Waarom moeten de twee factoren relatief priem zijn?

Een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ is een gemeenschappelijk veelvoud van $a$ en $b$, en dus deelbaar door $\text{kgv}(a, b)$. Als $a$ en $b$ relatief priem zijn, geldt $\text{kgv}(a, b) = a \times b$. Hebben ze een gemeenschappelijke factor, dan is het kgv kleiner: $\text{kgv}(2, 6) = 6$, niet 12.

Waarom werkt de alternerende cijfersom voor 11?

$10 = 11 - 1$, dus 10 geeft bij delen door 11 de rest $-1$, $100 = 99 + 1$ geeft $+1$, $1000 = 1001 - 1$ geeft $-1$, enzovoort. Elk cijfer telt dus mee met het teken $+, -, +, -, \dots$ vanaf de eenheden, en het getal heeft dezelfde rest als zijn alternerende cijfersom.

Maakt het uit of ik de alternerende cijfersom links of rechts begin?

Voor het antwoord ja of nee maakt het niet uit: de twee uitkomsten zijn gelijk of elkaars tegengestelde, en $-22$ is precies dan een veelvoud van 11 als $22$ dat is. Beginnen bij de eenheden met $+$ bewaart bovendien de rest van het getal (tel 11 erbij of eraf tot je tussen 0 en 10 uitkomt), dus dat is de veiligste gewoonte.

Kan ik 24 testen met 4 en 6?

Nee, 4 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2. $12$ is deelbaar door 4 en 6, maar niet door 24. Gebruik het onderling ondeelbare paar $24 = 3 \times 8$: cijfersom deelbaar door 3 en laatste drie cijfers deelbaar door 8.

Leermiddelen

Gecombineerde deelbaarheidsregels

Combineer eenvoudige regels om op 12, 15, 18 en 36 te testen, leer de alternerende cijfersom voor 11 en vind alle delers van 2 tot 12 in een paar seconden.

Gemiddeld25 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Sommige delers hebben geen eigen regel, maar je kunt twee eenvoudige regels combineren.

Gecombineerde regel: als

a

b

relatief priem zijn (onderling ondeelbaar: hun enige gemeenschappelijke deler is

1

), dan is een getal dat deelbaar is door

a

en door

b

ook deelbaar door

a \times b

Deler	Test	Waarom het werkt
$12 = 3 \times 4$	cijfersom deelbaar door 3 en laatste twee cijfers deelbaar door 4	3 en 4 zijn relatief priem
$15 = 3 \times 5$	cijfersom deelbaar door 3 en laatste cijfer 0 of 5	3 en 5 zijn relatief priem
$18 = 2 \times 9$	laatste cijfer even en cijfersom deelbaar door 9	2 en 9 zijn relatief priem
$36 = 4 \times 9$	laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9	4 en 9 zijn relatief priem

Let op:

12 = 2 \times 6

is GEEN geldige test, want 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2. Het getal

18

is deelbaar door 2 en door 6, maar

18 : 12 = 1{,}5

. In het algemeen bewijzen de tests voor

a

b

deelbaarheid door

\text{kgv}(a, b)

, en dat is alleen

a \times b

als

a

b

relatief priem zijn.

Deelbaarheid door 11 (alternerende cijfersom): begin bij het cijfer van de eenheden en tel de cijfers om de beurt op en af:

+ - + - \dots

Is de uitkomst deelbaar door 11 (dus ook

0

11

-11

22

), dan is het getal deelbaar door 11.

82.918: \quad 8 - 1 + 9 - 2 + 8 = 22 \Rightarrow 82.918 \text{ is deelbaar door } 11

Probeer het meteen

Welk paar tests bewijst samen dat een getal deelbaar is door

12

Uitgewerkte voorbeelden

7128

deelbaar door

12

Splits 12 in onderling ondeelbare factoren

12 = 3 \times 4

, en 3 en 4 hebben geen gemeenschappelijke deler behalve 1 → Test 3 en 4

Test 3 met de cijfersom

7 + 1 + 2 + 8 = 18

, en

18

is deelbaar door 3

Test 4 met de laatste twee cijfers

De laatste twee cijfers vormen

28

, en

28 : 4 = 7

→ Deelbaar door 4

Combineer en controleer

Beide tests slagen, dus 12 deelt het getal:

7128 : 12 = 594

→ Deelbaar door 12

Antwoord: Ja, $7128$ is deelbaar door $12$ ( $7128 = 12 \times 594$ ).

Veelgemaakte fouten

12 testen met de regels voor 2 en 6

Waarom het fout is: 2 en 6 hebben de gemeenschappelijke factor 2, dus slagen voor beide tests bewijst alleen deelbaarheid door 6. Tegenvoorbeeld: $18$ (en ook $30$ ) is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12.

Correct: Gebruik onderling ondeelbare factoren: $12 = 3 \times 4$ . Controleer de cijfersom voor 3 en de laatste twee cijfers voor 4.

36 testen met 3 en 12

Waarom het fout is: 3 en 12 hebben de gemeenschappelijke factor 3. $24$ is deelbaar door 3 en door 12, maar $24 : 36$ is geen geheel getal.

Correct: Gebruik $36 = 4 \times 9$ : laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9.

Denken dat één geslaagde test genoeg is

Waarom het fout is: Een gecombineerde regel heeft BEIDE tests nodig. $25$ eindigt op 5, maar de cijfersom is 7, dus het is niet deelbaar door 15.

Correct: Controleer elke factor van het paar. Als één test mislukt, is het getal niet deelbaar door het product.

Een alternerende cijfersom van $0$ of $-11$ lezen als niet deelbaar door 11

Waarom het fout is: $0$ , $-11$ en $-22$ zijn ook veelvouden van 11. Voor $9174$ : $4 - 7 + 1 - 9 = -11$ , en inderdaad is $9174 = 11 \times 834$ .

Correct: Het getal is deelbaar door 11 zodra de alternerende cijfersom $0$ of een willekeurig veelvoud van 11 is, positief of negatief.

Interactieve visualisatie

Eerst raden: welke getallen van 2 tot 12 delen het getal? Controleer dan elke regel

0 van 0 goed

3960

Voor 2: kijk naar het laatste cijfer.

Kies een deler, gok ja of nee en bekijk dan de regel.

Is 3960 deelbaar door 2?

Voor 2: kijk naar het laatste cijfer.

Een getal van 12 cijfers: de regels werken waar de rekenmachine te weinig cijfers heeft

123456789012

Voor 2: kijk naar het laatste cijfer.

Tik op een deler om zijn regel bij dit getal te zien.

Is 123.456.789.012 deelbaar door 2?

Het laatste cijfer is 2. Het is even (0, 2, 4, 6 of 8).

123.456.789.012 is deelbaar door 2.

Controle met delen: 123.456.789.012 ÷ 2 = 61.728.394.506

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welk paar tests bewijst samen dat een getal deelbaar is door

12

Waarom het belangrijk is

Gecombineerde regels maken van een grote vraag twee snelle controles:

Eerlijk verdelen: kun je 1350 stickers zonder rest over 15 klassen verdelen? Twee controles zeggen ja.
Dienstregelingen: een dag heeft 1440 minuten, dus een tram om de 36 minuten past precies in de dag als 1440 deelbaar is door 36.
Breuken: wie ziet dat 12 of 18 de teller en de noemer deelt, vereenvoudigt een breuk in één stap.
Enorme getallen: een getal van 12 cijfers test je in een paar seconden op 11 of 12, ook als de rekenmachine te weinig cijfers laat zien.

Het idee achter elke gecombineerde regel, onderling ondeelbare factoren, is ook de sleutel tot het kleinste gemene veelvoud en tot veel puzzels met ontbrekende cijfers.

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijk verdelen

Leraren, trainers en organisatoren willen vaak weten of iets zonder rest verdeeld kan worden.

Voorbeeld:

Een school heeft 1350 stickers voor 15 klassen. $15 = 3 \times 5$ : het laatste cijfer is 0 (deelbaar door 5) en $1 + 3 + 5 + 0 = 9$ (deelbaar door 3). De stickers kunnen dus eerlijk verdeeld worden.

1Probeer het zelf

Een school wil 1350 stickers verdelen over 15 klassen, elke klas evenveel.

Hoeveel stickers krijgt elke klas?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de deling die het aantal stickers per klas geeft:

Dienstregelingen

Vervoersplanners willen vertrektijden die elke dag in hetzelfde patroon terugkomen. Een dag heeft $24 \times 60 = 1440$ minuten.

Voorbeeld:

Een bus om de 12 minuten past precies in een dag: $1 + 4 + 4 + 0 = 9$ (deelbaar door 3) en $40 : 4 = 10$ , dus 1440 is deelbaar door 12, wat 120 vertrekken geeft.

2Probeer het zelf

Een tram vertrekt dag en nacht om de 36 minuten, de eerste om middernacht.

Hoeveel trams vertrekken er op een dag van 1440 minuten?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf de deling die het aantal vertrekken geeft:

De 12-cijfercontrole

Veel rekenmachines tonen maar 8 tot 10 cijfers en kunnen een getal van 12 cijfers dus niet exact delen. Deelbaarheidsregels werken bij getallen van elke lengte.

Voorbeeld:

Bij $123.456.789.012$ is de cijfersom $48$ (deelbaar door 3) en vormen de laatste twee cijfers $12$ (deelbaar door 4), dus het getal is deelbaar door 12.

3Probeer het zelf

Een code van 12 cijfers is $123.456.789.012$ . Je wilt zonder rekenmachine weten of hij deelbaar is door 12 en door 11.

Welke rest blijft er over als je $123.456.789.012$ door 12 deelt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul de rest in:

Belangrijke punten

1Als $a$ en $b$ relatief priem zijn, is een getal dat deelbaar is door $a$ en door $b$ ook deelbaar door $a \times b$
2Test 12 met 3 en 4, 15 met 3 en 5, 18 met 2 en 9, 36 met 4 en 9
3Test een product nooit met twee factoren die een gemeenschappelijke factor hebben: 18 is deelbaar door 2 en 6, maar niet door 12
4Deelbaar door 11: de alternerende cijfersom ( $+ - + - \dots$ vanaf de eenheden) is een veelvoud van 11, ook $0$ en negatieve veelvouden tellen
5Om snel delers te zoeken gebruik je tests met het laatste cijfer, cijfersommen en de alternerende cijfersom, en combineer je daarna onderling ondeelbare paren
6Bij een ontbrekend cijfer met twee regels maak je per regel een lijst van cijfers die slagen en houd je de cijfers over die in beide lijsten staan

Veelgestelde vragen

Een getal dat deelbaar is door

a

en door

b

is een gemeenschappelijk veelvoud van

a

b

, en dus deelbaar door

\text{kgv}(a, b)

. Als

a

b

relatief priem zijn, geldt

\text{kgv}(a, b) = a \times b

. Hebben ze een gemeenschappelijke factor, dan is het kgv kleiner:

\text{kgv}(2, 6) = 6

, niet 12.

Woordenlijst

Relatief priem (onderling ondeelbaar): Twee getallen zijn relatief priem als hun enige gemeenschappelijke deler 1 is. Voorbeeld: 4 en 9 zijn relatief priem, 2 en 6 niet.
Gecombineerde deelbaarheidsregel: Een test voor een product $a \times b$ van onderling ondeelbare getallen: het getal moet slagen voor de test van $a$ en voor de test van $b$ .
Alternerende cijfersom: De cijfers om de beurt opgeteld en afgetrokken vanaf de eenheden: voor 2816 is dat $6 - 1 + 8 - 2 = 11$ .
Cijfersom: De som van alle cijfers van een getal. De cijfersom van 1980 is $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ .
Rest: Wat er na het delen overblijft. $18 : 12 = 1$ rest $6$ .
Kleinste gemene veelvoud (kgv): Het kleinste getal dat een veelvoud is van beide getallen. $\text{kgv}(3, 4) = 12$ , $\text{kgv}(2, 6) = 6$ .

Formulekaart

Gecombineerde regel

a, b

relatief priem:

a \mid n

b \mid n \Rightarrow a \times b \mid n

Werkt alleen als de twee factoren geen gemeenschappelijke deler hebben behalve 1

Deelbaar door 12

12 = 3 \times 4

Cijfersom deelbaar door 3 en laatste twee cijfers deelbaar door 4

Deelbaar door 15

15 = 3 \times 5

Cijfersom deelbaar door 3 en laatste cijfer 0 of 5

Deelbaar door 18

18 = 2 \times 9

Laatste cijfer even en cijfersom deelbaar door 9

Deelbaar door 36

36 = 4 \times 9

Laatste twee cijfers deelbaar door 4 en cijfersom deelbaar door 9

Deelbaar door 11

d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + \dots

De alternerende cijfersom vanaf de eenheden is een veelvoud van 11 (ook 0)

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Eerst raden: welke getallen van 2 tot 12 delen het getal? Controleer dan elke regel

Een getal van 12 cijfers: de regels werken waar de rekenmachine te weinig cijfers heeft

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Eerlijk verdelen

Dienstregelingen

De 12-cijfercontrole

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Gecombineerde regel

Deelbaar door 12

Deelbaar door 15

Deelbaar door 18

Deelbaar door 36

Deelbaar door 11

Meer over dit onderwerp

Deelbaarheidsregels

Deelbaarheid door 2, 5 en 10

Deelbaarheid door 3 en 9

Deelbaarheid door 4, 6 en 8