Een groeikromme tekenen met een tabel

Teken $y = 3 \cdot 2^x$ voor $x = -2$ tot en met $x = 3$. Geef het snijpunt met de y-as, de asymptoot, het domein en het bereik.

Bereken de waarden voor negatieve $x$: $3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ en $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ = Punten $(-2; 0{,}75)$ en $(-1; 1{,}5)$

Bereken de waarden voor $x = 0$ tot en met $3$: $3 \cdot 2^0 = 3$, $3 \cdot 2^1 = 6$, $3 \cdot 2^2 = 12$, $3 \cdot 2^3 = 24$ = Punten $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$

Zet de punten uit en verbind ze: Elke stap naar rechts verdubbelt $y$; elke stap naar links halveert $y$ = Een stijgende kromme, links vlak en rechts steil

Lees de kenmerken af: $a = 3$ geeft het snijpunt met de y-as; er wordt niets opgeteld, dus $k = 0$ = Snijpunt met de y-as $(0, 3)$, asymptoot $y = 0$, domein alle reële getallen, bereik $y > 0$

Answer: De grafiek gaat door $(-2; 0{,}75)$, $(-1; 1{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 6)$, $(2, 12)$, $(3, 24)$. Hij stijgt van links naar rechts, snijdt de y-as in $(0, 3)$, nadert links de asymptoot $y = 0$, heeft als domein alle reële getallen en als bereik $y > 0$.

Een dalende kromme: grondtal tussen 0 en 1

Teken $y = 8 \cdot (0{,}5)^x$ voor $x = -2$ tot en met $x = 3$ en vergelijk de grafiek met die van $y = 8 \cdot 2^x$.

Bereken de waarden: $8 \cdot (0{,}5)^{-2} = 8 \cdot 4 = 32$, $8 \cdot (0{,}5)^{-1} = 16$, $8 \cdot (0{,}5)^0 = 8$, $8 \cdot (0{,}5)^1 = 4$, $8 \cdot (0{,}5)^2 = 2$, $8 \cdot (0{,}5)^3 = 1$ = Punten $(-2, 32)$, $(-1, 16)$, $(0, 8)$, $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

Beschrijf de vorm: Elke stap naar rechts halveert $y$, dus de kromme daalt en wordt rechts vlak richting de x-as = Dalende kromme, asymptoot $y = 0$

Vergelijk met $y = 8 \cdot 2^x$: $(0{,}5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$, dus $8 \cdot (0{,}5)^x = 8 \cdot 2^{-x}$: de waarde bij $x$ is gelijk aan de waarde van $8 \cdot 2^x$ bij $-x$ = De twee grafieken zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as

Answer: De grafiek daalt van $(-2, 32)$ via $(0, 8)$ naar $(3, 1)$ en nadert rechts $y = 0$. Hij is het spiegelbeeld van $y = 8 \cdot 2^x$ in de y-as; beide hebben het snijpunt $(0, 8)$ met de y-as, de asymptoot $y = 0$ en het bereik $y > 0$.

Een grafiek naar rechts en naar boven verschuiven

Schets $y = 2^{x-1} + 3$. Bepaal de asymptoot, het snijpunt met de y-as, het domein en het bereik.

Herken de transformatie: Vergelijk met $y = a \cdot b^{x-h} + k$: $a = 1$, $b = 2$, $h = 1$, $k = 3$ = Verschuif $y = 2^x$ 1 naar rechts en 3 naar boven

Verschuif drie punten van $y = 2^x$: $(0, 1) \to (1, 4)$, $(1, 2) \to (2, 5)$, $(2, 4) \to (3, 7)$: tel 1 op bij elke $x$ en 3 bij elke $y$ = Punten $(1, 4)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$

Verschuif de asymptoot: De asymptoot $y = 0$ gaat 3 eenheden omhoog; de verschuiving naar rechts verandert hem niet = Asymptoot $y = 3$

Bepaal het snijpunt met de y-as: Vul $x = 0$ in: $2^{0-1} + 3 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ = Snijpunt met de y-as $(0; 3{,}5)$

Geef domein en bereik: $a > 0$, dus de grafiek blijft boven $y = 3$ = Domein alle reële getallen, bereik $y > 3$

Answer: De grafiek is $y = 2^x$, 1 naar rechts en 3 naar boven verschoven: hij gaat door $(0; 3{,}5)$, $(1, 4)$, $(2, 5)$ en $(3, 7)$, heeft de asymptoot $y = 3$, als domein alle reële getallen en als bereik $y > 3$.

Een gespiegelde grafiek onder zijn asymptoot

Maak een tabel voor $y = -2^x + 4$ van $x = -2$ tot en met $x = 3$. Beschrijf de grafiek en bepaal waar hij de x-as snijdt.

Lees de uitdrukking goed: $-2^x$ betekent $-(2^x)$: eerst $2^x$ berekenen, dan het teken omdraaien. Dus $a = -1$, $b = 2$, $k = 4$ = Spiegeling van $y = 2^x$ in de x-as, daarna 4 omhoog

Bereken de waarden: $x = -2$: $-0{,}25 + 4 = 3{,}75$; $x = -1$: $-0{,}5 + 4 = 3{,}5$; $x = 0$: $-1 + 4 = 3$; $x = 1$: $-2 + 4 = 2$; $x = 2$: $-4 + 4 = 0$; $x = 3$: $-8 + 4 = -4$ = Punten $(-2; 3{,}75)$, $(-1; 3{,}5)$, $(0, 3)$, $(1, 2)$, $(2, 0)$, $(3, -4)$

Bepaal de asymptoot en het bereik: Ver naar links komt $2^x$ heel dicht bij 0, dus $y$ komt van onderen heel dicht bij 4 = Asymptoot $y = 4$, bereik $y < 4$

Bepaal het snijpunt met de x-as: $-2^x + 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ = Snijpunt $(2, 0)$

Answer: De grafiek daalt van net onder $y = 4$ aan de linkerkant, via $(0, 3)$ en $(2, 0)$, en duikt steil naar $(3, -4)$. Asymptoot $y = 4$, domein alle reële getallen, bereik $y < 4$, snijpunt met de x-as $(2, 0)$, snijpunt met de y-as $(0, 3)$.

De vergelijking uit twee punten bepalen

De grafiek van $y = a \cdot b^x$ gaat door $(1, 6)$ en $(3, 24)$. Bepaal $a$ en $b$, en daarna het snijpunt met de y-as.

Schrijf voor elk punt een vergelijking op: $a \cdot b^1 = 6$ en $a \cdot b^3 = 24$ = Twee vergelijkingen met $a$ en $b$

Deel de tweede vergelijking door de eerste: $\frac{a \cdot b^3}{a \cdot b} = \frac{24}{6} \Rightarrow b^2 = 4$ = $b = 2$ (het grondtal moet positief zijn)

Vul $b$ in om $a$ te vinden: $a \cdot 2 = 6 \Rightarrow a = 3$ = $a = 3$

Schrijf de vergelijking op en controleer: $y = 3 \cdot 2^x$; controle met $(3, 24)$: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ = Snijpunt met de y-as $(0, 3)$

Answer: $y = 3 \cdot 2^x$, dus $a = 3$, $b = 2$ en het snijpunt met de y-as is $(0, 3)$. Met de punten $(0, 3)$ en $(1, 6)$ gaat het nog sneller: $a$ is de y-waarde bij $x = 0$, en $b = 6 : 3 = 2$.

Mistake: De asymptoot op $y = 0$ laten na een verticale verschuiving, bijvoorbeeld bij $y = 2^x + 3$

Why: Als je $k$ optelt, gaat elk punt $k$ omhoog, ook het niveau dat de kromme nadert. De grafiek van $y = 2^x + 3$ komt nooit onder 3.

Correct: Bij $y = a \cdot b^{x-h} + k$ is de asymptoot $y = k$. Bij $y = 2^x + 3$ is dat $y = 3$ en is het bereik $y > 3$.

Mistake: De verkeerde kant op schuiven: denken dat $y = 2^{x-3}$ de grafiek 3 naar links schuift

Why: Bij $x - 3$ heb je een grotere $x$ nodig om dezelfde exponent als eerst te krijgen. Het punt $(0, 1)$ van $y = 2^x$ ligt nu bij $(3, 1)$.

Correct: $x - h$ schuift $h$ naar rechts, $x + h$ schuift $h$ naar links. $y = 2^{x-3}$ gaat 3 naar rechts, $y = 2^{x+3}$ gaat 3 naar links.

Mistake: Het snijpunt met de y-as aflezen als $a$ (of $a + k$) terwijl de grafiek ook horizontaal verschoven is

Why: Het snijpunt met de y-as is alleen bij $y = a \cdot b^x$ gelijk aan $(0, a)$. Na een horizontale verschuiving is de exponent bij $x = 0$ niet meer 0.

Correct: Vul altijd $x = 0$ in. Bij $y = 2^{x-1} + 3$: $2^{-1} + 3 = 3{,}5$, niet 1 en niet 4.

Mistake: $-2^x$ behandelen als $(-2)^x$

Why: Machten gaan voor het minteken, dus $-2^x = -(2^x)$. Het grondtal is 2, niet $-2$, en $(-2)^x$ is niet eens een exponentiële functie.

Correct: $-2^x$ is de grafiek van $2^x$ gespiegeld in de x-as: bij $x = 2$ geeft hij $-4$, terwijl $(-2)^2 = 4$.

Labgegevens aflezen in een grafiek

Biologen zetten aantallen cellen uit tegen de tijd. Als de punten op een exponentiële kromme liggen, zijn twee metingen genoeg om het model op te stellen en latere aantallen te voorspellen.

Een kweek met 100 cellen aan het begin en 200 cellen een uur later volgt $y = 100 \cdot 2^x$, dus na 4 uur zit de kromme op $100 \cdot 16 = 1600$ cellen.

Videoweergaven met een basisniveau

Sommige hoeveelheden hebben een deel dat exponentieel groeit bovenop een constant deel. Het constante deel is de verticale verschuiving $k$, en in de grafiek is het de asymptoot.

Een video krijgt elke dag vast 100 weergaven via zoekopdrachten, plus een gedeeld deel dat elke dag verdubbelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$. Terug in de tijd krimpt het gedeelde deel naar 0, dus de grafiek nadert $V = 100$.

Papier vouwen

Elke vouw verdubbelt de dikte van een vel papier, dus de dikte na $n$ vouwen is een exponentiële functie waarvan de grafiek steeds sneller stijgt.

Een vel van 0,1 mm dik heeft na $n$ vouwen een dikte van $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Na 7 vouwen is dat $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

Q: Raakt een exponentiële grafiek ooit zijn asymptoot?

A: Nee. Bij $y = a \cdot b^x + k$ is de term $a \cdot b^x$ nooit 0, dus $y$ is nooit gelijk aan $k$. De kromme komt zo dichtbij als je wilt, daarom is het bereik $y > k$ of $y < k$ en hoort $k$ er nooit bij.

Q: Hoeveel punten heb ik nodig voor een schets?

A: Vier of vijf zijn genoeg: het snijpunt met de y-as, één of twee punten aan elke kant en de asymptoot. Een tabel van $x = -2$ tot en met $x = 3$ laat zowel de vlakke als de steile kant zien.

Q: Waarom lijken $y = 2^x$ en $y = (0{,}5)^x$ elkaars spiegelbeeld?

A: Omdat $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. De waarde van $(0{,}5)^x$ bij $x = 3$ is gelijk aan de waarde van $2^x$ bij $x = -3$, dus elk punt $(x, y)$ van de ene grafiek heeft een partner $(-x, y)$ op de andere.

Q: Verandert een horizontale verschuiving de asymptoot?

A: Nee. Naar links of rechts schuiven laat de kromme langs de asymptoot glijden, die op $y = k$ blijft. Alleen de verticale verschuiving $k$ verplaatst de asymptoot. Het snijpunt met de y-as verandert wel door een horizontale verschuiving.