Gecombineerde deelbaarheidsregels

Sommige delers hebben geen eigen regel, maar je kunt twee eenvoudige regels **combineren**. **Gecombineerde regel:** als $a$ en $b$ **relatief priem** zijn (onderling ondeelbaar: hun enige gemeenschappelijke deler is $1$), dan is een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ ook deelbaar door $a \times b$. | Deler | Test | Waarom het werkt | |---|---|---| | $12 = 3 \times 4$ | cijfersom deelbaar door 3 **en** laatste twee cijfers deelbaar door 4 | 3 en 4 zijn relatief priem | | $15 = 3 \times 5$ | cijfersom deelbaar door 3 **en** laatste cijfer 0 of 5 | 3 en 5 zijn relatief priem | | $18 = 2 \times 9$ | laatste cijfer even **en** cijfersom deelbaar door 9 | 2 en 9 zijn relatief priem | | $36 = 4 \times 9$ | laatste twee cijfers deelbaar door 4 **en** cijfersom deelbaar door 9 | 4 en 9 zijn relatief priem | **Let op:** $12 = 2 \times 6$ is GEEN geldige test, want 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2. Het getal $18$ is deelbaar door 2 en door 6, maar $18 : 12 = 1{,}5$. In het algemeen bewijzen de tests voor $a$ en $b$ deelbaarheid door $\text{kgv}(a, b)$, en dat is alleen $a \times b$ als $a$ en $b$ relatief priem zijn. **Deelbaarheid door 11 (alternerende cijfersom):** begin bij het cijfer van de eenheden en tel de cijfers om de beurt op en af: $+ - + - \dots$ Is de uitkomst deelbaar door 11 (dus ook $0$, $11$, $-11$, $22$), dan is het getal deelbaar door 11. $$82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ is deelbaar door } 11$$

Deelbaar door 12: gebruik 3 en 4

Is $7128$ deelbaar door $12$?

Splits 12 in onderling ondeelbare factoren: $12 = 3 \times 4$, en 3 en 4 hebben geen gemeenschappelijke deler behalve 1 = Test 3 en 4

Test 3 met de cijfersom: $7 + 1 + 2 + 8 = 18$, en $18$ is deelbaar door 3 = Deelbaar door 3

Test 4 met de laatste twee cijfers: De laatste twee cijfers vormen $28$, en $28 : 4 = 7$ = Deelbaar door 4

Combineer en controleer: Beide tests slagen, dus 12 deelt het getal: $7128 : 12 = 594$ = Deelbaar door 12

Answer: Ja, $7128$ is deelbaar door $12$ ($7128 = 12 \times 594$).

De valkuil van 2 en 6

$18$ is deelbaar door $2$ en door $6$. Is het ook deelbaar door $2 \times 6 = 12$?

Controleer 2 en 6: $18 : 2 = 9$ en $18 : 6 = 3$ = Beide delen 18

Controleer 12 direct: $18 = 12 \times 1 + 6$ = Rest 6, niet deelbaar

Zoek de oorzaak: $2 = 2$ en $6 = 2 \times 3$ hebben de gemeenschappelijke factor 2, dus de 2 telt dubbel. Deelbaar door 2 en 6 betekent alleen deelbaar door $\text{kgv}(2, 6) = 6$ = 2 en 6 zijn niet relatief priem

Answer: Nee. $18$ slaagt voor de tests van 2 en 6, maar is niet deelbaar door 12. Gebruik in plaats daarvan het onderling ondeelbare paar 3 en 4.

Deelbaar door 11: alternerende cijfersom

Is $82.918$ deelbaar door $11$?

Schrijf de cijfers op vanaf de eenheden naar links: $8, 1, 9, 2, 8$ = Begin bij het cijfer van de eenheden

Tel om de beurt op en af: $8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22$ = Alternerende cijfersom: 22

Test de uitkomst: $22 = 2 \times 11$ = Deelbaar door 11

Controleer door te delen: $82.918 : 11 = 7538$ = Geen rest

Answer: Ja, $82.918$ is deelbaar door $11$ omdat de alternerende cijfersom $22$ een veelvoud van 11 is.

Snel delers zoeken

Welke van de getallen $2$ tot en met $12$ delen $1980$?

Tests met het laatste cijfer: Eindigt op 0: deelbaar door 2, 5 en 10 = 2, 5, 10

Tests met de cijfersom: $1 + 9 + 8 + 0 = 18$: deelbaar door 3 en door 9 = 3, 9

Laatste twee en drie cijfers: $80 : 4 = 20$: deelbaar door 4. $980 : 8 = 122{,}5$: niet deelbaar door 8 = 4 ja, 8 nee

Alternerende cijfersom voor 11: $0 - 8 + 9 - 1 = 0$ = 11

Combineer de onderling ondeelbare paren: $6 = 2 \times 3$ en $12 = 3 \times 4$ slagen allebei. Voor 7 is er geen eenvoudige regel: $1980 = 7 \times 282 + 6$ = 6, 12; niet 7

Answer: $1980$ is deelbaar door $2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11$ en $12$, maar niet door $7$ of $8$.

Ontbrekend cijfer met twee regels

Welke cijfers $d$ maken $38d4$ deelbaar door $12$?

Regel voor 4: de laatste twee cijfers $d4$: $04, 24, 44, 64, 84$ zijn veelvouden van 4 = $d$ = 0, 2, 4, 6 of 8

Regel voor 3: de cijfersom: $3 + 8 + d + 4 = 15 + d$ moet een veelvoud van 3 zijn = $d$ = 0, 3, 6 of 9

Houd de cijfers over die voor beide slagen: In beide lijsten: 0 en 6 = $d = 0$ of $d = 6$

Controleer: $3804 : 12 = 317$ en $3864 : 12 = 322$ = Beide kloppen

Answer: $d = 0$ of $d = 6$: de getallen $3804$ en $3864$ zijn allebei deelbaar door $12$.

Gecombineerde regels maken van een grote vraag twee snelle controles: - **Eerlijk verdelen**: kun je 1350 stickers zonder rest over 15 klassen verdelen? Twee controles zeggen ja. - **Dienstregelingen**: een dag heeft 1440 minuten, dus een tram om de 36 minuten past precies in de dag als 1440 deelbaar is door 36. - **Breuken**: wie ziet dat 12 of 18 de teller en de noemer deelt, vereenvoudigt een breuk in één stap. - **Enorme getallen**: een getal van 12 cijfers test je in een paar seconden op 11 of 12, ook als de rekenmachine te weinig cijfers laat zien. Het idee achter elke gecombineerde regel, onderling ondeelbare factoren, is ook de sleutel tot het kleinste gemene veelvoud en tot veel puzzels met ontbrekende cijfers.

Mistake: 12 testen met de regels voor 2 en 6

Why: 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2, dus slagen voor beide tests bewijst alleen deelbaarheid door 6. Tegenvoorbeeld: $18$ (en ook $30$) is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12.

Correct: Gebruik onderling ondeelbare factoren: $12 = 3 \times 4$. Controleer de cijfersom voor 3 en de laatste twee cijfers voor 4.

Mistake: 36 testen met 3 en 12

Why: 3 en 12 hebben de gemeenschappelijke factor 3. $24$ is deelbaar door 3 en door 12, maar $24 : 36$ is geen geheel getal.

Correct: Gebruik $36 = 4 \times 9$: laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9.

Mistake: Denken dat één geslaagde test genoeg is

Why: Een gecombineerde regel heeft BEIDE tests nodig. $25$ eindigt op 5, maar de cijfersom is 7, dus het is niet deelbaar door 15.

Correct: Controleer elke factor van het paar. Als één test mislukt, is het getal niet deelbaar door het product.

Mistake: Een alternerende cijfersom van $0$ of $-11$ lezen als niet deelbaar door 11

Why: $0$, $-11$ en $-22$ zijn ook veelvouden van 11. Voor $9174$: $4 - 7 + 1 - 9 = -11$, en inderdaad is $9174 = 11 \times 834$.

Correct: Het getal is deelbaar door 11 zodra de alternerende cijfersom $0$ of een willekeurig veelvoud van 11 is, positief of negatief.

Eerlijk verdelen

Leraren, trainers en organisatoren willen vaak weten of iets zonder rest verdeeld kan worden.

Een school heeft 1350 stickers voor 15 klassen. $15 = 3 \times 5$: het laatste cijfer is 0 (deelbaar door 5) en $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (deelbaar door 3). De stickers kunnen dus eerlijk verdeeld worden.

Dienstregelingen

Vervoersplanners willen vertrektijden die elke dag in hetzelfde patroon terugkomen. Een dag heeft $24 \times 60 = 1440$ minuten.

Een bus om de 12 minuten past precies in een dag: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (deelbaar door 3) en $40 : 4 = 10$, dus 1440 is deelbaar door 12, wat 120 vertrekken geeft.

De 12-cijfercontrole

Veel rekenmachines tonen maar 8 tot 10 cijfers en kunnen een getal van 12 cijfers dus niet exact delen. Deelbaarheidsregels werken bij getallen van elke lengte.

Bij $123.456.789.012$ is de cijfersom $48$ (deelbaar door 3) en vormen de laatste twee cijfers $12$ (deelbaar door 4), dus het getal is deelbaar door 12.

Als $a$ en $b$ relatief priem zijn, is een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ ook deelbaar door $a \times b$

Test 12 met 3 en 4, 15 met 3 en 5, 18 met 2 en 9, 36 met 4 en 9

Test een product nooit met twee factoren die een gemeenschappelijke factor hebben: 18 is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12

Deelbaar door 11: de alternerende cijfersom ($+ - + - \dots$ vanaf de eenheden) is een veelvoud van 11, ook $0$ en negatieve veelvouden tellen

Om snel delers te zoeken gebruik je tests met het laatste cijfer, cijfersommen en de alternerende cijfersom, en combineer je daarna onderling ondeelbare paren

Bij een ontbrekend cijfer met twee regels maak je per regel een lijst van cijfers die slagen en houd je de cijfers over die in beide lijsten staan

Q: Waarom moeten de twee factoren relatief priem zijn?

A: Een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ is een gemeenschappelijk veelvoud van $a$ en $b$, en dus deelbaar door $\text{kgv}(a, b)$. Als $a$ en $b$ relatief priem zijn, geldt $\text{kgv}(a, b) = a \times b$. Hebben ze een gemeenschappelijke factor, dan is het kgv kleiner: $\text{kgv}(2, 6) = 6$, niet 12.

Q: Waarom werkt de alternerende cijfersom voor 11?

A: $10 = 11 - 1$, dus 10 geeft bij delen door 11 de rest $-1$, $100 = 99 + 1$ geeft $+1$, $1000 = 1001 - 1$ geeft $-1$, enzovoort. Elk cijfer telt dus mee met het teken $+, -, +, -, \dots$ vanaf de eenheden, en het getal heeft dezelfde rest als zijn alternerende cijfersom.

Q: Maakt het uit of ik de alternerende cijfersom links of rechts begin?

A: Voor het antwoord ja of nee maakt het niet uit: de twee uitkomsten zijn gelijk of elkaars tegengestelde, en $-22$ is precies dan een veelvoud van 11 als $22$ dat is. Beginnen bij de eenheden met $+$ bewaart bovendien de rest van het getal (tel 11 erbij of eraf tot je tussen 0 en 10 uitkomt), dus dat is de veiligste gewoonte.

Q: Kan ik 24 testen met 4 en 6?

A: Nee, 4 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2. $12$ is deelbaar door 4 en 6, maar niet door 24. Gebruik het onderling ondeelbare paar $24 = 3 \times 8$: cijfersom deelbaar door 3 en laatste drie cijfers deelbaar door 8.

Presentatie afsluiten

Gecombineerde deelbaarheidsregels

1 / 14

Getaltheorie / Deelbaarheid

Gecombineerde deelbaarheidsregels

Combineer eenvoudige regels om op 12, 15, 18 en 36 te testen, leer de alternerende cijfersom voor 11 en vind alle delers van 2 tot 12 in een paar seconden.

Gemiddeld25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren