k - 1$
10.
Volg de inductiestap voor $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ met getallen, met $k = 4$ .
11.
Volg de inductiestap voor $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ met getallen, met $k = 6$ .
12.
Welke zin is de juiste inductiehypothese bij het bewijs van $2^n > n$ voor alle $n \ge 1$ ?
1. a)Stel dat $2^n > n$ voor alle $n \ge 1$
2. b)Stel dat $2^k > k$ voor een geheel getal $k \ge 1$
3. c)Stel dat $2^{k+1} > k + 1$
4. d)Bewijs dat $2^1 > 1$
13.
De inductiestap voor " $n^3 - n$ is deelbaar door $3$ " gebruikt $(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k$ . Controleer dit met $k = 4$ .
14.
Met inductie kun je ook bewijzen dat $n^3 - n$ deelbaar is door $6$ . Bereken voor $n = 6$ de waarde $\dfrac{6^3 - 6}{6}$ .
15.
Een leerling "bewijst" dat $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1$ voor alle $n \ge 1$ . De algebra in de inductiestap klopt. Wat is er fout?
1. a)De hypothese moet $P(k+1)$ zijn, niet $P(k)$
2. b)Niets, de uitspraak is waar
3. c)De basisstap faalt: voor $n = 1$ is de linkerkant $1$ en de rechterkant $2$
4. d)Inductie kun je niet gebruiken voor sommen
16.
Volg de inductiestap voor $1 + 2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ met getallen, met $k = 5$ .
17.
De inductiestap voor $2^n > n$ gebruikt de keten $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \ge k + 1$ . Volg haar met $k = 5$ .
18.
De formule $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ wordt met inductie bewezen. Werk de basisstap en één inductiestap met getallen uit.