Samengestelde interest, per maand

Je zet 5000 € op een spaarrekening met 6% rente per jaar, die maandelijks wordt bijgeschreven. Hoeveel staat er na 10 jaar op de rekening?

Lezen: noteer de grootheden: $P = 5000$ €, $r = 0{,}06$, $n = 12$ (maandelijks), $t = 10$ jaar = Beginwaarde, rente, perioden per jaar en tijd gevonden

Herken de factor per maand: $1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ = Groei, factor $1{,}005$ per maand

Model opstellen: $A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ = $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Berekenen: $1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$, dus $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ = $A \approx 9096{,}98$

Controleren: Jaarlijkse bijschrijving geeft $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$. Maandelijks moet iets meer opleveren, en dat klopt. = Redelijk, in euro

Answer: Na 10 jaar staat er ongeveer **9096,98 €** op de rekening.

Waardedaling van een auto

Een nieuwe auto kost 24000 € en verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Hoeveel is hij na 5 jaar waard? Rond af op centen.

Lezen: noteer de grootheden: $a = 24000$ €, percentage $15\% = 0{,}15$ per jaar, $t = 5$ jaar = Beginwaarde, percentage en tijd gevonden

Herkennen: groei of afname?: De waarde daalt, dus het is afname: $b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = Groeifactor $0{,}85$ (afname)

Model opstellen: $V(t) = 24000 \cdot 0{,}85^{t}$, dus $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^{5}$ = $V(5) = 24000 \cdot 0{,}85^5$

Berekenen: $0{,}85^5 \approx 0{,}443705$, dus $V(5) \approx 10648{,}93$ = $V(5) \approx 10648{,}93$

Controleren: De waarde ligt onder 24000 en boven 0. Een lineair verlies van $3600$ per jaar zou maar $6000$ geven: bij exponentiële afname verlies je elk jaar minder, omdat 15% van een kleinere waarde kleiner is. = Redelijk, in euro

Answer: Na 5 jaar is de auto ongeveer **10648,93 €** waard.

Een post gaat viraal

Om 12:00 uur is een grappige video 40 keer gedeeld. Het aantal keer delen verdrievoudigt elke 2 uur. Hoe vaak is de video om 22:00 uur dezelfde dag gedeeld?

Lezen: noteer de grootheden: $a = 40$ keer, factor $3$ elke $2$ uur, tijd $t = 10$ uur (van 12:00 tot 22:00) = Beginwaarde, factor en tijd gevonden

Herken de factor en de periode: Groei met $b = 3$, maar per 2 uur, dus de exponent is $\frac{t}{2}$ = Groei, $b = 3$ per 2 uur

Model opstellen: $S(t) = 40 \cdot 3^{t/2}$, dus $S(10) = 40 \cdot 3^{10/2} = 40 \cdot 3^5$ = $S(10) = 40 \cdot 3^5$

Berekenen: $3^5 = 243$, dus $S(10) = 40 \cdot 243 = 9720$ = $9720$ keer gedeeld

Controleren: 5 keer verdrievoudigen: $40 \to 120 \to 360 \to 1080 \to 3240 \to 9720$. Een geheel aantal dat snel groeit: dat klopt. = Redelijk, een aantal keer delen

Answer: Om 22:00 uur is de video ongeveer **9720 keer** gedeeld.

Medicijn en halveringstijd

Een patiënt neemt 200 mg van een medicijn. De halveringstijd in het lichaam is 6 uur. Hoeveel is er na 18 uur nog over?

Lezen: noteer de grootheden: $N_0 = 200$ mg, halveringstijd $T = 6$ uur, $t = 18$ uur = Beginwaarde, halveringstijd en tijd gevonden

Herkennen: groei of afname?: De hoeveelheid halveert, dus het is afname met factor $\frac{1}{2}$ per 6 uur = Afname, factor $\frac{1}{2}$

Model opstellen: $N(t) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, dus $N(18) = 200 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $N(18) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Berekenen: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, dus $N(18) = \frac{200}{8} = 25$ = $25$ mg

Controleren: Drie keer halveren: $200 \to 100 \to 50 \to 25$. Minder dan de dosis, nooit negatief, in mg. = Redelijk, in mg

Answer: Na 18 uur is er nog **25 mg** van het medicijn over.

Lineair of exponentieel? Een tabel lezen

Een kanaal had deze aantallen abonnees: week 0: 500, week 1: 600, week 2: 720, week 3: 864. Is het patroon lineair of exponentieel? Voorspel het aantal in week 5.

Controleer de verschillen: $600 - 500 = 100$, $720 - 600 = 120$, $864 - 720 = 144$ = Verschillen niet constant: niet lineair

Controleer de quotiënten: $\frac{600}{500} = 1{,}2$, $\frac{720}{600} = 1{,}2$, $\frac{864}{720} = 1{,}2$ = Constant quotiënt $b = 1{,}2$: exponentieel

Model opstellen: $a = 500$ (week 0), $b = 1{,}2$: $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^{t}$ = $S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$

Week 5 berekenen: $S(5) = 500 \cdot 1{,}2^5 = 500 \cdot 2{,}48832 = 1244{,}16$ = Ongeveer $1244$ abonnees

Interpreteren en controleren: $a = 500$ is het beginaantal, $b = 1{,}2$ betekent 20% groei per week. Een lineaire schatting ($+100$ per week) zou maar $1000$ geven. = Redelijk, een geheel aantal mensen

Answer: Het patroon is **exponentieel** ($S(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$, 20% per week), en in week 5 heeft het kanaal ongeveer **1244 abonnees**.

Mistake: Bij samengestelde interest $r$ en $t$ gebruiken in plaats van $\frac{r}{n}$ en $nt$

Why: Bij maandelijkse bijschrijving betaalt de bank elke maand $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$, 120 keer in 10 jaar. $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ of $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ haalt de periode door elkaar.

Correct: Rente per periode $\frac{r}{n}$, aantal perioden $nt$: $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$.

Mistake: Het percentage als factor gebruiken, bijvoorbeeld $b = 0{,}15$ bij 15% verlies

Why: 15% verlies betekent dat 85% van de waarde overblijft. $24000 \cdot 0{,}15^5$ is bijna nul, en geen auto verliest zoveel in 5 jaar.

Correct: Afname: $b = 1 - r = 0{,}85$. Groei: $b = 1 + r$. De factor is wat er na één periode over is (of wat je dan hebt).

Mistake: $t$ gebruiken in plaats van $\frac{t}{T}$ als de periode niet 1 is

Why: "Verdrievoudigt elke 2 uur" of "halveringstijd van 6 uur" betekent dat de factor één keer per 2 of 6 uur werkt, niet elk uur. $40 \cdot 3^{10}$ is veel te groot.

Correct: Tel eerst de perioden: exponent $= \frac{\text{tijd}}{\text{lengte van één periode}}$, bijvoorbeeld $3^{10/2} = 3^5$.

Mistake: De controle op redelijkheid overslaan

Why: Een uitkomst bij afname die groter is dan de beginwaarde, of een uitkomst bij groei die kleiner is, wijst altijd op een verkeerde factor of exponent.

Correct: Elke keer stap 5: groei eindigt boven $a$, afname eindigt tussen $0$ en $a$, en de eenheid past bij de vraag.

Sparen voor je studie

Banken schrijven rente jaarlijks, per kwartaal, per maand of per dag bij. Met de formule $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ kun je aanbiedingen vergelijken voordat je kiest.

1000 € tegen 4%, per kwartaal bijgeschreven, 3 jaar lang: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

Bacteriën in het lab

Microbiologen beschrijven groei die op elk moment plaatsvindt, niet in sprongen, met continue groei $A = P \cdot e^{rt}$.

Een kweek van 1000 cellen die 10 uur lang continu groeit met 2% per uur: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellen.

Cafeïne in je lichaam

Artsen en apothekers gebruiken de halveringstijd om te bepalen hoe vaak je een medicijn neemt. Cafeïne heeft bij volwassenen een halveringstijd van ongeveer 5 uur.

Een koffie met 100 mg om 8:00 uur laat om 13:00 uur nog $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg achter.

Q: Hoe weet ik of een opgave exponentieel is en niet lineair?

A: Let op woorden als "procent per jaar", "verdubbelt", "verdrievoudigt", "halveert" of "halveringstijd": de verandering is een factor. Staat er "neemt elk jaar met 50 toe", dan is de verandering een vast bedrag, dus lineair. In een tabel controleer je de quotiënten van opeenvolgende waarden.

Q: Wanneer gebruik ik $e^{rt}$ in plaats van $(1 + r)^t$?

A: Gebruik $e^{rt}$ alleen als de opgave zegt dat de groei of afname **continu** is (of dat de rente continu wordt bijgeschreven). Staat er jaarlijks, per maand, per kwartaal of niets over bijschrijving, gebruik dan $(1 + r)^t$ of $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Q: Mijn rekenmachine heeft geen $e$-toets. Wat doe ik?

A: Gebruik de waarde uit de opgave, zoals $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, of typ $2{,}71828$ voor $e$. De rekenmachine in deze les kent $e$, dus daar kun je e^0.4 direct typen. Met 5 decimalen van $e$ rondt je antwoord bij de opgaven in deze les af op dezelfde cent of hetzelfde gehele getal.

Q: Waarom is stap 5 belangrijk als de berekening klopt?

A: De meeste foute antwoorden komen uit de opzet, niet uit het rekenwerk: een factor $0{,}15$ in plaats van $0{,}85$, of $t$ in plaats van $\frac{t}{2}$. De vraag "moet dit groter of kleiner zijn dan de beginwaarde?" vindt zulke fouten in een paar seconden.