Hoeveel punten heb ik nodig voor een schets?

Vier of vijf zijn genoeg: het snijpunt met de y-as, één of twee punten aan elke kant en de asymptoot. Een tabel van $x = -2$ tot en met $x = 3$ laat zowel de vlakke als de steile kant zien.

Waarom lijken $y = 2^x$ en $y = (0{,}5)^x$ elkaars spiegelbeeld?

Omdat $(0{,}5)^x = 2^{-x}$. De waarde van $(0{,}5)^x$ bij $x = 3$ is gelijk aan de waarde van $2^x$ bij $x = -3$, dus elk punt $(x, y)$ van de ene grafiek heeft een partner $(-x, y)$ op de andere.

Verandert een horizontale verschuiving de asymptoot?

Nee. Naar links of rechts schuiven laat de kromme langs de asymptoot glijden, die op $y = k$ blijft. Alleen de verticale verschuiving $k$ verplaatst de asymptoot. Het snijpunt met de y-as verandert wel door een horizontale verschuiving.

Leermiddelen

Grafieken van exponentiële functies

Q: Raakt een exponentiële grafiek ooit zijn asymptoot?

Nee. Bij $y = a \cdot b^x + k$ is de term $a \cdot b^x$ nooit 0, dus $y$ is nooit gelijk aan $k$. De kromme komt zo dichtbij als je wilt, daarom is het bereik $y > k$ of $y < k$ en hoort $k$ er nooit bij.

Teken y = a·b^x met een tabel, lees het snijpunt met de y-as en de asymptoot af, en zie hoe verschuivingen, spiegelingen en vermenigvuldigingen de grafiek veranderen.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Om een exponentiële functie

f(x) = a \cdot b^x

(met

b > 0

b \neq 1

) te tekenen, maak je een tabel, zet je de punten in een assenstelsel en verbind je ze met een vloeiende kromme die naar een horizontale asymptoot toe buigt.

De twee basisvormen (hier met

a = 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$2^x$	$0{,}25$	$0{,}5$	$1$	$2$	$4$	$8$
$(0{,}5)^x$	$4$	$2$	$1$	$0{,}5$	$0{,}25$	$0{,}125$

Als $b > 1$ , stijgt de grafiek van links naar rechts: links bijna vlak bij de x-as, rechts steeds steiler.
Als $0 < b < 1$ , daalt de grafiek van links naar rechts: links steil, rechts bijna vlak bij de x-as.

**Kenmerken van

y = a \cdot b^x

:**

Snijpunt met de y-as: $(0, a)$ , omdat $b^0 = 1$
Horizontale asymptoot: $y = 0$ (de x-as); de kromme komt er steeds dichter bij, maar raakt hem nooit
Domein: alle reële getallen
Bereik: $y > 0$ als $a > 0$ , en $y < 0$ als $a < 0$

Transformaties:

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ verschuift de grafiek $h$ eenheden naar rechts (naar links als $h$ negatief is)
$k$ verschuift de grafiek $k$ eenheden naar boven (naar beneden als $k$ negatief is) en verplaatst de asymptoot naar $y = k$
$a < 0$ spiegelt de grafiek in de x-as (vóór de verschuiving), zodat hij onder zijn asymptoot ligt
een factor $a$ met $\lvert a \rvert > 1$ rekt de grafiek verticaal uit, $0 < \lvert a \rvert < 1$ drukt hem in
Bereik van de getransformeerde grafiek: $y > k$ als $a > 0$ , en $y < k$ als $a < 0$

Probeer het meteen

Wat is de horizontale asymptoot van

y = 2^x - 7

? Vul het getal

k

y = k

in.

Uitgewerkte voorbeelden

Teken $y = 3 \cdot 2^x$ voor $x = -2$ tot en met $x = 3$ . Geef het snijpunt met de y-as, de asymptoot, het domein en het bereik.

Bereken de waarden voor negatieve $x$

$3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}75$ en $3 \cdot 2^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1{,}5$ → Punten $(-2; 0{,}75)$ en $(-1; 1{,}5)$

Bereken de waarden voor $x = 0$ tot en met $3$

$3 \cdot 2^0 = 3$ , $3 \cdot 2^1 = 6$ , $3 \cdot 2^2 = 12$ , $3 \cdot 2^3 = 24$ → Punten $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$

Zet de punten uit en verbind ze

Elke stap naar rechts verdubbelt $y$ ; elke stap naar links halveert $y$ → Een stijgende kromme, links vlak en rechts steil

Lees de kenmerken af

$a = 3$ geeft het snijpunt met de y-as; er wordt niets opgeteld, dus $k = 0$ → Snijpunt met de y-as $(0, 3)$ , asymptoot $y = 0$ , domein alle reële getallen, bereik $y > 0$

Antwoord: De grafiek gaat door $(-2; 0{,}75)$ , $(-1; 1{,}5)$ , $(0, 3)$ , $(1, 6)$ , $(2, 12)$ , $(3, 24)$ . Hij stijgt van links naar rechts, snijdt de y-as in $(0, 3)$ , nadert links de asymptoot $y = 0$ , heeft als domein alle reële getallen en als bereik $y > 0$ .

Veelgemaakte fouten

De asymptoot op $y = 0$ laten na een verticale verschuiving, bijvoorbeeld bij $y = 2^x + 3$

Waarom het fout is: Als je $k$ optelt, gaat elk punt $k$ omhoog, ook het niveau dat de kromme nadert. De grafiek van $y = 2^x + 3$ komt nooit onder 3.

Correct: Bij $y = a \cdot b^{x-h} + k$ is de asymptoot $y = k$ . Bij $y = 2^x + 3$ is dat $y = 3$ en is het bereik $y > 3$ .

De verkeerde kant op schuiven: denken dat $y = 2^{x-3}$ de grafiek 3 naar links schuift

Waarom het fout is: Bij $x - 3$ heb je een grotere $x$ nodig om dezelfde exponent als eerst te krijgen. Het punt $(0, 1)$ van $y = 2^x$ ligt nu bij $(3, 1)$ .

Correct: $x - h$ schuift $h$ naar rechts, $x + h$ schuift $h$ naar links. $y = 2^{x-3}$ gaat 3 naar rechts, $y = 2^{x+3}$ gaat 3 naar links.

Het snijpunt met de y-as aflezen als $a$ (of $a + k$ ) terwijl de grafiek ook horizontaal verschoven is

Waarom het fout is: Het snijpunt met de y-as is alleen bij $y = a \cdot b^x$ gelijk aan $(0, a)$ . Na een horizontale verschuiving is de exponent bij $x = 0$ niet meer 0.

Correct: Vul altijd $x = 0$ in. Bij $y = 2^{x-1} + 3$ : $2^{-1} + 3 = 3{,}5$ , niet 1 en niet 4.

$-2^x$ behandelen als $(-2)^x$

Waarom het fout is: Machten gaan voor het minteken, dus $-2^x = -(2^x)$ . Het grondtal is 2, niet $-2$ , en $(-2)^x$ is niet eens een exponentiële functie.

Correct: $-2^x$ is de grafiek van $2^x$ gespiegeld in de x-as: bij $x = 2$ geeft hij $-4$ , terwijl $(-2)^2 = 4$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

a = 3b = 2h = 0k = 0

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = a·b^(x − h) + kAsymptoot

Waardetabel

x	-2	-1	0	1	2	3
y	0,75	1,5	3	6	12	24

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

x	-2	-1	0	1	2	3
2^x	0,25	0,5	1	2	4	8
0,5^x	4	2	1	0,5	0,25	0,125

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Wat is het snijpunt met de y-as van de grafiek van $y = 5 \cdot 3^x$ ?

Waarom het belangrijk is

Een grafiek laat in één oogopslag zien wat een formule verbergt. Als je een exponentiële grafiek kunt schetsen, kun je:

Exponentiële gegevens herkennen: als een grafiek van volgers, cellen of spaargeld steeds sneller omhoog buigt, laat een tabel zien of er echt elke stap met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.
De beginwaarde en de bodem aflezen: het snijpunt met de y-as is waar de hoeveelheid begint, en de asymptoot $y = k$ is het niveau dat de hoeveelheid nadert maar nooit passeert, bijvoorbeeld een basis die er altijd is.
Een model snel controleren: een schets laat meteen zien of een formule stijgt of daalt, waar hij de assen snijdt en welke waarden onmogelijk zijn (buiten het bereik).
Een model uit gegevens opstellen: twee punten zoals $(0, 3)$ en $(1, 6)$ zijn genoeg om $a$ en $b$ te vinden en de volgende waarden te voorspellen.

Deze vaardigheden komen later in dit onderwerp terug: exponentiële afname, halveringstijd, continue groei en exponentiële vergelijkingen, en daarna bij logaritmen.

Toepassingen in de echte wereld

Labgegevens aflezen in een grafiek

Biologen zetten aantallen cellen uit tegen de tijd. Als de punten op een exponentiële kromme liggen, zijn twee metingen genoeg om het model op te stellen en latere aantallen te voorspellen.

Voorbeeld:

Een kweek met 100 cellen aan het begin en 200 cellen een uur later volgt $y = 100 \cdot 2^x$ , dus na 4 uur zit de kromme op $100 \cdot 16 = 1600$ cellen.

1Probeer het zelf

Een celkweek heeft 200 cellen bij $x = 0$ uur en 600 cellen bij $x = 1$ uur, en de grafiek is exponentieel: $y = a \cdot b^x$ .

Hoeveel cellen voorspelt het model bij $x = 3$ uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal $a$ en $b$ en bereken dan $a \cdot b^3$ :

Videoweergaven met een basisniveau

Sommige hoeveelheden hebben een deel dat exponentieel groeit bovenop een constant deel. Het constante deel is de verticale verschuiving $k$, en in de grafiek is het de asymptoot.

Voorbeeld:

Een video krijgt elke dag vast 100 weergaven via zoekopdrachten, plus een gedeeld deel dat elke dag verdubbelt: $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ . Terug in de tijd krimpt het gedeelde deel naar 0, dus de grafiek nadert $V = 100$ .

2Probeer het zelf

Het aantal weergaven per dag volgt $V(t) = 25 \cdot 2^t + 100$ , waarbij $t$ het aantal dagen is sinds de video gedeeld werd.

Hoeveel weergaven krijgt de video op dag $t = 4$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $25 \cdot 2^4 + 100$ :

Papier vouwen

Elke vouw verdubbelt de dikte van een vel papier, dus de dikte na $n$ vouwen is een exponentiële functie waarvan de grafiek steeds sneller stijgt.

Voorbeeld:

Een vel van 0,1 mm dik heeft na $n$ vouwen een dikte van $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm. Na 7 vouwen is dat $0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8$ mm.

3Probeer het zelf

Een vel papier is 0,1 mm dik, en de dikte na $n$ vouwen is $T(n) = 0{,}1 \cdot 2^n$ mm.

Na hoeveel vouwen is de stapel voor het eerst dikker dan 1 mm?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Maak een tabel van $0{,}1 \cdot 2^n$ en zoek de eerste waarde boven 1:

Belangrijke punten

1Om $y = a \cdot b^x$ te tekenen maak je een tabel (bijvoorbeeld $x = -2$ tot en met $3$ ), zet je de punten uit en verbind je ze met een vloeiende kromme
2Als $b > 1$ stijgt de grafiek van links naar rechts; als $0 < b < 1$ daalt hij; $y = b^x$ en $y = (1/b)^x$ zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as
3Voor $y = a \cdot b^x$ : snijpunt met de y-as $(0, a)$ , asymptoot $y = 0$ , domein alle reële getallen, bereik $y > 0$ als $a > 0$
4In $y = a \cdot b^{x-h} + k$ schuift $h$ naar rechts, schuift $k$ naar boven en legt de asymptoot op $y = k$ , en zet $a < 0$ de grafiek onder de asymptoot
5Na een verschuiving vind je het snijpunt met de y-as door $x = 0$ in te vullen; het bereik is $y > k$ of $y < k$
6Twee punten geven de vergelijking: $a$ is de waarde bij $x = 0$ , en het quotiënt van de y-waarden geeft een macht van $b$

Veelgestelde vragen

Nee. Bij

y = a \cdot b^x + k

is de term

a \cdot b^x

nooit 0, dus

y

is nooit gelijk aan

k

. De kromme komt zo dichtbij als je wilt, daarom is het bereik

y > k

y < k

en hoort

k

er nooit bij.

Woordenlijst

Tabel: Een lijst van gekozen $x$ -waarden met de bijbehorende $y$ -waarden, gebruikt om punten van een grafiek uit te zetten
Horizontale asymptoot: Een horizontale lijn $y = k$ die de grafiek steeds dichter nadert, maar nooit bereikt
Snijpunt met de y-as: Het punt waar de grafiek de y-as snijdt; je vindt het door $x = 0$ in te vullen
Domein: Alle $x$ -waarden waarvoor de functie gedefinieerd is; bij elke exponentiële functie zijn dat alle reële getallen
Bereik: Alle $y$ -waarden die de functie aanneemt; bij $y = a \cdot b^x + k$ is dat $y > k$ (als $a > 0$ ) of $y < k$ (als $a < 0$ )
Transformatie: Een verschuiving, spiegeling of vermenigvuldiging die een grafiek verplaatst of vervormt, beschreven door $h$ , $k$ en $a$ in $y = a \cdot b^{x-h} + k$

Formulekaart

Exponentiële functie

y = a \cdot b^x

Snijpunt met de y-as $(0, a)$, asymptoot $y = 0$, stijgend als $b > 1$, dalend als $0 < b < 1$

Getransformeerde vorm

y = a \cdot b^{x-h} + k

$h$ naar rechts, $k$ naar boven; asymptoot $y = k$; bereik $y > k$ als $a > 0$, $y < k$ als $a < 0$

Spiegelbeeld

(1/b)^x = b^{-x}

De grafieken van $b^x$ en $(1/b)^x$ zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as

Grondtal uit twee punten

b^{x_2 - x_1} = \frac{y_2}{y_1}

Deel de y-waarden van twee punten van $y = a \cdot b^x$ om een macht van $b$ te krijgen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Labgegevens aflezen in een grafiek

Videoweergaven met een basisniveau

Papier vouwen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Exponentiële functie

Getransformeerde vorm

Spiegelbeeld

Grondtal uit twee punten

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Exponentiële afname

Het natuurlijke grondtal e