Vierkante piramide

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van $6$ cm en een hoogte van $10$ cm. Wat is de inhoud?

Bereken de oppervlakte van het grondvlak: $B = s^2 = 6^2 = 36$ = $B = 36$ cm²

Vermenigvuldig met de hoogte: $B \times h = 36 \times 10 = 360$ = $360$ (dit zou het prisma zijn)

Neem een derde: $V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ = $V = 120$ cm³

Answer: De inhoud is $120$ cm³.

Rechthoekig grondvlak

Een piramide heeft een rechthoekig grondvlak van $8$ m bij $6$ m en een hoogte van $10$ m. Bereken de inhoud.

Bereken de oppervlakte van het grondvlak: $B = l \times w = 8 \times 6 = 48$ = $B = 48$ m²

Vermenigvuldig met de hoogte: $48 \times 10 = 480$ = $480$

Deel door 3: $V = 480 \div 3 = 160$ = $V = 160$ m³

Answer: De inhoud is $160$ m³.

Driehoekig grondvlak

Het grondvlak van een piramide is een driehoek met een basis van $6$ cm en een hoogte van $4$ cm. De piramide is $9$ cm hoog. Wat is de inhoud?

Bereken de oppervlakte van de grondvlakdriehoek: $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ = $B = 12$ cm²

Vermenigvuldig met de hoogte van de piramide: $12 \times 9 = 108$ = $108$

Neem een derde: $V = 108 \div 3 = 36$ = $V = 36$ cm³

Answer: De inhoud is $36$ cm³. Let op de twee verschillende hoogtes: $4$ cm hoort bij de driehoek van het grondvlak, $9$ cm is de hoogte van de piramide.

De hoogte vinden uit de inhoud

Een piramide met een vierkant grondvlak met zijde $9$ m heeft een inhoud van $324$ m³. Hoe hoog is ze?

Bereken de oppervlakte van het grondvlak: $B = 9^2 = 81$ = $B = 81$ m²

Vermenigvuldig beide kanten van $V = \frac{1}{3}Bh$ met 3: $3V = Bh$, dus $3 \times 324 = 972$ = $Bh = 972$

Deel door de oppervlakte van het grondvlak: $h = \frac{3V}{B} = 972 \div 81 = 12$ = $h = 12$ m

Answer: De piramide is $12$ m hoog.

Rekenen met de schuine hoogte

Een vierkante piramide heeft grondvlakzijden van $10$ cm en een schuine hoogte van $13$ cm. Bereken de inhoud.

Teken de rechthoekige driehoek in de piramide: Rechthoekszijden: $h$ en de halve zijde, $10 \div 2 = 5$. Schuine zijde: de schuine hoogte $13$ = $h^2 + 5^2 = 13^2$

Gebruik Pythagoras om h te vinden: $h^2 = 169 - 25 = 144$, dus $h = \sqrt{144}$ = $h = 12$ cm

Bereken de oppervlakte van het grondvlak: $B = 10^2 = 100$ = $B = 100$ cm²

Gebruik de formule voor de inhoud: $V = \frac{1}{3} \times 100 \times 12 = \frac{1200}{3} = 400$ = $V = 400$ cm³

Answer: De inhoud is $400$ cm³. Met $13$ in plaats van $12$ krijg je een fout antwoord van ongeveer $433$ cm³.

Mistake: De $\frac{1}{3}$ vergeten en $V = Bh$ rekenen

Why: $Bh$ is de inhoud van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Een piramide vult daar maar een derde van.

Correct: Eindig altijd met $\div 3$: een vierkante piramide met $s = 6$ en $h = 10$ heeft $V = 360 \div 3 = 120$, niet $360$.

Mistake: De schuine hoogte gebruiken in plaats van de loodrechte hoogte

Why: De schuine hoogte loopt over een schuin zijvlak en is dus langer dan de echte hoogte. Dan wordt de inhoud te groot.

Correct: Gebruik de hoogte die loodrecht op het grondvlak staat. Als alleen de schuine hoogte gegeven is, vind je $h$ met $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$.

Mistake: Een zijde invullen in plaats van de oppervlakte van het grondvlak

Why: $B$ is een oppervlakte, geen lengte. Wie voor een vierkant grondvlak met zijde $6$ gewoon $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ schrijft, laat een hele factor weg.

Correct: Bereken eerst $B$: $B = 6^2 = 36$, daarna $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$.

Mistake: De $\frac{1}{2}$ vergeten bij een driehoekig grondvlak

Why: De oppervlakte van een driehoek is de helft van basis keer hoogte, dus $b \times h_b$ alleen is twee keer te groot.

Correct: Voor een driehoekig grondvlak met $b = 6$ en $h_b = 4$: $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$, niet $24$.

De piramide van Cheops in Gizeh

Historici schatten hoeveel steen de Egyptenaren verplaatsten door de piramide van Cheops als vierkante piramide te behandelen.

Toen ze gebouwd werd, had de piramide een vierkant grondvlak met zijden van ongeveer $230$ m en was ze ongeveer $147$ m hoog.

Piramidetenten

Makers van kampeerspullen geven de binneninhoud van tenten op, zodat je kunt vergelijken hoe ruim ze zijn.

Een tent met een vierkante vloer van $2$ m bij $2$ m en een middenpaal van $1{,}5$ m is een vierkante piramide.

Piramidedaken

Installateurs hebben de inhoud van de lucht onder een dak nodig om een verwarming of ventilator goed te kiezen.

Een piramidedak (schilddak dat in één punt eindigt) staat op een huis met een rechthoekige plattegrond.

Q: Waarom staat er $\frac{1}{3}$ in de formule?

A: Een piramide loopt naar een punt toe, dus er past minder in dan in een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Proeven met zand of water laten zien dat precies drie piramides het prisma vullen. Je kunt het ook bewijzen: een kubus kun je verdelen in drie gelijke piramides die elk een zijvlak van de kubus als grondvlak hebben.

Q: Heeft de formule van de kegel er iets mee te maken?

A: Ja. Een kegel is als een piramide met een cirkel als grondvlak: $V = \frac{1}{3}Bh$ met $B = \pi r^2$ geeft $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, dezelfde regel van een derde.

Q: Werkt de formule ook als de top niet boven het midden van het grondvlak staat?

A: Ja. Een scheve piramide heeft dezelfde inhoud als een rechte met hetzelfde grondvlak en dezelfde loodrechte hoogte. Meet $h$ wel loodrecht, van het vlak van het grondvlak tot de top.

Q: En als het grondvlak 5 of 6 hoeken heeft?

A: De formule $V = \frac{1}{3}Bh$ werkt voor elk grondvlak. Alleen de manier waarop je $B$ vindt verandert: verdeel de veelhoek in driehoeken of gebruik de oppervlakteformule, vermenigvuldig dan met $h$ en deel door 3.