3 en 9 controleren met de cijfersom

Is $516$ deelbaar door $3$? Is het deelbaar door $9$?

Tel alle cijfers op: $5 + 1 + 6 = 12$ = Cijfersom: $12$

Test de cijfersom op 3: $12 \div 3 = 4$, geen rest = $516$ is deelbaar door $3$: $516 \div 3 = 172$

Test de cijfersom op 9: $12 \div 9 = 1$ rest $3$ = $516$ is niet deelbaar door $9$

Answer: $516$ is deelbaar door $3$ ($516 \div 3 = 172$) maar niet door $9$, omdat de cijfersom $12$ een veelvoud van $3$ is, maar niet van $9$.

Een groot getal: herhaalde cijfersom

Is $987.654$ deelbaar door $3$? Is het deelbaar door $9$?

Tel alle zes cijfers op: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39$ = Eerste cijfersom: $39$

De som is nog groot, dus tel de cijfers daarvan op: $3 + 9 = 12$ = Tweede cijfersom: $12$

Nog één keer, tot er één cijfer over is: $1 + 2 = 3$ = Laatste cijfer: $3$

Lees het resultaat af: $3$ is deelbaar door $3$, maar het is geen $9$ = Deelbaar door $3$, niet door $9$

Answer: $987.654$ is deelbaar door $3$ ($987.654 \div 3 = 329.218$) maar niet door $9$.

Waarom de regel werkt

Laat zien waarom $4527$ precies dan deelbaar is door $9$ als $4 + 5 + 2 + 7$ dat is.

Schrijf het getal met plaatswaarden: $4527 = 4 \times 1000 + 5 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ = Duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden

Splits elke plaatswaarde in negens plus 1: $1000 = 999 + 1, \; 100 = 99 + 1, \; 10 = 9 + 1$ = $4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Bekijk het eerste deel: $4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 = 3996 + 495 + 18 = 4509$ = $4509 = 9 \times 501$, altijd een veelvoud van $9$

Alleen de cijfersom moet nog getest worden: $4527 = 4509 + 18$ en $18 = 9 \times 2$ = $4527 = 9 \times 503$

Answer: De delen met $999$, $99$ en $9$ zijn altijd veelvouden van $9$ (en van $3$), dus alleen de cijfersom beslist. Omdat $18$ deelbaar is door $9$, is $4527$ dat ook.

Een ontbrekend cijfer vinden

Welke cijfers passen in het hokje zodat $52\square4$ deelbaar is door $3$? Welk cijfer maakt het deelbaar door $9$?

Tel de cijfers op die je kent: $5 + 2 + 4 = 11$ = Bekende som: $11$

Zoek de veelvouden van 3 die je met één cijfer (0 tot 9) kunt halen: $11 + \square$ kan $12$, $15$ of $18$ zijn = $\square = 1$, $4$ of $7$

Zoek nu een veelvoud van 9: Tussen $11$ en $20$ is $18$ het enige veelvoud van $9$ = $\square = 7$

Controleer met een deling: $5274 \div 9 = 586$ = Geen rest

Answer: Voor $3$ kan in het hokje $1$, $4$ of $7$ staan ($5214$, $5244$, $5274$). Alleen $7$ maakt het ook deelbaar door $9$: $5274 = 9 \times 586$.

De negenproef: een optelling controleren

Mia rekende $2345 + 1678$ uit en kreeg $4023$. Controleer haar antwoord met cijfersommen.

Breng het eerste getal terug tot één cijfer: $2 + 3 + 4 + 5 = 14 \rightarrow 1 + 4 = 5$ = $2345$ geeft rest $5$ bij deling door $9$

Breng het tweede getal terug: $1 + 6 + 7 + 8 = 22 \rightarrow 2 + 2 = 4$ = $1678$ geeft rest $4$

Tel de twee resten op: $5 + 4 = 9$, en $9$ telt als rest $0$ = De som moet rest $0$ geven

Breng Mia's antwoord terug: $4 + 0 + 2 + 3 = 9$, rest $0$ = Beide kanten kloppen

Answer: Beide controles geven rest $0$, dus het antwoord $4023$ doorstaat de proef. Als ze $4013$ had geschreven, gaf de proef $8$ en zag je meteen dat er iets mis is.

Mistake: Naar het laatste cijfer kijken, zoals bij 2, 5 en 10

Why: Het laatste cijfer zegt niets over 3 of 9. $23$ eindigt op $3$ maar is niet deelbaar door $3$, terwijl $27$ op $7$ eindigt en deelbaar is door $3$ en door $9$.

Correct: Tel altijd alle cijfers op: $2 + 7 = 9$, dus $27$ is deelbaar door $3$ en door $9$.

Mistake: Denken dat elk getal dat deelbaar is door 3 ook deelbaar is door 9

Why: De regel voor $9$ is strenger. Een cijfersom van $12$ of $15$ is een veelvoud van $3$, maar niet van $9$.

Correct: $516$ (cijfersom $12$) is deelbaar door $3$ maar niet door $9$. Andersom werkt het altijd: elk veelvoud van $9$ is een veelvoud van $3$.

Mistake: Stoppen bij het eerste cijfer dat past in een puzzel met een ontbrekend cijfer

Why: Voor $3$ passen meestal drie of vier cijfers, omdat de veelvouden van $3$ maar $3$ uit elkaar liggen.

Correct: Bij $52\square4$ en $3$ test je $12$, $15$ en $18$: in het hokje kan $1$, $4$ of $7$ staan.

Mistake: Denken dat een kloppende negenproef bewijst dat het antwoord goed is

Why: De negenproef vindt maar een deel van de fouten. Twee cijfers omwisselen verandert de cijfersom niet, dus $4032$ doorstaat dezelfde proef als $4023$.

Correct: Klopt de proef niet, dan is het antwoord zeker fout. Klopt ze wel, dan is het antwoord waarschijnlijk goed, maar niet zeker.

Gelijke teams maken

Trainers en leraren moeten een groep vaak in gelijke teams verdelen. De cijfersom vertelt meteen of dat lukt.

Kunnen $135$ lopers in $9$ gelijke groepen starten? $1 + 3 + 5 = 9$, dus ja: $135 \div 9 = 15$ lopers per groep.

Een rekening controleren

Voor er rekenmachines waren, controleerden winkeliers en boekhouders lange optellingen met cijfersommen. Het is nog steeds een snelle manier om een slordigheidsfout in je eigen berekening te vinden.

$1236 + 2458 = 3694$: de resten zijn $3$ en $1$, samen $4$, en $3694$ geeft ook $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$. De proef klopt.

Een code kraken

Puzzelboeken en escaperooms houden van codes met een ontbrekend cijfer. Een hint over deelbaarheid geeft vaak in één stap het antwoord.

Een code $7\square2$ is deelbaar door $9$: $7 + 2 = 9$, dus in het hokje moet $0$ of $9$ staan ($702$ of $792$).

Q: Maakt de volgorde van de cijfers uit?

A: Nee. $4527$, $7254$ en $2745$ hebben allemaal cijfersom $18$, dus alle drie zijn deelbaar door $9$. Cijfers verschuiven verandert de cijfersom nooit.

Q: En het cijfer 0?

A: Een $0$ voegt niets toe aan de cijfersom, dus je kunt hem overslaan. $3051$ en $351$ hebben dezelfde cijfersom $9$, en beide zijn deelbaar door $9$.

Q: Waarom werkt deze truc niet voor 7?

A: Hij werkt voor $3$ en $9$ omdat $10$ precies $1$ meer is dan een veelvoud van $9$. Voor $7$ klopt dat niet ($10 = 7 + 3$), dus de plaatswaarden vallen niet weg. Voor $7$ heb je een andere test nodig.

Q: Hoe vind ik de rest met de cijfersom?

A: Breng het getal terug tot één cijfer. Voor $9$ is dat cijfer de rest, alleen betekent $9$ rest $0$. Bijvoorbeeld $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, en inderdaad $7654 = 9 \times 850 + 4$.