Is 17 priem of samengesteld?

Bepaal of $17$ priem of samengesteld is.

Maak een lijst van wat we moeten controleren: We moeten uitzoeken of $17$ andere delers heeft dan $1$ en $17$ = Deelbaarheid controleren

Controleer deelbaarheid door 2: $17 \div 2 = 8{,}5$ (geen geheel getal) = Niet deelbaar door 2

Controleer deelbaarheid door 3: $17 \div 3 = 5{,}67...$ (geen geheel getal) = Niet deelbaar door 3

Controleer deelbaarheid door 4: $17 \div 4 = 4{,}25$ (geen geheel getal) = Niet deelbaar door 4

Moeten we meer controleren?: $5 \times 5 = 25 > 17$, dus we controleren alleen tot 4 = Geen verdere controles nodig

Concluderen: $17$ heeft geen andere delers dan $1$ en $17$ = $17$ is priem

Answer: $17$ is een priemgetal omdat de enige delers $1$ en $17$ zijn.

Is 24 priem of samengesteld?

Bepaal of $24$ priem of samengesteld is.

Controleer of 24 deelbaar is door 2: $24 \div 2 = 12$ (geheel getal!) = 24 is deelbaar door 2

Identificeer de gevonden delers: Aangezien $2 \times 12 = 24$, hebben we delers gevonden: $1, 2, 12, 24$ = Al meer dan 2 delers

Concluderen: $24$ heeft andere delers dan alleen $1$ en $24$ = $24$ is samengesteld

Answer: $24$ is een samengesteld getal omdat het de delers $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ heeft.

Alle priemgetallen tot 20 vinden

Maak een lijst van alle priemgetallen van $1$ tot $20$.

Elimineer 1: $1$ is noch priem noch samengesteld = Sla 1 over

Controleer 2: Delers van $2$: alleen $1$ en $2$ = $2$ is priem

Controleer 3: Delers van $3$: alleen $1$ en $3$ = $3$ is priem

Controleer 4: $4 = 2 \times 2$, heeft deler $2$ = $4$ is samengesteld

Ga door met controleren: $5$ (priem), $6 = 2 \times 3$ (samengesteld), $7$ (priem)... = Controleer elk getal

Maak de lijst compleet: Priemgetallen: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ = 8 priemgetallen gevonden

Answer: De priemgetallen van $1$ tot $20$ zijn: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$

Mistake: Denken dat $1$ een priemgetal is

Why: Een priemgetal moet precies twee verschillende delers hebben. Het getal $1$ heeft slechts één deler (zichzelf).

Correct: $1$ is noch priem noch samengesteld. Het kleinste priemgetal is $2$.

Mistake: Denken dat alle oneven getallen priem zijn

Why: Veel oneven getallen hebben delers naast $1$ en zichzelf.

Correct: $9 = 3 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $21 = 3 \times 7$ zijn allemaal oneven maar samengesteld.

Mistake: Vergeten dat $2$ priem is

Why: Sommige leerlingen denken dat priemgetallen oneven moeten zijn.

Correct: $2$ is het enige even priemgetal. Het heeft precies twee delers: $1$ en $2$.

Internetbeveiliging

Wanneer je online winkelt of inlogt bij je bank, worden je gegevens beschermd door encryptie die zeer grote priemgetallen gebruikt.

Beveiligingssystemen vermenigvuldigen twee enorme priemgetallen (met honderden cijfers). Het is makkelijk om ze te vermenigvuldigen maar bijna onmogelijk om te ontdekken welke priemgetallen zijn gebruikt.

Levenscycli van cicaden

Sommige cicaden leven 13 of 17 jaar ondergronds voordat ze tevoorschijn komen. Wetenschappers geloven dat ze levenscycli met priemgetallen hebben ontwikkeld om roofdieren te vermijden.

Een roofdier met een 2-jarige cyclus zou 13-jarige cicaden slechts elke 26 jaar ontmoeten. Een 3-jarige roofdier zou ze slechts elke 39 jaar ontmoeten!

Q: Waarom is 1 geen priemgetal?

A: Een priemgetal moet precies twee verschillende delers hebben. Het getal $1$ heeft slechts één deler (zichzelf), dus het voldoet niet aan de definitie. Bovendien zou elk getal oneindig veel priemfactorisaties hebben als $1$ priem zou zijn (bijv. $6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3$...).

Q: Bestaat er een grootste priemgetal?

A: Nee! Er zijn oneindig veel priemgetallen. De Griekse wiskundige Euclides bewees dit meer dan 2000 jaar geleden. In 2024 heeft het grootste bekende priemgetal meer dan 24 miljoen cijfers!

Q: Waarom is 2 het enige even priemgetal?

A: Elk even getal groter dan $2$ is deelbaar door $2$, dus het heeft minstens drie delers ($1$, $2$ en zichzelf). Dit maakt alle even getallen behalve $2$ samengesteld.