Heeft de formule van de kegel er iets mee te maken?

Ja. Een kegel is als een piramide met een cirkel als grondvlak: $V = \frac{1}{3}Bh$ met $B = \pi r^2$ geeft $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, dezelfde regel van een derde.

Werkt de formule ook als de top niet boven het midden van het grondvlak staat?

Ja. Een scheve piramide heeft dezelfde inhoud als een rechte met hetzelfde grondvlak en dezelfde loodrechte hoogte. Meet $h$ wel loodrecht, van het vlak van het grondvlak tot de top.

En als het grondvlak 5 of 6 hoeken heeft?

De formule $V = \frac{1}{3}Bh$ werkt voor elk grondvlak. Alleen de manier waarop je $B$ vindt verandert: verdeel de veelhoek in driehoeken of gebruik de oppervlakteformule, vermenigvuldig dan met $h$ en deel door 3.

Leermiddelen

Inhoud van piramides

Leer de inhoud van piramides met een vierkant, rechthoekig of driehoekig grondvlak berekenen met V = (1/3)Bh, en de hoogte vinden uit de schuine hoogte.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een piramide is een ruimtefiguur met één plat grondvlak (een veelhoek) en driehoekige zijvlakken die allemaal bovenaan in één punt samenkomen, de top.

De inhoud (het volume) van elke piramide volgt één regel:

V = \frac{1}{3}Bh

Waarbij:

$B$ = de oppervlakte van het grondvlak (in Nederlandse boeken vaak $G$ ; bereken die altijd eerst)
$h$ = de hoogte van de piramide: de loodrechte afstand van de top tot het grondvlak

B voor verschillende grondvlakken

Grondvlak	Oppervlakte $B$	Inhoud
Vierkant, zijde $s$	$B = s^2$	$V = \frac{1}{3}s^2h$
Rechthoek, $l$ bij $w$	$B = l \times w$	$V = \frac{1}{3}lwh$
Driehoek, basis $b$ , hoogte $h_b$	$B = \frac{1}{2} \times b \times h_b$	$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h$

Waarom een derde?

Neem een prisma en een piramide met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. De piramide bevat precies een derde van het prisma: je kunt drie volle piramides zand in het prisma gieten. Dus

V_{\text{piramide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prisma}} = \frac{1}{3}Bh

Hoogte en schuine hoogte

De schuine hoogte

l

loopt over een driehoekig zijvlak, van de top tot het midden van een ribbe van het grondvlak. Die is langer dan

h

. Bij een vierkante piramide vormen

h

, de halve zijde en

l

een rechthoekige driehoek, dus

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Probeer het meteen

Met welke formule bereken je de inhoud van elke piramide? (

B

= oppervlakte grondvlak,

h

= hoogte)

Uitgewerkte voorbeelden

Een piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van $6$ cm en een hoogte van $10$ cm. Wat is de inhoud?

Bereken de oppervlakte van het grondvlak

$B = s^2 = 6^2 = 36$ → $B = 36$ cm²

Vermenigvuldig met de hoogte

$B \times h = 36 \times 10 = 360$ → $360$ (dit zou het prisma zijn)

Neem een derde

$V = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ → $V = 120$ cm³

Antwoord: De inhoud is $120$ cm³.

Veelgemaakte fouten

De $\frac{1}{3}$ vergeten en $V = Bh$ rekenen

Waarom het fout is: $Bh$ is de inhoud van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Een piramide vult daar maar een derde van.

Correct: Eindig altijd met $\div 3$ : een vierkante piramide met $s = 6$ en $h = 10$ heeft $V = 360 \div 3 = 120$ , niet $360$ .

De schuine hoogte gebruiken in plaats van de loodrechte hoogte

Waarom het fout is: De schuine hoogte loopt over een schuin zijvlak en is dus langer dan de echte hoogte. Dan wordt de inhoud te groot.

Correct: Gebruik de hoogte die loodrecht op het grondvlak staat. Als alleen de schuine hoogte gegeven is, vind je $h$ met $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$ .

Een zijde invullen in plaats van de oppervlakte van het grondvlak

Waarom het fout is: $B$ is een oppervlakte, geen lengte. Wie voor een vierkant grondvlak met zijde $6$ gewoon $\frac{1}{3} \times 6 \times 10$ schrijft, laat een hele factor weg.

Correct: Bereken eerst $B$ : $B = 6^2 = 36$ , daarna $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120$ .

De $\frac{1}{2}$ vergeten bij een driehoekig grondvlak

Waarom het fout is: De oppervlakte van een driehoek is de helft van basis keer hoogte, dus $b \times h_b$ alleen is twee keer te groot.

Correct: Voor een driehoekig grondvlak met $b = 6$ en $h_b = 4$ : $B = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ , niet $24$ .

Interactieve visualisatie

3D Vormen viewer

Kies vorm

Rotatie X (20°)

Rotatie Y (30°)

Lengte (6)

Hoogte (10)

Vlakken

Ribben

Hoekpunten

Formule van Euler: V + H − R = 5 + 5 − 8 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 6² · 10 = 120

120 cm³

Oppervlakte

SA = B + ½Pl

SA = 6² + ½ · 24 · 10,44 ≈ 161,28

161,28 cm²

l = √(10² + 3²) ≈ 10,44

3D Vormen viewer

Kies vorm

Rotatie X (20°)

Rotatie Y (30°)

Basis (6)

Hoogte van de driehoek (4)

Hoogte (9)

Vlakken

Ribben

Hoekpunten

Formule van Euler: V + H − R = 4 + 4 − 6 = 2

Volume

V = ⅓Bh

V = ⅓ · 12 · 9 = 36

36 cm³

Oppervlakte

SA = B + ½(a·l₁ + b·l₂ + c·l₃)

SA = 12 + ½(6 · 9,1 + 5 · 9,14 + 5 · 9,14) ≈ 85

85 cm²

B = ½ · 6 · 4 = 12

l₁ = √(9² + 1,33²) ≈ 9,1

l₂ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

l₃ = √(9² + 1,6²) ≈ 9,14

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Met welke formule bereken je de inhoud van elke piramide? ( $B$ = oppervlakte grondvlak, $h$ = hoogte)

Waarom het belangrijk is

Piramidevormen zie je overal, en hun inhoud vertelt je hoeveel ruimte, lucht of materiaal erin zit:

Oude bouwwerken: de piramide van Cheops in Gizeh bevat ongeveer 2,6 miljoen kubieke meter steen
Moderne gebouwen: de glazen piramide van het Louvre in Parijs heeft een inhoud van ongeveer $9000$ m³ lucht die verwarmd of gekoeld moet worden
Kamperen: de inhoud van een piramidetent vertelt je hoeveel ruimte je binnen hebt
Daken: bouwers schatten de zolderruimte en de te verwarmen lucht onder een piramidedak
Verpakkingen en eten: piramidetheezakjes, bonbons en kaarsen

Hetzelfde idee van een derde geeft ook de inhoud van een kegel, dus wat je hier leert helpt je bij elke puntige ruimtefiguur.

Toepassingen in de echte wereld

De piramide van Cheops in Gizeh

Historici schatten hoeveel steen de Egyptenaren verplaatsten door de piramide van Cheops als vierkante piramide te behandelen.

Voorbeeld:

Toen ze gebouwd werd, had de piramide een vierkant grondvlak met zijden van ongeveer $230$ m en was ze ongeveer $147$ m hoog.

1Probeer het zelf

Neem voor de piramide van Cheops een vierkant grondvlak met zijden van $230$ m en een hoogte van $147$ m.

Wat was de inhoud in kubieke meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Oppervlakte grondvlak keer hoogte, gedeeld door 3:

Piramidetenten

Makers van kampeerspullen geven de binneninhoud van tenten op, zodat je kunt vergelijken hoe ruim ze zijn.

Voorbeeld:

Een tent met een vierkante vloer van $2$ m bij $2$ m en een middenpaal van $1{,}5$ m is een vierkante piramide.

2Probeer het zelf

Een piramidetent heeft een vierkante vloer met zijden van $2$ m. De middenpaal is $1{,}5$ m hoog.

Hoeveel lucht zit er in de tent?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 2^2 \times 1{,}5$ :

Piramidedaken

Installateurs hebben de inhoud van de lucht onder een dak nodig om een verwarming of ventilator goed te kiezen.

Voorbeeld:

Een piramidedak (schilddak dat in één punt eindigt) staat op een huis met een rechthoekige plattegrond.

3Probeer het zelf

Een piramidedak bedekt een rechthoekig huis van $10$ m bij $9$ m. De top van het dak ligt $4$ m boven het plafond.

Wat is de inhoud van de zolderruimte?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\frac{1}{3} \times 10 \times 9 \times 4$ :

Belangrijke punten

1De inhoud van elke piramide is $V = \frac{1}{3}Bh$ , met $B$ de oppervlakte van het grondvlak en $h$ de loodrechte hoogte
2Bereken eerst $B$ : $s^2$ bij een vierkant, $l \times w$ bij een rechthoek, $\frac{1}{2} \times b \times h_b$ bij een driehoek
3Een piramide bevat precies een derde van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte
4Gebruik de loodrechte hoogte, niet de schuine hoogte; vind die zo nodig met $h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2$
5Om de hoogte uit de inhoud te vinden, gebruik je $h = \frac{3V}{B}$
6De inhoud heeft altijd een kubieke eenheid (cm³, m³)

Veelgestelde vragen

Een piramide loopt naar een punt toe, dus er past minder in dan in een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Proeven met zand of water laten zien dat precies drie piramides het prisma vullen. Je kunt het ook bewijzen: een kubus kun je verdelen in drie gelijke piramides die elk een zijvlak van de kubus als grondvlak hebben.

Woordenlijst

Piramide: Een ruimtefiguur met een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken die in één punt (de top) samenkomen
Top: Het hoogste punt van een piramide, waar alle driehoekige zijvlakken samenkomen
Oppervlakte grondvlak (B): De oppervlakte van het grondvlak van de piramide, gemeten in vierkante eenheden
Hoogte (h): De afstand van de top tot het grondvlak, loodrecht op het grondvlak gemeten
Schuine hoogte (l): De afstand van de top tot het midden van een ribbe van het grondvlak, gemeten over een driehoekig zijvlak (ook apothema)

Formulekaart

Elke piramide

V = \frac{1}{3}Bh

Een derde van de oppervlakte van het grondvlak keer de loodrechte hoogte

Vierkant grondvlak

V = \frac{1}{3}s^2h

De oppervlakte van het grondvlak is de zijde in het kwadraat

Rechthoekig grondvlak

V = \frac{1}{3}lwh

De oppervlakte van het grondvlak is lengte keer breedte

Driehoekig grondvlak

V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}bh_b \times h

De helft van de basis van de driehoek keer de hoogte geeft B

Hoogte uit schuine hoogte

h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = l^2

Pythagoras in een vierkante piramide

Hoogte uit inhoud

h = \frac{3V}{B}

Vermenigvuldig de inhoud met 3 en deel door de oppervlakte van het grondvlak

Meer over dit onderwerp

Definitie

B voor verschillende grondvlakken

Waarom een derde?

Hoogte en schuine hoogte

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

3D Vormen viewer

3D Vormen viewer

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

De piramide van Cheops in Gizeh

Piramidetenten

Piramidedaken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Elke piramide

Vierkant grondvlak

Rechthoekig grondvlak

Driehoekig grondvlak

Hoogte uit schuine hoogte

Hoogte uit inhoud

Meer over dit onderwerp

Introductie tot volume

Metrische volume-eenheden (mL, L)

Inhoud van balken

Imperiale inhoudsmaten (cup, pint, gallon)