Wanneer gebruik ik $e^{rt}$ in plaats van $(1 + r)^t$?

Gebruik $e^{rt}$ alleen als de opgave zegt dat de groei of afname **continu** is (of dat de rente continu wordt bijgeschreven). Staat er jaarlijks, per maand, per kwartaal of niets over bijschrijving, gebruik dan $(1 + r)^t$ of $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$.

Mijn rekenmachine heeft geen $e$-toets. Wat doe ik?

Gebruik de waarde uit de opgave, zoals $e^{0{,}4} \approx 1{,}4918$, of typ $2{,}71828$ voor $e$. De rekenmachine in deze les kent $e$, dus daar kun je e^0.4 direct typen. Met 5 decimalen van $e$ rondt je antwoord bij de opgaven in deze les af op dezelfde cent of hetzelfde gehele getal.

Waarom is stap 5 belangrijk als de berekening klopt?

De meeste foute antwoorden komen uit de opzet, niet uit het rekenwerk: een factor $0{,}15$ in plaats van $0{,}85$, of $t$ in plaats van $\frac{t}{2}$. De vraag "moet dit groter of kleiner zijn dan de beginwaarde?" vindt zulke fouten in een paar seconden.

Leermiddelen

Toepassingsopgaven met exponentiële functies

Los echte contextopgaven met exponentiële functies op met een methode in 5 stappen: samengestelde interest, waardedaling, virale verspreiding, halveringstijd en continue groei.

Gevorderd35 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een exponentiële contextopgave beschrijft een hoeveelheid die in elke even lange tijdsperiode met dezelfde factor verandert. Jouw taak is om het verhaal om te zetten in een model van de vorm

y = a \cdot b^{t}

waarbij

a

de beginwaarde is en

b

de groeifactor (

b > 1

bij groei,

0 < b < 1

bij afname).

De methode in 5 stappen werkt voor elke opgave in deze les:

1.Lezen: zoek de beginwaarde, het percentage of de factor, de tijd en de eenheden.
2.Herkennen: groei of afname? Bepaal de factor $b$ (bij een percentage $r$ : $b = 1 + r$ of $b = 1 - r$ ).
3.Model opstellen: kies de juiste formule en vul de getallen in.
4.Berekenen: reken uit met de rekenmachine en rond af zoals de opgave vraagt.
5.Controleren: is de uitkomst redelijk (groter of kleiner dan de beginwaarde?) en klopt de eenheid?

Formules op een rij (uit de eerdere lessen):

Samengestelde interest, $n$ keer per jaar: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$
Continue groei of afname: $A = P \cdot e^{rt}$
Halveringstijd $T$ : $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

Probeer het meteen

Een telefoon verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Welke factor

b

gebruik je in het model

V(t) = a \cdot b^t

Uitgewerkte voorbeelden

Je zet 5000 € op een spaarrekening met 6% rente per jaar, die maandelijks wordt bijgeschreven. Hoeveel staat er na 10 jaar op de rekening?

Lezen: noteer de grootheden

$P = 5000$ €, $r = 0{,}06$ , $n = 12$ (maandelijks), $t = 10$ jaar → Beginwaarde, rente, perioden per jaar en tijd gevonden

Herken de factor per maand

$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0{,}06}{12} = 1{,}005$ → Groei, factor $1{,}005$ per maand

Model opstellen

$A = 5000 \cdot 1{,}005^{12 \cdot 10} = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$ → $A = 5000 \cdot 1{,}005^{120}$

Berekenen

$1{,}005^{120} \approx 1{,}819397$ , dus $A \approx 5000 \cdot 1{,}819397 \approx 9096{,}98$ → $A \approx 9096{,}98$

Controleren

Jaarlijkse bijschrijving geeft $5000 \cdot 1{,}06^{10} \approx 8954{,}24$ . Maandelijks moet iets meer opleveren, en dat klopt. → Redelijk, in euro

Antwoord: Na 10 jaar staat er ongeveer 9096,98 € op de rekening.

Veelgemaakte fouten

Bij samengestelde interest $r$ en $t$ gebruiken in plaats van $\frac{r}{n}$ en $nt$

Waarom het fout is: Bij maandelijkse bijschrijving betaalt de bank elke maand $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$ , 120 keer in 10 jaar. $5000 \cdot 1{,}06^{120}$ of $5000 \cdot 1{,}005^{10}$ haalt de periode door elkaar.

Correct: Rente per periode $\frac{r}{n}$ , aantal perioden $nt$ : $A = 5000\left(1 + \frac{0{,}06}{12}\right)^{12 \cdot 10}$ .

Het percentage als factor gebruiken, bijvoorbeeld $b = 0{,}15$ bij 15% verlies

Waarom het fout is: 15% verlies betekent dat 85% van de waarde overblijft. $24000 \cdot 0{,}15^5$ is bijna nul, en geen auto verliest zoveel in 5 jaar.

Correct: Afname: $b = 1 - r = 0{,}85$ . Groei: $b = 1 + r$ . De factor is wat er na één periode over is (of wat je dan hebt).

$t$ gebruiken in plaats van $\frac{t}{T}$ als de periode niet 1 is

Waarom het fout is: "Verdrievoudigt elke 2 uur" of "halveringstijd van 6 uur" betekent dat de factor één keer per 2 of 6 uur werkt, niet elk uur. $40 \cdot 3^{10}$ is veel te groot.

Correct: Tel eerst de perioden: exponent $= \frac{\text{tijd}}{\text{lengte van één periode}}$ , bijvoorbeeld $3^{10/2} = 3^5$ .

De controle op redelijkheid overslaan

Waarom het fout is: Een uitkomst bij afname die groter is dan de beginwaarde, of een uitkomst bij groei die kleiner is, wijst altijd op een verkeerde factor of exponent.

Correct: Elke keer stap 5: groei eindigt boven $a$ , afname eindigt tussen $0$ en $a$ , en de eenheid past bij de vraag.

Interactieve visualisatie

Renteberekening

Hoofdsom (€ 5.000,00)

Rentevoet (6%)

Periode (10 jaren)

Samenstelling

Formule

Samengestelde rente:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 5000 · (1 + 0,06/12)^(12 · 10) = € 9.096,98

Samengestelde rente

Verdiende rente:€ 4.096,98

Totaalbedrag:€ 9.096,98

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Samenstelling	n	Totaalbedrag	Verdiende rente
Jaarlijks	1	€ 8.954,24	€ 3.954,24
Maandelijks	12	€ 9.096,98	€ 4.096,98
Dagelijks	365	€ 9.110,14	€ 4.110,14
Continu	∞	€ 9.110,59	€ 4.110,59

Groei over tijd

Rij-verkenner

Eerste term (a₁ = 200)

Reden (r = 0,5)

200,

100,

50,

25,

12,5,

6,25

, ...

Formule

a_n = 200 × 0,5^(n-1)

a_1

200

a_5

12,5

a_10

0,391

a_20

0,000381

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een telefoon verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Welke factor $b$ gebruik je in het model $V(t) = a \cdot b^t$ ?

Oefenproblemen: Toepassingsopgaven met exponentiële functies

1. Een telefoon verliest elk jaar 15% van zijn waarde. Welke factor b gebruik je in het model V(t) = a \cdot b^t?
2. Het aantal vissen in een meer wordt beschreven door P(t) = 1200 \cdot 1{,}04^t, met t in jaren. Wat vertelt het getal 1{,}04 je?
3. Elke rij toont de waarden van een grootheid voor t = 0, 1, 2, 3. Welke rij volgt een exponentieel model?
4. Je belegt 2000 € tegen 6% rente per jaar, per kwartaal bijgeschreven. Welk model geeft het bedrag A na t jaar?
5. Een auto die 20000 € kostte, verliest elk jaar 10% van zijn waarde. Vier leerlingen berekenden de waarde na 4 jaar. Welke uitkomst is juist?
6. Een video heeft 500 weergaven, en het aantal weergaven verdubbelt elke dag. Hoeveel weergaven heeft hij na 6 dagen?
7. Een stof heeft een halveringstijd van 5 uur. Een monster bevat eerst 80 mg. Hoeveel mg is er na 20 uur nog over?
8. Je zet 1000 € tegen 8% rente per jaar, per kwartaal bijgeschreven. Hoeveel staat er na 5 jaar op de rekening? Rond af op centen.
9. Er wordt 1500 € belegd tegen 5% per jaar met continue rentebijschrijving. Gebruik e^{0{,}5} \approx 1{,}6487. Hoeveel is de belegging na 10 jaar waard? Rond af op hele euro's.
10. Een tabel geeft y = 80 bij t = 0, y = 120 bij t = 1, y = 180 bij t = 2 en y = 270 bij t = 3. Bepaal of hij lineair of exponentieel is en bereken dan de exacte waarde van y bij t = 5.
11. Een laptop kost 1200 € en verliest elk jaar 20% van zijn waarde. Hoeveel is hij na 3 jaar waard?
12. Op maandag kennen 4 leerlingen een nieuwe dansuitdaging. Elke dag verdrievoudigt het aantal leerlingen dat hem kent. Hoeveel leerlingen kennen hem 4 dagen later?
13. Je belegt 3000 € tegen 5% rente per jaar, per halfjaar bijgeschreven (twee keer per jaar). Hoeveel heb je na 6 jaar? Rond af op centen.
14. Een radioactieve stof heeft een halveringstijd van 5 jaar. Een monster weegt 640 g. Hoeveel gram is er na 15 jaar nog over?
15. Een patiënt krijgt 500 mg van een medicijn. De hoeveelheid in het bloed neemt continu af met 10% per uur, dus A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}. Gebruik e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187. Hoeveel mg is er na 2 uur nog over? Rond af op hele mg.
16. Bank A geeft 5% per jaar, jaarlijks bijgeschreven. Bank B geeft 5% per jaar, maandelijks bijgeschreven. Je zet 10000 € voor 3 jaar vast. Hoeveel meer levert bank B op? Rond elk bedrag af op centen.
17. Een dorp had 2000 inwoners. Twee jaar later waren het er 2880. Neem exponentiële groei aan: P(t) = 2000 \cdot b^t (t in jaren). Bepaal b, het groeipercentage per jaar en het aantal inwoners na 4 jaar (afgerond op hele inwoners).
18. De waarde van een auto is V(t) = 18000 \cdot 0{,}88^t euro, t jaar na aankoop. Interpreteer het model en bepaal daarna na hoeveel hele jaren de waarde voor het eerst onder 10000 € zakt.

Waarom het belangrijk is

Exponentiële modellen zijn de taal van geld, geneeskunde, techniek en natuur. Als je ze zelf kunt opstellen, kun je beweringen controleren in plaats van ze zomaar te geloven:

Sparen en lenen: het verschil tussen jaarlijkse en maandelijkse rentebijschrijving is na 10 of 20 jaar echt geld
Een auto of telefoon kopen: de waardedaling vertelt je wat hij nog waard is als je hem verkoopt
Gezondheid: de halveringstijd vertelt een arts hoeveel medicijn er na een paar uur nog in je lichaam zit
Sociale media: virale posts groeien in elke periode met een factor, daarom gaan ze zo snel
Natuurwetenschappen: populaties, radioactieve stoffen en afkoelende voorwerpen volgen exponentiële wetten

Deze les brengt alles uit het hoofdstuk exponentiële functies samen. De methode in 5 stappen is elke keer hetzelfde; alleen de formule in stap 3 verandert.

Toepassingen in de echte wereld

Sparen voor je studie

Banken schrijven rente jaarlijks, per kwartaal, per maand of per dag bij. Met de formule $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ kun je aanbiedingen vergelijken voordat je kiest.

Voorbeeld:

1000 € tegen 4%, per kwartaal bijgeschreven, 3 jaar lang: $1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ €.

1Probeer het zelf

Je zet 4000 € op een rekening met 6% rente per jaar, per kwartaal bijgeschreven, voor 2 jaar.

Hoeveel geld staat er na 2 jaar op de rekening (op centen nauwkeurig)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ met $P = 4000$ , $r = 0{,}06$ , $n = 4$ , $t = 2$ :

Bacteriën in het lab

Microbiologen beschrijven groei die op elk moment plaatsvindt, niet in sprongen, met continue groei $A = P \cdot e^{rt}$.

Voorbeeld:

Een kweek van 1000 cellen die 10 uur lang continu groeit met 2% per uur: $1000 \cdot e^{0{,}2} \approx 1000 \cdot 1{,}2214 \approx 1221$ cellen.

2Probeer het zelf

Een kweek begint met 800 cellen en groeit continu met 3% per uur. Gebruik $e^{0{,}3} \approx 1{,}3499$ .

Ongeveer hoeveel cellen zijn er na 10 uur (afgerond op hele cellen)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $A = P \cdot e^{rt}$ met $P = 800$ , $r = 0{,}03$ , $t = 10$ :

Cafeïne in je lichaam

Artsen en apothekers gebruiken de halveringstijd om te bepalen hoe vaak je een medicijn neemt. Cafeïne heeft bij volwassenen een halveringstijd van ongeveer 5 uur.

Voorbeeld:

Een koffie met 100 mg om 8:00 uur laat om 13:00 uur nog $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 50$ mg achter.

3Probeer het zelf

Een energiedrankje bevat 160 mg cafeïne. Neem een halveringstijd van 5 uur aan.

Hoeveel cafeïne is er na 10 uur nog over?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ met $N_0 = 160$ , $T = 5$ , $t = 10$ :

Belangrijke punten

1Elke exponentiële contextopgave past in $y = a \cdot b^{t}$ : $a$ is de beginwaarde, $b$ de factor per periode
2Gebruik de 5 stappen: lezen, groei of afname en de factor herkennen, model opstellen, berekenen, controleren
3Een percentage $r$ geeft de factor $b = 1 + r$ bij groei en $b = 1 - r$ bij afname
4Samengestelde interest: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$ ; continu: $A = P \cdot e^{rt}$ ; halveringstijd: $N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$
5Werkt de factor één keer per $T$ tijdseenheden, dan is de exponent $\frac{t}{T}$
6In een tabel betekenen constante verschillen lineair en constante quotiënten exponentieel

Veelgestelde vragen

Let op woorden als "procent per jaar", "verdubbelt", "verdrievoudigt", "halveert" of "halveringstijd": de verandering is een factor. Staat er "neemt elk jaar met 50 toe", dan is de verandering een vast bedrag, dus lineair. In een tabel controleer je de quotiënten van opeenvolgende waarden.

Woordenlijst

Exponentieel model: Een formule $y = a \cdot b^{t}$ die een hoeveelheid beschrijft die in elke even lange periode met dezelfde factor $b$ verandert
Groeifactor: Het getal $b$ waarmee je elke periode vermenigvuldigt: $b = 1 + r$ bij groei, $b = 1 - r$ bij afname
Samengestelde interest: Rente die $n$ keer per jaar bij het saldo wordt opgeteld, zodat je later ook rente krijgt over eerdere rente
Waardedaling: Het verlies aan waarde van een voorwerp (auto, telefoon, machine) in de loop van de tijd, vaak een vast percentage per jaar
Halveringstijd: De tijd $T$ waarin een afnemende hoeveelheid tot de helft van haar waarde daalt
Continue groei: Groei die op elk moment plaatsvindt, beschreven met $A = P \cdot e^{rt}$

Formulekaart

Algemeen exponentieel model

y = a \cdot b^{t}

$a$ = beginwaarde, $b$ = factor per periode ($b = 1 + r$ groei, $b = 1 - r$ afname), $t$ = aantal perioden.

Samengestelde interest

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = beginbedrag, $r$ = jaarrente als decimaal getal, $n$ = aantal bijschrijvingen per jaar, $t$ = jaren.

Continue groei of afname

A = P \cdot e^{rt}

$r > 0$ bij groei, $r < 0$ bij afname, $e \approx 2{,}71828$.

Halveringstijd

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = beginhoeveelheid, $T$ = halveringstijd, $t$ = verstreken tijd (zelfde eenheid als $T$).

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Renteberekening

Samengestelde rente

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Groei over tijd

Rij-verkenner

Formule

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Sparen voor je studie

Bacteriën in het lab

Cafeïne in je lichaam

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Algemeen exponentieel model

Samengestelde interest

Continue groei of afname

Halveringstijd

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname