Inhoud van samengestelde lichamen

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een lichaam is een cilinder met een kegel erop, zodat het ronde grondvlak van de kegel precies op de bovenkant van de cilinder ligt. Hoe bereken je de inhoud van het hele lichaam?
1. a)De inhoud van de kegel aftrekken van de inhoud van de cilinder
2. b)Alleen de cilinder nemen, omdat de kegel te klein is
3. c)De inhoud van de cilinder vermenigvuldigen met de inhoud van de kegel
4. d)De inhoud van de cilinder en de inhoud van de kegel optellen
Antwoord: De inhoud van de cilinder en de inhoud van de kegel optellen
De kegel zit vast aan de cilinder, dus het lichaam neemt de ruimte van beide delen in: $V = V_{\text{cilinder}} + V_{\text{kegel}}$ . Je trekt alleen af als er een deel is weggehaald.
2.
Een kubus met ribben van $4$ cm is op een grotere kubus met ribben van $6$ cm gelijmd. Wat is de totale inhoud van het lichaam in cm³?
Antwoord: 280
Kleine kubus: $4^3 = 64$ cm³. Grote kubus: $6^3 = 216$ cm³. Samen: $64 + 216 = 280$ cm³.
3.
Een trapblok bestaat uit twee balken. De onderste balk is $8$ cm lang, $4$ cm breed en $2$ cm hoog. Daarop ligt een tweede balk van $4$ cm lang, $4$ cm breed en $2$ cm hoog. Bereken de totale inhoud in cm³.
Antwoord: 96
1. Wat is de inhoud van de onderste balk in cm³? 64
2. Wat is de inhoud van de bovenste balk in cm³? 32
3. Wat is de totale inhoud in cm³? 96
4.
Welke uitdrukking geeft de inhoud van een halve bol met straal $r$ ?
1. a) $\frac{1}{3}\pi r^3$
2. b) $2\pi r^2$
3. c) $\frac{4}{3}\pi r^3$
4. d) $\frac{2}{3}\pi r^3$
Antwoord: $\frac{2}{3}\pi r^3$
Een halve bol is de helft van een bol: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . $\frac{4}{3}\pi r^3$ is de hele bol en $2\pi r^2$ is een oppervlakte, geen inhoud.
5.
Een klein schuurtje is een kubus met ribben van $2$ m. Het dak is een piramide met een vierkant grondvlak van $2$ m bij $2$ m (de bovenkant van de kubus) en een hoogte van $1{,}5$ m. Wat is de totale inhoud van het schuurtje in m³?
Antwoord: 10
Kubus: $2^3 = 8$ m³. Piramide: $\frac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = 2$ m³. Samen: $8 + 2 = 10$ m³.
6.
Een modelhuis is een balk van $6$ m lang, $4$ m breed en $3$ m hoog, met een piramidedak erop. Het dak heeft hetzelfde rechthoekige grondvlak van $6$ m bij $4$ m en een hoogte van $2$ m. Bereken de totale inhoud in m³.
Antwoord: 88
1. Wat is de inhoud van de balk in m³? 72
2. Wat is de oppervlakte $B$ van het grondvlak van het dak in m²? 24
3. Wat is de inhoud van het dak in m³? 16
4. Wat is de totale inhoud in m³? 88
7.
Een houten kubus heeft ribben van $10$ cm. Uit één hoek wordt een kleine kubus met ribben van $4$ cm gezaagd. Hoeveel hout blijft er over, in cm³?
Antwoord: 936
1. Wat is de inhoud van de hele kubus in cm³? 1000
2. Wat is de inhoud van het weggezaagde stuk in cm³? 64
3. Hoeveel hout blijft er over in cm³? 936
8.
Een modelraket is $15$ cm hoog: een cilinder met straal $2$ cm en hoogte $9$ cm, met daarop een kegel met straal $2$ cm en hoogte $6$ cm. Welke uitdrukking geeft de inhoud?
1. a) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
2. b) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15$
3. c) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \pi \cdot 2^2 \cdot 6$
4. d) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Antwoord: $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Cilinder met zijn eigen hoogte $9$ plus kegel met zijn eigen hoogte $6$ en de factor $\frac{1}{3}$ : $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 36\pi + 8\pi = 44\pi$ . De totale hoogte $15$ komt in geen van de formules voor.
9.
Een waskrijtje is een cilinder met straal $1$ cm en lengte $9$ cm, met een kegelvormige punt met straal $1$ cm en hoogte $3$ cm. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ om de inhoud in cm³ te berekenen.
Antwoord: 31.4
1. Wat is de inhoud van de cilinder in cm³? 28.26
2. Wat is de inhoud van de kegel in cm³? 3.14
3. Wat is de totale inhoud in cm³? 31.4
10.
Een ijshoorntje heeft straal $3$ cm en hoogte $8$ cm en is helemaal gevuld. Daarop ligt een bolletje in de vorm van een halve bol met straal $3$ cm. De totale inhoud aan ijs is $k\pi$ cm³. Wat is $k$ ?
Antwoord: 42
Kegel: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 8 = 24\pi$ . Halve bol: $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ . Samen: $24\pi + 18\pi = 42\pi$ , dus $k = 42$ .
11.
Een capsulevormige bak is een cilinder met straal $3$ cm en lengte $12$ cm, met aan elk uiteinde een halve bol met straal $3$ cm. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond de totale inhoud af op hele cm³.
Antwoord: 452
1. Wat is de inhoud van de cilinder in cm³? 339.12
2. Wat is de inhoud van de twee halve bollen samen in cm³? 113.04
3. Wat is het precieze totaal met $\pi \approx 3{,}14$ , in cm³? 452.16
4. Rond af op hele cm³. 452
12.
Een houten blok is $10$ cm lang, $10$ cm breed en $6$ cm hoog. Er wordt recht naar beneden een cilindervormig gat met straal $2$ cm geboord over de hele hoogte van $6$ cm. Hoeveel hout blijft er over, met $\pi \approx 3{,}14$ en afgerond op één decimaal?
1. a)675,4 cm³
2. b)524,6 cm³
3. c)600 cm³
4. d)298,6 cm³
Antwoord: 524,6 cm³
Blok: $600$ cm³. Gat: $3{,}14 \times 4 \times 6 = 75{,}36$ cm³. Over: $600 - 75{,}36 = 524{,}64 \approx 524{,}6$ cm³. Optellen geeft $675{,}4$ , en de diameter $4$ als straal gebruiken geeft $298{,}6$ .
13.
Een silo is een cilinder met straal $2$ m en hoogte $8$ m, met een dak in de vorm van een halve bol met straal $2$ m. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ . Wat is de inhoud van de silo in m³, afgerond op een geheel getal?
Antwoord: 117
Cilinder: $\pi \times 2^2 \times 8 = 32\pi$ . Halve bol: $\frac{2}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ . Samen: $\frac{112}{3}\pi \approx \frac{112 \times 3{,}14}{3} \approx 117{,}23$ , dus ongeveer $117$ m³.
14.
Een massieve cilinder heeft straal $6$ cm en hoogte $10$ cm. Er wordt een kegel met hetzelfde grondvlak (straal $6$ cm) en dezelfde hoogte ( $10$ cm) uitgehold, met de punt naar beneden in de cilinder. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ om de inhoud van het overgebleven materiaal te berekenen, in cm³.
Antwoord: 753.6
1. Wat is de inhoud van de cilinder in cm³? 1130.4
2. Wat is de inhoud van de kegel in cm³? 376.8
3. Hoeveel materiaal blijft er over in cm³? 753.6
15.
Een metalen buis is $50$ cm lang. De buitenstraal is $6$ cm en de binnenstraal (het gat) is $5$ cm. Welke uitdrukking geeft de inhoud van het metaal in de buis?
1. a) $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50$
2. b) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50$
3. c) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 + \pi \cdot 5^2 \cdot 50$
4. d) $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Antwoord: $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Metaal = buitenste cilinder min gat: $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 - \pi \cdot 5^2 \cdot 50 = \pi (6^2 - 5^2) \cdot 50 = 550\pi$ . De keuze $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50 = 50\pi$ trekt de stralen af voor het kwadrateren, en dat is fout.
16.
Een betonnen afvoerbuis is $200$ cm lang. De buitenstraal is $10$ cm en de binnenstraal is $8$ cm. Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ om te berekenen hoeveel liter beton erin zit ( $1$ L $= 1000$ cm³).
Antwoord: 22.608
1. Wat is de inhoud van de buitenste cilinder in cm³? 62800
2. Wat is de inhoud van het gat in cm³? 40192
3. Wat is de inhoud van het beton in cm³? 22608
4. Hoeveel liter is dat? 22.608
17.
Een aquarium is een balk van $30$ cm lang, $20$ cm breed en $20$ cm hoog. Er staat een massieve decoratie in de vorm van een cilinder met straal $5$ cm en hoogte $20$ cm rechtop in. Hoeveel liter water is er met $\pi \approx 3{,}14$ nodig om de rest van het aquarium te vullen? ( $1$ L $= 1000$ cm³)
Antwoord: 10.43
Aquarium: $30 \times 20 \times 20 = 12000$ cm³. Decoratie: $3{,}14 \times 5^2 \times 20 = 1570$ cm³. Water: $12000 - 1570 = 10430$ cm³ $= 10{,}43$ L.
18.
Een lichaam is een cilinder met een halve bol erop, allebei met straal $3$ cm. De totale inhoud is $90\pi$ cm³. Hoe hoog is het cilinderdeel? (Reken met $\pi$ als factor.)
Antwoord: 8
1. De halve bol heeft inhoud $k\pi$ cm³. Wat is $k$ ? 18
2. Het cilinderdeel heeft inhoud $m\pi$ cm³. Wat is $m$ ? 72
3. Los $\pi \times 3^2 \times h = 72\pi$ op. Wat is $h$ in cm? 8