Hoeveel meer levert continue rente echt op?

Niet veel meer, maar altijd meer. Bij 5% gedurende een jaar vermenigvuldigt jaarlijkse rente met $1{,}05$ en continue rente met $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$. Over lange periodes en bij grote bedragen wordt het verschil merkbaar.

Is $A = Pe^{-kt}$ hetzelfde als $A = Pe^{rt}$ met een negatieve $r$?

Ja. Sommige boeken schrijven afname met een positief afnamepercentage $k$ en een minteken, andere gebruiken één formule $Pe^{rt}$ met een negatieve $r$, bijvoorbeeld $r = -0{,}03$. Beide geven dezelfde uitkomst.

Hoe vind ik hoe lang het duurt om een bepaald bedrag te bereiken?

Dan moet je $A = Pe^{rt}$ oplossen naar $t$, en daarvoor heb je de natuurlijke logaritme $\ln$ nodig. Die leer je in de lessen over logaritmen. Tot die tijd kun je $t$ schatten door waarden in een tabel uit te proberen.

Leermiddelen

Continue groei en afname

Q: Waarom gebruiken we $e$ voor continue groei?

Als je $n$ keer per jaar rente bijschrijft tegen percentage $r$, krijg je $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$. Als $n$ steeds groter wordt, komt dit steeds dichter bij $e^{rt}$. Dus $e$ is wat je krijgt als groei op elk moment plaatsvindt.

Gebruik A = Pe^(rt) en A = Pe^(-kt) voor continue rentebijschrijving, groei van bacteriën en radioactief verval, en vergelijk continue met jaarlijkse rente.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

In de les over het natuurlijke grondtal

e

heb je gezien dat steeds vaker rente bijschrijven,

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

, steeds dichter bij

e \approx 2{,}71828

komt. Als een hoeveelheid continu groeit (op elk moment, niet één keer per jaar), gebruiken we

e

als grondtal.

Continue groei:

A = P e^{rt}

Continue afname:

A = P e^{-kt}

waarbij:

$P$ de beginwaarde is (op $t = 0$ )
$r$ het continue groeipercentage is en $k$ het continue afnamepercentage, allebei als decimaal getal ( $5\% = 0{,}05$ )
$t$ de tijd is, in dezelfde eenheid als het percentage (jaren, uren, dagen)
$A$ de hoeveelheid is na tijd $t$

Het teken van de exponent geeft de richting: een positieve exponent betekent groei, een negatieve exponent betekent afname. Je kunt afname ook schrijven als

A = Pe^{rt}

met een negatief percentage, bijvoorbeeld

r = -0{,}03

In de rekenmachine typ je

e^{x}

direct als e^(x), bijvoorbeeld e^0.5

\approx 1{,}6487

. Op een eenvoudige rekenmachine zonder

e

-toets typ je in plaats daarvan 2.71828^x.

Probeer het meteen

Een stof vervalt continu met 4% per jaar. Welke formule beschrijft de hoeveelheid

A

t

jaar, beginnend bij

P

Uitgewerkte voorbeelden

Je zet 1000 € op een rekening die 5% rente geeft met continue rentebijschrijving. Hoeveel staat er na 10 jaar op de rekening? Rond af op centen.

Bepaal de waarden

$P = 1000$ , $r = 0{,}05$ , $t = 10$ → Waarden bepaald

Bereken de exponent $rt$

$rt = 0{,}05 \times 10 = 0{,}5$ → $rt = 0{,}5$

Bereken $e^{0{,}5}$ met de rekenmachine

$2{,}71828^{0{,}5} \approx 1{,}648721$ → $e^{0{,}5} \approx 1{,}648721$

Vermenigvuldig met $P$

$A = 1000 \times 1{,}648721 \approx 1648{,}72$ → $A \approx 1648{,}72$

Antwoord: Na 10 jaar staat er ongeveer 1648,72 € op de rekening.

Veelgemaakte fouten

Het percentage als procent in de exponent zetten: $1000 e^{5 \times 10}$

Waarom het fout is: De formule heeft het percentage als decimaal getal nodig. $e^{50}$ is een gigantisch getal (ongeveer $5 \times 10^{21}$ ), wat voor een spaarrekening nergens op slaat.

Correct: Reken eerst om: $5\% = 0{,}05$ , dus $A = 1000 e^{0{,}05 \times 10} = 1000 e^{0{,}5}$ .

Het minteken vergeten bij afname: $80 e^{0{,}03 \times 20}$

Waarom het fout is: Zonder minteken is de exponent positief en groeit de hoeveelheid tot ongeveer 145,77 gram, meer dan de 80 gram waarmee je begon.

Correct: Afname heeft een negatieve exponent nodig: $A = 80 e^{-0{,}03 \times 20} = 80 e^{-0{,}6} \approx 43{,}90$ .

Eerst vermenigvuldigen en dan machtsverheffen: $(1000 \times 2{,}71828)^{0{,}5}$

Waarom het fout is: De exponent hoort alleen bij $e$ , niet bij $P$ . Volgens de volgorde van bewerkingen gaan machten voor vermenigvuldigen.

Correct: Bereken eerst $e^{rt}$ en vermenigvuldig dan met $P$ . Op de rekenmachine: 1000 × e^(0.05 × 10), met haakjes om de exponent.

$(1 + r)^t$ gebruiken terwijl de opgave continue rente noemt

Waarom het fout is: $(1 + r)^t$ is rente één keer per periode. Continue rente levert bij hetzelfde percentage altijd iets meer op.

Correct: Let op de woorden continu of continu percentage: die betekenen $Pe^{rt}$ . Eén keer per jaar betekent $P(1 + r)^t$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

P = 1000r = 0,05

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

t	0	5	10	15	20
A = P·e^(rt)	1000	1284,03	1648,72	2117	2718,28
A = P(1 + r)^t	1000	1276,28	1628,89	2078,93	2653,3

Renteberekening

Hoofdsom (€ 1.000,00)

Rentevoet (5%)

Periode (10 jaren)

Samenstelling

Formule

Samengestelde rente:A = Pe^(rt)A = 1000 · e^(0,05 · 10) = € 1.648,72

Samengestelde rente

Verdiende rente:€ 648,72

Totaalbedrag:€ 1.648,72

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Samenstelling	n	Totaalbedrag	Verdiende rente
Jaarlijks	1	€ 1.628,89	€ 628,89
Maandelijks	12	€ 1.647,01	€ 647,01
Dagelijks	365	€ 1.648,66	€ 648,66
Continu	∞	€ 1.648,72	€ 648,72

Groei over tijd

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een stof vervalt continu met 4% per jaar. Welke formule beschrijft de hoeveelheid $A$ na $t$ jaar, beginnend bij $P$ ?

Oefenproblemen: Continue groei en afname

1. Een stof vervalt continu met 4% per jaar. Welke formule beschrijft de hoeveelheid A na t jaar, beginnend bij P?
2. Wat is in het model A = 250e^{0{,}07t} de beginwaarde?
3. Gebruik A = Pe^{rt} met P = 1000, r = 0{,}04 en t = 5. Gebruik e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Wat is A? Rond af op één decimaal.
4. Een populatie volgt N = 300e^{0{,}12t}, met t in jaren. Wat is het continue groeipercentage in procenten? Schrijf alleen het getal, zonder het %-teken.
5. Je belegt 1500 € tegen 3% met continue rente gedurende 10 jaar. Gebruik e^{0{,}3} \approx 1{,}3499. Hoeveel heb je aan het eind? Rond af op hele euro's.
6. Een kweek van 400 bacteriën groeit continu met 25% per uur. Hoeveel bacteriën zijn er na 4 uur? Gebruik e ≈ 2,71828 en rond af op een geheel getal.
7. Wat beschrijft het model N = 50e^{-0{,}3t}?
8. Twee rekeningen beginnen met hetzelfde bedrag, hetzelfde percentage en dezelfde looptijd. De ene schrijft jaarlijks rente bij, de andere continu. Welke eindigt met meer geld?
9. 200 gram van een radioactieve stof vervalt continu met 5% per jaar. Gebruik e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065. Hoeveel gram is er na 10 jaar over? Rond af op één decimaal.
10. Hoeveel moet je nu storten, tegen 5% met continue rente, om na 10 jaar 10000 € te hebben? Gebruik e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 en rond af op hele euro's.
11. Een patiënt krijgt 60 mg van een medicijn. Het lichaam breekt het continu af met 20% per uur. Gebruik e^{-0{,}6} \approx 0{,}5488. Hoeveel mg is er na 3 uur afgebroken? Rond af op één decimaal.
12. Je belegt 3000 € tegen 4% gedurende 5 jaar. Gebruik 1{,}04^{5} \approx 1{,}2167 en e^{0{,}2} \approx 1{,}2214. Vergelijk jaarlijkse en continue rente. Rond elk bedrag af op hele euro's.
13. Hoeveel moet je vandaag storten, tegen 4% met continue rente, om na 5 jaar 6000 € te hebben? Gebruik de rekenmachine (e ≈ 2,71828) en rond het eindantwoord af op hele euro's.
14. Aanbieding A: 6% met jaarlijkse rente. Aanbieding B: 5,85% met continue rente. Gebruik e^{0{,}0585} \approx 1{,}0602. Welke aanbieding levert na één jaar meer geld op?
15. 5000 € wordt belegd tegen 8% gedurende 10 jaar. Gebruik 1{,}08^{10} \approx 2{,}158925 en e^{0{,}8} \approx 2{,}225541. Hoeveel euro meer levert continue rente op dan jaarlijkse rente? Rond af op hele euro's.
16. Je wilt 2000 € voor 10 jaar beleggen. Bank A geeft 5% met jaarlijkse rente, bank B 4,9% met continue rente. Gebruik 1{,}05^{10} \approx 1{,}6289 en e^{0{,}49} \approx 1{,}6323. Rond elk bedrag af op hele euro's. Hoeveel euro meer levert de betere bank op?
17. Een monster van 500 gram van een radioactieve stof vervalt continu met 2% per jaar. Gebruik e⁻¹ ≈ 0,3679. Hoeveel gram is er na 50 jaar over? Rond af op hele grammen.
18. Een kweek begint met 1000 bacteriën en groeit continu met 30% per uur. Gebruik e^{0{,}6} \approx 1{,}8221 en e^{1{,}2} \approx 3{,}3201. Met welke factor groeit de kweek van uur 2 tot uur 4? Bepaal eerst het aantal bacteriën na 2 uur en na 4 uur (geheel getal) en geef dan de factor in twee decimalen.

Waarom het belangrijk is

Veel processen wachten niet tot het einde van het jaar om te veranderen: ze veranderen op elk moment.

Financiën: sommige spaarrekeningen en leningen schrijven rente continu bij, en $Pe^{rt}$ is de bovengrens van wat elk rentesysteem bij hetzelfde percentage kan opleveren
Biologie: bacteriën in een lab delen zich voortdurend, niet volgens een rooster, daarom wordt hun groei beschreven met $e$
Natuurkunde en geneeskunde: radioactieve atomen vervallen op willekeurige momenten en een medicijn verlaat het bloed geleidelijk, en beide volgen $Pe^{-kt}$
Wetenschap in het algemeen: bijna elke groei- of afnameformule in scheikunde, natuurkunde en economie wordt met grondtal $e$ geschreven

Als je

Pe^{rt}

kunt lezen, kun je bankaanbiedingen vergelijken, labresultaten voorspellen en begrijpen hoe wetenschappers de ouderdom van oude voorwerpen bepalen.

Toepassingen in de echte wereld

Bank: sparen met continue rente

Banken vergelijken aanbiedingen met de gunstigst mogelijke rentebijschrijving, de continue. Die laat het plafond zien van wat een percentage kan opleveren.

Voorbeeld:

Bij 5% continue rente groeit 1 € in een jaar tot $e^{0{,}05} \approx 1{,}0513$ €, dus de effectieve jaarrente is ongeveer 5,13%, iets meer dan 5%.

1Probeer het zelf

Je zet 4000 € op een rekening met 4,5% continue rente en laat het 4 jaar staan.

Hoeveel staat er na 4 jaar op de rekening? Rond af op hele euro's.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $4000 \times e^{0{,}045 \times 4}$ :

Biologie: bacteriën in het lab

Microbiologen beschrijven een bacteriekweek met genoeg voedsel met $N(t) = N_0 e^{rt}$, waarbij $r$ het continue groeipercentage per uur is.

Voorbeeld:

Een kweek van 1000 bacteriën die continu met 30% per uur groeit, heeft na 2 uur $1000 e^{0{,}6} \approx 1822$ bacteriën.

2Probeer het zelf

Een labkweek begint met 2000 bacteriën en groeit continu met 40% per uur.

Hoeveel bacteriën zijn er na 5 uur? Rond af op een geheel getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $2000 \times e^{0{,}4 \times 5}$ :

Geneeskunde: radioactieve tracers

Ziekenhuizen gebruiken radioactieve stoffen zoals jodium-131 voor diagnose en behandeling. De hoeveelheid die over is volgt $A = Pe^{-kt}$, zo weten artsen elke dag hoeveel er nog is.

Voorbeeld:

Jodium-131 vervalt continu met ongeveer 8,6% per dag. Na 1 dag is $e^{-0{,}086} \approx 0{,}918$ , dus er is nog ongeveer 91,8% van het monster over.

3Probeer het zelf

Een ziekenhuis krijgt 100 mg jodium-131, dat continu vervalt met 8,6% per dag.

Hoeveel is er na 10 dagen over? Rond af op één decimaal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $100 \times e^{-0{,}086 \times 10}$ :

Belangrijke punten

1Continue groei: $A = Pe^{rt}$ ; continue afname: $A = Pe^{-kt}$ , met de percentages als decimale getallen
2Een positieve exponent betekent groei, een negatieve exponent betekent afname
3In de rekenmachine typ je $e^{x}$ als e^(x) (zonder $e$ -toets als 2.71828^x) en zet je haakjes om de exponent
4Bij hetzelfde percentage en dezelfde tijd levert continue rente altijd iets meer op dan jaarlijkse rente
5Om de beginwaarde te vinden, deel je: $P = \frac{A}{e^{rt}}$
6Voor het oplossen naar de tijd $t$ heb je logaritmen nodig, die komen in latere lessen

Veelgestelde vragen

Als je

n

keer per jaar rente bijschrijft tegen percentage

r

, krijg je

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

. Als

n

steeds groter wordt, komt dit steeds dichter bij

e^{rt}

. Dus

e

is wat je krijgt als groei op elk moment plaatsvindt.

Woordenlijst

Continue groei: Groei die op elk moment plaatsvindt, beschreven door $A = Pe^{rt}$ met $r > 0$
Continue afname: Afname die op elk moment plaatsvindt, beschreven door $A = Pe^{-kt}$ met $k > 0$
Continue rentebijschrijving: Rente die op elk moment wordt bijgeschreven; de limiet van steeds vaker rente bijschrijven
Continu percentage: Het percentage $r$ of $k$ in de exponent, geschreven als decimaal getal ( $4\% = 0{,}04$ )
Getal van Euler $e$: De constante $e \approx 2{,}71828$ , het natuurlijke grondtal voor continue groei en afname
Beginwaarde: De startwaarde $P$ op tijdstip $t = 0$

Formulekaart

Continue groei

A = P e^{rt}

$P$ = beginwaarde, $r$ = continu groeipercentage (decimaal), $t$ = tijd, $A$ = hoeveelheid na tijd $t$.

Continue afname

A = P e^{-kt}

$k$ = continu afnamepercentage (decimaal, positief). Het minteken laat de hoeveelheid krimpen.

Jaarlijkse rente (ter vergelijking)

A = P(1 + r)^t

Rente één keer per jaar bijgeschreven. Levert bij hetzelfde percentage iets minder op dan $Pe^{rt}$.

Beginwaarde

P = \frac{A}{e^{rt}}

Deel het eindbedrag door de groeifactor $e^{rt}$.

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Renteberekening

Samengestelde rente

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Groei over tijd

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Bank: sparen met continue rente

Biologie: bacteriën in het lab

Geneeskunde: radioactieve tracers

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Continue groei

Continue afname

Jaarlijkse rente (ter vergelijking)

Beginwaarde

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname