Deelbaarheid door 4 met de laatste twee cijfers

Is $7316$ deelbaar door $4$?

Haal de laatste twee cijfers apart: $7316 = 73 \times 100 + 16$ = Laatste twee cijfers: $16$

Bedenk waarom de honderdtallen niet uitmaken: $100 = 4 \times 25$, dus $7300$ is een veelvoud van $4$ = Alleen $16$ beslist

Test de laatste twee cijfers: $16 = 4 \times 4$ = $16$ is deelbaar door $4$

Trek de conclusie en controleer: $7316 \div 4 = 1829$ = Deelbaar, rest $0$

Answer: Ja. De laatste twee cijfers vormen 16, en dat is deelbaar door 4, dus 7316 is deelbaar door 4 (7316 : 4 = 1829).

De snelle check met het tientalcijfer

Welke van $3572$, $6134$ en $9048$ zijn deelbaar door $4$?

Test $3572$: tientalcijfer $7$ is oneven: Oneven tientalcijfer: het laatste cijfer moet $2$ of $6$ zijn. Het is $2$ = $72 = 4 \times 18$, deelbaar

Test $6134$: tientalcijfer $3$ is oneven: Oneven tientalcijfer: het laatste cijfer moet $2$ of $6$ zijn. Het is $4$ = $34 = 4 \times 8 + 2$, niet deelbaar

Test $9048$: tientalcijfer $4$ is even: Even tientalcijfer: het laatste cijfer moet $0$, $4$ of $8$ zijn. Het is $8$ = $48 = 4 \times 12$, deelbaar

Answer: 3572 en 9048 zijn deelbaar door 4. 6134 niet: er blijft rest 2 over.

Deelbaarheid door 8 met de laatste drie cijfers

Is $45.136$ deelbaar door $8$?

Haal de laatste drie cijfers apart: $45.136 = 45 \times 1000 + 136$, en $1000 = 8 \times 125$ = Alleen $136$ beslist

Deel $136$ door $8$ door drie keer te halveren: $136 \to 68 \to 34 \to 17$ = Drie keer netjes gehalveerd: $136 = 8 \times 17$

Trek de conclusie en controleer: $45.136 \div 8 = 5642$ = Deelbaar, rest $0$

Answer: Ja. De laatste drie cijfers vormen 136 = 8 × 17, dus 45.136 is deelbaar door 8 (45.136 : 8 = 5642).

Deelbaarheid door 6: twee tests, beide moeten slagen

Welke van $5742$ en $3754$ is deelbaar door $6$?

Test $5742$ op $2$: Het laatste cijfer $2$ is even = Deelbaar door $2$

Test $5742$ op $3$: $5 + 7 + 4 + 2 = 18$, en $18 = 3 \times 6$ = Deelbaar door $3$, dus door $6$: $5742 \div 6 = 957$

Test $3754$ op $2$: Het laatste cijfer $4$ is even = Deelbaar door $2$

Test $3754$ op $3$: $3 + 7 + 5 + 4 = 19$, en $19 = 3 \times 6 + 1$ = Niet deelbaar door $3$, dus niet door $6$

Answer: 5742 is deelbaar door 6. 3754 is even, maar zakt voor de test van 3, dus het is niet deelbaar door 6.

Schrikkeljaren

Een jaar is een schrikkeljaar als het deelbaar is door $4$, behalve eeuwjaren (eindigend op $00$), die deelbaar moeten zijn door $400$. Welke van $2024$, $1900$, $2000$ en $2100$ zijn schrikkeljaren?

Test $2024$: Geen eeuwjaar. Laatste twee cijfers $24 = 4 \times 6$ = Schrikkeljaar

Test $1900$: Eeuwjaar: $1900 \div 400 = 4{,}75$ = Geen schrikkeljaar

Test $2000$: Eeuwjaar: $2000 \div 400 = 5$ = Schrikkeljaar

Test $2100$: Eeuwjaar: $2100 \div 400 = 5{,}25$ = Geen schrikkeljaar

Answer: 2024 en 2000 zijn schrikkeljaren. 1900 en 2100 zijn wel deelbaar door 4, maar het zijn eeuwjaren die niet deelbaar zijn door 400, dus geen schrikkeljaren.

Mistake: Voor $4$ alleen het laatste cijfer bekijken: "$2134$ eindigt op $4$, dus het is deelbaar door $4$"

Why: De regel voor $4$ leest de laatste **twee** cijfers, omdat $10$ geen veelvoud van $4$ is. Hier is $34 = 4 \times 8 + 2$.

Correct: Test de laatste twee cijfers: $34$ geeft rest $2$, dus $2134$ is niet deelbaar door $4$.

Mistake: Voor $8$ alleen de laatste twee cijfers bekijken: "$3124$ eindigt op $24 = 8 \times 3$, dus het is deelbaar door $8$"

Why: $100$ is geen veelvoud van $8$ ($100 = 8 \times 12 + 4$), dus het honderdtalcijfer telt nog mee. De regel voor $8$ heeft de laatste **drie** cijfers nodig.

Correct: Test $124$: $124 = 8 \times 15 + 4$. Dus $3124$ is niet deelbaar door $8$ (rest $4$).

Mistake: Denken dat deelbaar door $2$ en door $4$ betekent dat het getal deelbaar is door $8$

Why: $12$ is deelbaar door $2$ en door $4$, maar $12 \div 8 = 1{,}5$. Regels combineren werkt alleen als de twee getallen relatief priem zijn, zoals $2$ en $3$ bij $6$. $2$ en $4$ hebben de gemeenschappelijke factor $2$.

Correct: Gebruik voor $8$ de eigen regel (laatste drie cijfers). Voor $6$ mag je $2$ en $3$ combineren.

Mistake: Maar één deel van de regel voor $6$ testen: "$27$ is deelbaar door $3$, dus door $6$"

Why: Voor $6$ zijn **beide** tests nodig. $27$ is oneven en zakt dus voor de test van $2$. Zo is $26$ wel even, maar de cijfersom $8$ zakt voor de test van $3$.

Correct: Een getal is alleen deelbaar door $6$ als het even is **en** de cijfersom deelbaar is door $3$, bijvoorbeeld $5742$.

Schrikkeljaren in een eeuw

De kalender voegt in elk jaar dat deelbaar is door 4 een dag toe (29 februari), maar slaat eeuwjaren over die niet deelbaar zijn door 400.

$2024$ is een schrikkeljaar ($24 = 4 \times 6$), $2000$ was er een ($2000 = 400 \times 5$), maar $1900$ niet ($1900 \div 400 = 4{,}75$).

Verpakken per zes

Bakkerijen, eierboerderijen en drankfabrikanten verpakken per 6. De regels voor 2 en 3 vertellen hun al voor het tellen of er niets overblijft.

$4320$ eieren passen precies in dozen van $6$: $4320$ is even en $4 + 3 + 2 + 0 = 9$ is deelbaar door $3$, dus $4320 \div 6 = 720$ dozen.

Kratten van acht

Flessen en blikjes gaan vaak in kratten van 8. Bij een grote bestelling bepalen alleen de laatste drie cijfers of de kratten precies uitkomen.

$1560$ potloden passen in dozen van $8$: de laatste drie cijfers $560 = 8 \times 70$, dus $1560 \div 8 = 195$ dozen.

Q: Waarom beslissen de laatste twee cijfers over deelbaarheid door 4?

A: Elk geheel getal is een aantal honderdtallen plus de laatste twee cijfers: $7316 = 73 \times 100 + 16$. Omdat $100 = 4 \times 25$, is elk geheel aantal honderdtallen deelbaar door $4$. De rest bij deling door $4$ is daarom dezelfde als die van de laatste twee cijfers. Hetzelfde idee met $1000 = 8 \times 125$ geeft de regel voor $8$.

Q: Als een getal deelbaar is door 4, is het dan ook deelbaar door 8?

A: Niet altijd. $12$, $20$ en $28$ zijn deelbaar door $4$, maar niet door $8$. De ketting gaat alleen naar beneden: elk veelvoud van $8$ is een veelvoud van $4$ (omdat $8 = 4 \times 2$), en elk veelvoud van $4$ is even.

Q: Kan ik andere regels bouwen zoals 6 = 2 en 3?

A: Ja, maar alleen met getallen die relatief priem zijn (geen gemeenschappelijke deler behalve $1$). $6 = 2 \times 3$ werkt omdat $2$ en $3$ relatief priem zijn. $8 = 2 \times 4$ werkt niet, omdat $2$ en $4$ de deler $2$ delen: $12$ slaagt voor beide tests en is toch niet deelbaar door $8$. De les Gecombineerde deelbaarheidsregels laat dit zien voor $12$, $15$, $18$ en $36$.

Q: Waarom moeten eeuwjaren deelbaar zijn door 400 om schrikkeljaar te zijn?

A: Een jaar duurt ongeveer $365{,}2422$ dagen. Een schrikkeldag om de $4$ jaar geeft gemiddeld $365{,}25$ dagen, iets te lang. Door elke $400$ jaar $3$ schrikkeldagen over te slaan ($1700$, $1800$, $1900$, maar niet $2000$), blijven er $97$ schrikkeljaren over in $400$ jaar: $365 + \frac{97}{400} = 365{,}2425$ dagen, heel dicht bij de echte waarde.