Een $0$ voegt niets toe aan de cijfersom, dus je kunt hem overslaan. $3051$ en $351$ hebben dezelfde cijfersom $9$, en beide zijn deelbaar door $9$.

Waarom werkt deze truc niet voor 7?

Hij werkt voor $3$ en $9$ omdat $10$ precies $1$ meer is dan een veelvoud van $9$. Voor $7$ klopt dat niet ($10 = 7 + 3$), dus de plaatswaarden vallen niet weg. Voor $7$ heb je een andere test nodig.

Hoe vind ik de rest met de cijfersom?

Breng het getal terug tot één cijfer. Voor $9$ is dat cijfer de rest, alleen betekent $9$ rest $0$. Bijvoorbeeld $7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4$, en inderdaad $7654 = 9 \times 850 + 4$.

Leermiddelen

Deelbaarheid door 3 en 9

Q: Maakt de volgorde van de cijfers uit?

Nee. $4527$, $7254$ en $2745$ hebben allemaal cijfersom $18$, dus alle drie zijn deelbaar door $9$. Cijfers verschuiven verandert de cijfersom nooit.

Leer de cijfersomregel: tel de cijfers van een getal op en zie meteen of het deelbaar is door 3 of door 9, vind ontbrekende cijfers en controleer je optellingen.

Basis20 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Om te testen of een getal deelbaar door 3 of deelbaar door 9 is, helpt het laatste cijfer niet. In plaats daarvan tel je al zijn cijfers op. Dat totaal heet de cijfersom.

De regel voor 3

Een getal is deelbaar door

3

als zijn cijfersom deelbaar is door

3

516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

De regel voor 9

Een getal is deelbaar door

9

als zijn cijfersom deelbaar is door

9

4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Grote getallen: nog eens optellen

Als de cijfersom nog groot is, tel je de cijfers daarvan opnieuw op, tot er één cijfer over is:

987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3

Het laatste cijfer vertelt alles:

3

6

9

betekent deelbaar door

3

, en alleen

9

betekent deelbaar door

9

9 is strenger dan 3

Elk getal dat deelbaar is door

9

is ook deelbaar door

3

(want

9 = 3 \times 3

). Andersom klopt niet:

516

is deelbaar door

3

, maar zijn cijfersom

12

is niet deelbaar door

9

, dus

516

is niet deelbaar door

9

Probeer het meteen

Welk getal is deelbaar door

3

Uitgewerkte voorbeelden

516

deelbaar door

3

? Is het deelbaar door

9

Tel alle cijfers op

5 + 1 + 6 = 12

→ Cijfersom:

12

Test de cijfersom op 3

12 \div 3 = 4

, geen rest →

516

is deelbaar door

3

516 \div 3 = 172

Test de cijfersom op 9

12 \div 9 = 1

rest

3

→

516

is niet deelbaar door

9

Antwoord: $516$ is deelbaar door $3$ ( $516 \div 3 = 172$ ) maar niet door $9$ , omdat de cijfersom $12$ een veelvoud van $3$ is, maar niet van $9$ .

Veelgemaakte fouten

Naar het laatste cijfer kijken, zoals bij 2, 5 en 10

Waarom het fout is: Het laatste cijfer zegt niets over 3 of 9. $23$ eindigt op $3$ maar is niet deelbaar door $3$ , terwijl $27$ op $7$ eindigt en deelbaar is door $3$ en door $9$ .

Correct: Tel altijd alle cijfers op: $2 + 7 = 9$ , dus $27$ is deelbaar door $3$ en door $9$ .

Denken dat elk getal dat deelbaar is door 3 ook deelbaar is door 9

Waarom het fout is: De regel voor $9$ is strenger. Een cijfersom van $12$ of $15$ is een veelvoud van $3$ , maar niet van $9$ .

Correct: $516$ (cijfersom $12$ ) is deelbaar door $3$ maar niet door $9$ . Andersom werkt het altijd: elk veelvoud van $9$ is een veelvoud van $3$ .

Stoppen bij het eerste cijfer dat past in een puzzel met een ontbrekend cijfer

Waarom het fout is: Voor $3$ passen meestal drie of vier cijfers, omdat de veelvouden van $3$ maar $3$ uit elkaar liggen.

Correct: Bij $52\square4$ en $3$ test je $12$ , $15$ en $18$ : in het hokje kan $1$ , $4$ of $7$ staan.

Denken dat een kloppende negenproef bewijst dat het antwoord goed is

Waarom het fout is: De negenproef vindt maar een deel van de fouten. Twee cijfers omwisselen verandert de cijfersom niet, dus $4032$ doorstaat dezelfde proef als $4023$ .

Correct: Klopt de proef niet, dan is het antwoord zeker fout. Klopt ze wel, dan is het antwoord waarschijnlijk goed, maar niet zeker.

Interactieve visualisatie

Jij bent aan de beurt: deelbaar door 3? Door 9? Eerst gokken, dan de cijfersom controleren

0 van 0 goed

372

Voor 3: tel alle cijfers op.

Kies een deler, gok ja of nee en bekijk dan de regel.

Is 372 deelbaar door 3?

Voor 3: tel alle cijfers op.

Waarom werkt de cijfersom? Splits een lang getal in 999..., 99..., 9 en de cijfersom

123456789012

Voor 3: tel alle cijfers op.

Tik op een deler om zijn regel bij dit getal te zien.

Is 123.456.789.012 deelbaar door 3?

Tel alle cijfers op:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 1 + 2 = 48

Nog meer dan één cijfer, dus tel opnieuw op:

4 + 8 = 12

Nog meer dan één cijfer, dus tel opnieuw op:

1 + 2 = 3

3 is een veelvoud van 3.

123.456.789.012 is deelbaar door 3.

Controle met delen: 123.456.789.012 ÷ 3 = 41.152.263.004

123.456.789.012 = 1 × 100.000.000.000 + 2 × 10.000.000.000 + 3 × 1.000.000.000 + 4 × 100.000.000 + 5 × 10.000.000 + 6 × 1.000.000 + 7 × 100.000 + 8 × 10.000 + 9 × 1000 + 1 × 10 + 2

= 1 × 99.999.999.999 + 2 × 9.999.999.999 + 3 × 999.999.999 + 4 × 99.999.999 + 5 × 9.999.999 + 6 × 999.999 + 7 × 99.999 + 8 × 9999 + 9 × 999 + 1 × 9 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 2)

10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. De delen met 9, 99, 999 zijn veelvouden van 3, alleen de som van de cijfers blijft over: die beslist.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welk getal is deelbaar door

3

Waarom het belangrijk is

De cijfersomregel is een van de handigste trucs bij het rekenen:

Eerlijk verdelen: kun je 378 stickers verdelen over 9 vrienden? $3 + 7 + 8 = 18$ , dus ja, zonder eerst te delen.
Breuken vereenvoudigen: in $\frac{51}{87}$ zijn beide cijfersommen ( $6$ en $15$ ) deelbaar door $3$ , dus je kunt beide door $3$ delen: $\frac{17}{29}$ .
Je werk controleren: de cijfersom houdt de rest bij deling door $9$ vast, dus je kunt een lange optelling in een paar seconden controleren (dat heet de negenproef).
Getallenpuzzels: puzzels met een ontbrekend cijfer en codes verstoppen vaak een getal dat deelbaar is door $3$ of $9$ .

Na de regels voor 2, 5 en 10 (die naar het laatste cijfer kijken) is dit de eerste regel die alle cijfers gebruikt, en hij bereidt je voor op de regels voor 6 en 12.

Toepassingen in de echte wereld

Gelijke teams maken

Trainers en leraren moeten een groep vaak in gelijke teams verdelen. De cijfersom vertelt meteen of dat lukt.

Voorbeeld:

Kunnen $135$ lopers in $9$ gelijke groepen starten? $1 + 3 + 5 = 9$ , dus ja: $135 \div 9 = 15$ lopers per groep.

1Probeer het zelf

Op de sportdag van een school zijn $378$ leerlingen. De leraren willen $9$ even grote teams maken.

Hoeveel leerlingen komen er in elk team?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Verdeel de leerlingen over 9 teams:

Een rekening controleren

Voor er rekenmachines waren, controleerden winkeliers en boekhouders lange optellingen met cijfersommen. Het is nog steeds een snelle manier om een slordigheidsfout in je eigen berekening te vinden.

Voorbeeld:

$1236 + 2458 = 3694$ : de resten zijn $3$ en $1$ , samen $4$ , en $3694$ geeft ook $3 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4$ . De proef klopt.

2Probeer het zelf

Een kassamedewerker telt twee pakbonnen op: $1236 + 2458 = 3694$ . Je wilt het totaal controleren met de resten bij deling door $9$ .

Welke rest geeft het totaal $3694$ bij deling door $9$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal de rest van 3694 gedeeld door 9:

Een code kraken

Puzzelboeken en escaperooms houden van codes met een ontbrekend cijfer. Een hint over deelbaarheid geeft vaak in één stap het antwoord.

Voorbeeld:

Een code $7\square2$ is deelbaar door $9$ : $7 + 2 = 9$ , dus in het hokje moet $0$ of $9$ staan ( $702$ of $792$ ).

3Probeer het zelf

De code van een fietsslot is $4\square71$ . Op een briefje staat: de code is deelbaar door $9$ .

Welk cijfer ontbreekt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zoek het cijfer dat de cijfersom aanvult tot het volgende veelvoud van 9:

Belangrijke punten

1De cijfersom is het totaal van alle cijfers van een getal: voor $4527$ is dat $4 + 5 + 2 + 7 = 18$
2Een getal is deelbaar door $3$ als zijn cijfersom deelbaar is door $3$ , en door $9$ als zijn cijfersom deelbaar is door $9$
3Bij grote getallen tel je de cijfers steeds opnieuw op tot er één cijfer over is: $3$ , $6$ , $9$ betekent deelbaar door $3$ , alleen $9$ betekent deelbaar door $9$
4Elk veelvoud van $9$ is een veelvoud van $3$ , maar niet elk veelvoud van $3$ is een veelvoud van $9$
5Het werkt omdat $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 999 + 1$ : de negens vallen weg en alleen de cijfersom blijft over
6Een getal en zijn cijfersom geven dezelfde rest bij deling door $3$ of $9$ , zo vind je ontbrekende cijfers en controleer je optellingen (negenproef)

Veelgestelde vragen

Nee.

4527

7254

2745

hebben allemaal cijfersom

18

, dus alle drie zijn deelbaar door

9

. Cijfers verschuiven verandert de cijfersom nooit.

Woordenlijst

Cijfersom: Het totaal dat je krijgt als je alle cijfers van een getal optelt, bijvoorbeeld $372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12$
Herhaalde cijfersom: Steeds opnieuw de cijfers optellen tot er één cijfer over is, bijvoorbeeld $987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3$
Deelbaar door: Een getal is deelbaar door $3$ als delen door $3$ geen rest geeft, bijvoorbeeld $372 \div 3 = 124$
Deelbaarheidsregel: Een snelle manier om te zien of een getal deelbaar is door een ander getal, zonder de deling uit te voeren
Rest: Wat er overblijft na het delen, bijvoorbeeld $23 \div 9 = 2$ rest $5$
Negenproef: Een berekening controleren door elk getal te vervangen door zijn rest bij deling door $9$ (zijn herhaalde cijfersom)

Formulekaart

Regel voor 3

3 \mid n \iff 3 \mid \text{cijfersom van } n

Een getal is deelbaar door 3 als zijn cijfersom deelbaar is door 3

Regel voor 9

9 \mid n \iff 9 \mid \text{cijfersom van } n

Een getal is deelbaar door 9 als zijn cijfersom deelbaar is door 9

Waarom het werkt

4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

De delen met 999, 99 en 9 zijn altijd veelvouden van 9, dus alleen de cijfersom beslist

Zelfde rest

7654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Een getal geeft bij deling door 9 (of 3) dezelfde rest als zijn cijfersom

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

De regel voor 3

De regel voor 9

Grote getallen: nog eens optellen

9 is strenger dan 3

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Jij bent aan de beurt: deelbaar door 3? Door 9? Eerst gokken, dan de cijfersom controleren

Waarom werkt de cijfersom? Splits een lang getal in 999..., 99..., 9 en de cijfersom

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Gelijke teams maken

Een rekening controleren

Een code kraken

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Regel voor 3

Regel voor 9

Waarom het werkt

Zelfde rest

Meer over dit onderwerp

Deelbaarheidsregels

Deelbaarheid door 2, 5 en 10

Deelbaarheid door 4, 6 en 8

Gecombineerde deelbaarheidsregels