De GGD vinden door delers op te sommen

Bepaal de GGD van $24$ en $36$.

Som alle delers van 24 op: $24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$ = Delers: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Som alle delers van 36 op: $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ = Delers: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$

Omcirkel de gemene delers: Beide lijsten bevatten: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ = Gemene delers gevonden

Zoek de grootste: Het grootste getal in beide lijsten is $12$ = $\text{GGD}(24, 36) = 12$

Answer: De GGD van 24 en 36 is $12$.

De GGD vinden met priemfactorisatie

Bepaal de GGD van $48$ en $60$ met priemfactorisatie.

Bepaal de priemfactorisatie van 48: $48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$ = $48 = 2^4 \times 3$

Bepaal de priemfactorisatie van 60: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ = $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Zoek de gemeenschappelijke priemfactoren: Beide hebben: $2$ (in beide) en $3$ (in beide) = Gemeenschappelijke priemfactoren: $2$ en $3$

Neem de laagste macht van elke gemeenschappelijke priem: $2$: laagste macht is $2^2$; $3$: laagste macht is $3^1$ = Gebruik $2^2$ en $3^1$

Vermenigvuldig de gemeenschappelijke factoren: $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ = $\text{GGD}(48, 60) = 12$

Answer: De GGD van 48 en 60 is $12$.

De GGD van drie getallen vinden

Bepaal de GGD van $18$, $24$ en $30$.

Priemfactorisatie van 18: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3$ = $18 = 2 \times 3^2$

Priemfactorisatie van 24: $24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ = $24 = 2^3 \times 3$

Priemfactorisatie van 30: $30 = 2 \times 15 = 2 \times 3 \times 5$ = $30 = 2 \times 3 \times 5$

Zoek de priemfactoren die in ALLE drie voorkomen: $2$ komt in alle voor (min: $2^1$); $3$ komt in alle voor (min: $3^1$) = Gemeenschappelijk: $2^1$ en $3^1$

Vermenigvuldig de gemeenschappelijke factoren: $2 \times 3 = 6$ = $\text{GGD}(18, 24, 30) = 6$

Answer: De GGD van 18, 24 en 30 is $6$.

Breuken vereenvoudigen met de GGD

Vereenvoudig $\frac{36}{48}$ met de GGD.

Bepaal de GGD van teller en noemer: Delers van 36: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$; Delers van 48: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ = $\text{GGD}(36, 48) = 12$

Deel beide door de GGD: $\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$ = Vereenvoudigde breuk

Controleer of het volledig vereenvoudigd is: $\text{GGD}(3, 4) = 1$, dus de breuk is zo ver mogelijk vereenvoudigd = $\frac{3}{4}$ is vereenvoudigd

Answer: $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$

Mistake: GGD en KGV verwarren

Why: De GGD gaat over delen (welk getal deelt BEIDE getallen?), het KGV over vermenigvuldigen (welk getal is deelbaar door BEIDE getallen?).

Correct: GGD van 12 en 18 is 6 (deelt beide). KGV van 12 en 18 is 36 (beide delen het).

Mistake: Vergeten de LAAGSTE macht te nemen bij priemfactorisatie

Why: Leerlingen vermenigvuldigen soms alle priemfactoren in plaats van alleen de gemeenschappelijke met de laagste machten.

Correct: Voor $2^4 \times 3$ en $2^2 \times 3 \times 5$, gebruik $2^2$ (niet $2^4$) en $3^1$. GGD = $2^2 \times 3 = 12$.

Mistake: Stoppen voordat je de GROOTSTE gemene deler hebt gevonden

Why: Een willekeurige gemene deler vinden betekent niet dat het de grootste is.

Correct: Voor 24 en 36 zijn de gemene delers 1, 2, 3, 4, 6, 12. De GGD is 12, niet zomaar een andere zoals 2 of 6.

Breuken vereenvoudigen

Om een breuk zo ver mogelijk te vereenvoudigen, heb je de GGD van teller en noemer nodig.

Om $\frac{42}{56}$ te vereenvoudigen: GGD(42, 56) = 14, dus $\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}$

Materialen zonder afval snijden

Bij het snijden van planken of stof helpt de GGD om de grootst mogelijke gelijke stukken te vinden.

Je hebt een plank van 72 cm en een van 90 cm. Om ze zonder afval in gelijke stukken te zagen, gebruik je stukken van GGD(72, 90) = 18 cm.

Voorwerpen in groepen organiseren

De GGD helpt bij het verdelen van verschillende soorten voorwerpen in gelijke groepen.

Met 28 appels en 42 sinaasappels kun je GGD(28, 42) = 14 identieke fruitmanden maken, elk met 2 appels en 3 sinaasappels.

Q: Wat als de GGD van twee getallen 1 is?

A: Als GGD = 1, noemen we de getallen **relatief priem** of **onderling ondeelbaar**. Ze hebben geen gemene deler behalve 1. Voorbeelden: GGD(8, 15) = 1, GGD(7, 12) = 1.

Q: Kan de GGD groter zijn dan een van de getallen?

A: Nee, de GGD is altijd kleiner dan of gelijk aan het kleinste getal. De GGD moet beide getallen delen, dus het kan geen van beide overschrijden.

Q: Wat is het verschil tussen GGD en KGV?

A: De GGD is het grootste getal dat beide getallen deelt. Het KGV (kleinste gemene veelvoud) is het kleinste getal dat deelbaar is door beide getallen. Voor 12 en 18: GGD = 6, KGV = 36.