Een ijshoorntje

Een ijshoorntje heeft een straal van 3 cm en een hoogte van 10 cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$, en daarna met $\pi \approx 3{,}14$, afgerond op tienden.

Schrijf de formule op: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ = Formule klaar

Kwadrateer de straal: $r^2 = 3^2 = 9$ = $r^2 = 9$

Vermenigvuldig met de hoogte en deel door 3: $\frac{1}{3} \times 9 \times 10 = \frac{90}{3} = 30$ = $V = 30\pi$ cm³

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$: $30 \times 3{,}14 = 94{,}2$ = $V \approx 94{,}2$ cm³

Answer: Het hoorntje bevat precies $30\pi$ cm³, dat is ongeveer $94{,}2$ cm³ ijs (zonder het bolletje erbovenop!).

Kegel tegen cilinder

Een cilinder en een kegel hebben allebei een diameter van 8 cm en een hoogte van 9 cm. Bereken beide inhouden uitgedrukt in $\pi$ en vergelijk ze.

Bepaal de straal uit de diameter: $r = 8 \div 2 = 4$ cm = $r = 4$ cm

Inhoud van de cilinder: $V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 9 = 144\pi$ = $144\pi$ cm³

Inhoud van de kegel (een derde): $V = \frac{1}{3} \times 144\pi = 48\pi$ = $48\pi$ cm³

Vergelijk: $144\pi \div 48\pi = 3$ = De cilinder bevat 3 keer zoveel

Answer: De cilinder bevat $144\pi$ cm³ en de kegel $48\pi \approx 150{,}72$ cm³. Drie kegels vullen één cilinder.

Een zandhoop

Een zandhoop vormt een kegel met een diameter van 6 m en een hoogte van 2 m. Hoeveel kubieke meter zand ligt er in de hoop? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$ en rond af op honderdsten.

Bepaal de straal: $r = 6 \div 2 = 3$ m = $r = 3$ m

Vul in de formule in: $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 3^2 \times 2$ = Waarden ingevuld

Bereken eerst $\frac{1}{3} r^2 h$: $\frac{9 \times 2}{3} = \frac{18}{3} = 6$ = $V = 6\pi$

Vermenigvuldig met 3,14: $6 \times 3{,}14 = 18{,}84$ = $V \approx 18{,}84$ m³

Answer: De hoop bevat ongeveer $18{,}84$ m³ zand (precies $6\pi$ m³).

Rekenen met de schuine hoogte

Een kegel heeft een straal van 6 cm en een schuine hoogte van 10 cm. Bereken de inhoud uitgedrukt in $\pi$ en met $\pi \approx 3{,}14$, afgerond op honderdsten.

Let op: 10 cm is de schuine hoogte, niet de hoogte: Straal, hoogte en schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek: $l^2 = r^2 + h^2$ = Eerst hebben we $h$ nodig

Gebruik de stelling van Pythagoras: $h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ = $h = \sqrt{64} = 8$ cm

Pas de inhoudsformule toe: $V = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 8 = \frac{36 \times 8}{3}\pi = 96\pi$ = $V = 96\pi$ cm³

Gebruik $\pi \approx 3{,}14$: $96 \times 3{,}14 = 301{,}44$ = $V \approx 301{,}44$ cm³

Answer: $V = 96\pi \approx 301{,}44$ cm³. Met 10 cm als hoogte had je het foute antwoord $120\pi$ cm³ gekregen.

De hoogte van een trechter vinden

Een kegelvormige trechter bevat 314 cm³ als hij vol is. De straal is 5 cm. Hoe hoog is hij? Gebruik $\pi \approx 3{,}14$.

Schrijf de formule op met wat je weet: $314 = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times h$ = Alleen $h$ is onbekend

Vermenigvuldig beide kanten met 3: $942 = 3{,}14 \times 25 \times h$ = $942 = 78{,}5h$

Deel beide kanten door 78,5: $h = 942 \div 78{,}5 = 12$ = $h = 12$ cm

Controleer: $\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 12 = 3{,}14 \times 100 = 314$ = Klopt

Answer: De trechter is $12$ cm hoog. In het algemeen geldt $h = \frac{3V}{\pi r^2}$.

Mistake: De $\frac{1}{3}$ vergeten en $V = \pi r^2 h$ gebruiken

Why: Dat is de formule van de cilinder. Een kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte bevat maar een derde daarvan, dus het antwoord wordt 3 keer te groot.

Correct: Schrijf altijd $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ en deel door 3. Voor $r = 3$, $h = 10$: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 10 = 30\pi$, niet $90\pi$.

Mistake: De diameter gebruiken in plaats van de straal

Why: De straal is de helft van de diameter. Als je de diameter kwadrateert, wordt het antwoord 4 keer te groot.

Correct: Staat de diameter in de opgave, halveer die dan eerst: een diameter van 8 cm betekent $r = 4$ cm en $r^2 = 16$, niet $64$.

Mistake: De schuine hoogte als hoogte gebruiken

Why: De schuine hoogte loopt langs de schuine zijkant en is daarom altijd langer dan de loodrechte hoogte. Daarmee wordt de inhoud te groot.

Correct: De hoogte loopt recht van de top naar het middelpunt van het grondvlak. Ken je alleen de schuine hoogte $l$, bereken $h$ dan met $h^2 = l^2 - r^2$.

Mistake: Het antwoord in vierkante eenheden geven, zoals cm²

Why: Inhoud is driedimensionaal: $r \times r \times h$ vermenigvuldigt drie lengtes.

Correct: Inhoud staat altijd in kubieke eenheden: cm³, m³, in³. Onthoud dat $1$ cm³ $= 1$ mL.

In de ijssalon

IJssalons kiezen de maat en prijs van hun hoorntjes op basis van hoeveel ijs erin past.

Een klein hoorntje met straal 2 cm en hoogte 9 cm bevat $\frac{1}{3}\pi \times 4 \times 9 = 12\pi \approx 37{,}68$ cm³.

Papieren bekertjes bij de waterkoeler

Veel waterkoelers op kantoor gebruiken kegelvormige papieren bekertjes. Ze zijn goedkoop te maken en makkelijk te stapelen.

Een kegelvormig papieren bekertje met straal 3 cm en hoogte 10 cm bevat $30\pi \approx 94{,}2$ cm³, dat is ongeveer $94$ mL water.

Hopen zand en strooizout

Als zand, grind of strooizout van bovenaf wordt gestort, ontstaat er een kegel. Bouwvakkers en wegendiensten schatten met de kegelformule hoeveel materiaal er in een hoop ligt.

Een zandhoop met straal 3 m en hoogte 2 m bevat $6\pi \approx 18{,}84$ m³ zand.

Q: Waarom precies een derde en niet de helft?

A: Een kegel wordt naar boven steeds smaller, dus het grootste deel van de inhoud zit dicht bij het grondvlak. Je kunt het testen met water of rijst: drie volle kegels vullen een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Later, bij integraalrekening, kun je bewijzen dat de factor precies $\frac{1}{3}$ is. Piramides volgen dezelfde regel van een derde.

Q: En als de kegel scheef staat (een scheve kegel)?

A: De formule werkt nog steeds, zolang $h$ de loodrechte hoogte is van de top tot het vlak van het grondvlak. Een scheve kegel met hetzelfde grondvlak en dezelfde loodrechte hoogte heeft dezelfde inhoud als een rechte.

Q: Wanneer laat ik het antwoord uitgedrukt in $\pi$ staan?

A: Als de opgave om een exact antwoord vraagt of zegt "uitgedrukt in $\pi$", schrijf het dan als bijvoorbeeld $48\pi$ cm³. Heb je een getal nodig voor een echte situatie, vermenigvuldig dan met $3{,}14$ (of gebruik de $\pi$-toets) en rond af zoals de opgave vraagt.

Q: Hoe vind ik de hoogte als ik alleen de schuine hoogte ken?

A: De straal, de hoogte en de schuine hoogte vormen een rechthoekige driehoek met de schuine hoogte als schuine zijde. Dus $h = \sqrt{l^2 - r^2}$. Voor $r = 5$ en $l = 13$: $h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.