Sparen met continue rentebijschrijving

Je zet 1000 € op een rekening die 5% rente geeft met continue rentebijschrijving. Hoeveel staat er na 10 jaar op de rekening? Rond af op centen.

Bepaal de waarden: $P = 1000$, $r = 0{,}05$, $t = 10$ = Waarden bepaald

Bereken de exponent $rt$: $rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ = $rt = 0{,}5$

Bereken $e^{0{,}5}$ met de rekenmachine: $2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ = $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Vermenigvuldig met $P$: $A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ = $A \approx 1648{,}72$

Answer: Na 10 jaar staat er ongeveer **1648,72 €** op de rekening.

Continue en jaarlijkse rente vergeleken

Je belegt 2000 € tegen 6% gedurende 5 jaar. Vergelijk rente één keer per jaar met continue rentebijschrijving. Rond af op centen.

Jaarlijkse rente: gebruik $A = P(1 + r)^t$: $A = 2000 \times 1{,}06^{5} \approx 2000 \times 1{,}338226$ = $A \approx 2676{,}45$

Continue rente: bereken de exponent: $rt = 0{,}06 \times 5 = 0{,}3$ = $rt = 0{,}3$

Gebruik $A = Pe^{rt}$: $A = 2000 \times e^{0{,}3} \approx 2000 \times 1{,}349859$ = $A \approx 2699{,}72$

Vergelijk de twee uitkomsten: $2699{,}72 - 2676{,}45 = 23{,}27$ = Continu levert 23,27 meer op

Answer: Bij hetzelfde percentage en dezelfde tijd levert continue rente **2699,72 €** op en jaarlijkse rente **2676,45 €**: continu levert **23,27 €** meer op.

Bacteriën die continu groeien

Een kweek begint met 500 bacteriën en groeit continu met 20% per uur. Hoeveel bacteriën zijn er na 10 uur? Rond af op een geheel getal.

Schrijf het model op: $N(t) = 500 e^{0{,}2t}$ = $P = 500$, $r = 0{,}2$

Bereken de exponent voor $t = 10$: $0{,}2 \times 10 = 2$ = Exponent $= 2$

Bereken $e^{2}$: $2{,}71828^{2} \approx 7{,}38905$ = $e^{2} \approx 7{,}38905$

Vermenigvuldig en rond af: $N(10) = 500 \times 7{,}38905 \approx 3694{,}5$ = $N(10) \approx 3695$

Answer: Na 10 uur zijn er ongeveer **3695 bacteriën**, meer dan 7 keer de beginhoeveelheid.

Radioactief verval

Een monster bevat 80 gram van een radioactieve stof die continu vervalt met 3% per jaar. Hoeveel is er na 20 jaar over? Rond af op twee decimalen.

Schrijf het afnamemodel op: $A(t) = 80 e^{-0{,}03t}$ = Negatieve exponent: afname

Bereken de exponent voor $t = 20$: $-0{,}03 \times 20 = -0{,}6$ = Exponent $= -0{,}6$

Bereken $e^{-0{,}6}$: $2{,}71828^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$ = $e^{-0{,}6} \approx 0{,}548812$

Vermenigvuldig met de beginhoeveelheid: $A(20) = 80 \times 0{,}548812 \approx 43{,}90$ = $A(20) \approx 43{,}90$ g

Answer: Na 20 jaar is er nog ongeveer **43,90 gram** over, dus ongeveer $80 - 43{,}90 = 36{,}10$ gram is vervallen.

De beginwaarde bepalen

Hoeveel moet je vandaag storten, tegen 4% met continue rentebijschrijving, om over 8 jaar 5000 € te hebben? Rond af op centen.

Stel de vergelijking op: $5000 = P e^{0{,}04 \times 8} = P e^{0{,}32}$ = $P$ is onbekend

Bereken $e^{0{,}32}$: $2{,}71828^{0{,}32} \approx 1{,}37713$ = $e^{0{,}32} \approx 1{,}37713$

Deel beide kanten door $e^{0{,}32}$: $P = \frac{5000}{e^{0{,}32}}$ = $P = 5000 \div e^{0{,}32}$

Reken uit: $P = 5000 \div 2{,}71828^{0{,}32} \approx 3630{,}75$ = $P \approx 3630{,}75$

Answer: Je moet vandaag ongeveer **3630,75 €** storten. Controle: $3630{,}75 \times 1{,}37713 \approx 5000$.

Mistake: Het percentage als procent in de exponent zetten: $1000 e^{5 \times 10}$

Why: De formule heeft het percentage als decimaal getal nodig. $e^{50}$ is een gigantisch getal (ongeveer $5 \times 10^{21}$), wat voor een spaarrekening nergens op slaat.

Correct: Reken eerst om: $5\% = 0{,}05$, dus $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$.

Mistake: Het minteken vergeten bij afname: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Why: Zonder minteken is de exponent positief en groeit de hoeveelheid tot ongeveer 145,77 gram, meer dan de 80 gram waarmee je begon.

Correct: Afname heeft een negatieve exponent nodig: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$.

Mistake: Eerst vermenigvuldigen en dan machtsverheffen: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Why: De exponent hoort alleen bij $e$, niet bij $P$. Volgens de volgorde van bewerkingen gaan machten voor vermenigvuldigen.

Correct: Bereken eerst $e^{rt}$ en vermenigvuldig dan met $P$. Op de rekenmachine: 1000 × e^(0.05 × 10), met haakjes om de exponent.

Mistake: $(1 + r)^t$ gebruiken terwijl de opgave continue rente noemt

Why: $(1 + r)^t$ is rente één keer per periode. Continue rente levert bij hetzelfde percentage altijd iets meer op.

Correct: Let op de woorden continu of continu percentage: die betekenen $Pe^{rt}$. Eén keer per jaar betekent $P(1 + r)^t$.

Bank: sparen met continue rente

Banken vergelijken aanbiedingen met de gunstigst mogelijke rentebijschrijving, de continue. Die laat het plafond zien van wat een percentage kan opleveren.

Bij 5% continue rente groeit 1 € in een jaar tot $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, dus de effectieve jaarrente is ongeveer 5,13%, iets meer dan 5%.

Biologie: bacteriën in het lab

Microbiologen beschrijven een bacteriekweek met genoeg voedsel met $N(t) = N_0 e^{rt}$, waarbij $r$ het continue groeipercentage per uur is.

Een kweek van 1000 bacteriën die continu met 30% per uur groeit, heeft na 2 uur $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacteriën.

Geneeskunde: radioactieve tracers

Ziekenhuizen gebruiken radioactieve stoffen zoals jodium-131 voor diagnose en behandeling. De hoeveelheid die over is volgt $A = Pe^{-kt}$, zo weten artsen elke dag hoeveel er nog is.

Jodium-131 vervalt continu met ongeveer 8,6% per dag. Na 1 dag is $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$, dus er is nog ongeveer 91,8% van het monster over.

Q: Waarom gebruiken we $e$ voor continue groei?

A: Als je $n$ keer per jaar rente bijschrijft tegen percentage $r$, krijg je $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Als $n$ steeds groter wordt, komt dit steeds dichter bij $e^{rt}$. Dus $e$ is wat je krijgt als groei op elk moment plaatsvindt.

Q: Hoeveel meer levert continue rente echt op?

A: Niet veel meer, maar altijd meer. Bij 5% gedurende een jaar vermenigvuldigt jaarlijkse rente met $1{,}05$ en continue rente met $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Over lange periodes en bij grote bedragen wordt het verschil merkbaar.

Q: Is $A = Pe^{-kt}$ hetzelfde als $A = Pe^{rt}$ met een negatieve $r$?

A: Ja. Sommige boeken schrijven afname met een positief afnamepercentage $k$ en een minteken, andere gebruiken één formule $Pe^{rt}$ met een negatieve $r$, bijvoorbeeld $r = -0{,}03$. Beide geven dezelfde uitkomst.

Q: Hoe vind ik hoe lang het duurt om een bepaald bedrag te bereiken?

A: Dan moet je $A = Pe^{rt}$ oplossen naar $t$, en daarvoor heb je de natuurlijke logaritme $\ln$ nodig. Die leer je in de lessen over logaritmen. Tot die tijd kun je $t$ schatten door waarden in een tabel uit te proberen.