Halveringstijden tellen

Een monster in het lab bevat $80$ mg van een stof met een halveringstijd van $4$ uur. Hoeveel is er na $12$ uur over?

Bepaal het aantal halveringstijden: $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ = 3 halveringstijden

Schrijf de formule op: $N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = Formule opgesteld

Bereken de macht: $\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ = Er is $\frac{1}{8}$ van het monster over

Vermenigvuldig: $80 \times \frac{1}{8} = 10$ (of halveer drie keer: $80 \to 40 \to 20 \to 10$) = $10$ mg

Answer: Na 12 uur is er nog **10 mg** van de stof over.

Jodium-131 in het ziekenhuis

Jodium-131 heeft een halveringstijd van $8$ dagen. Een ziekenhuis heeft er $200$ mg van. Hoeveel is er na $40$ dagen over, en hoeveel procent is dat?

Bepaal het aantal halveringstijden: $\frac{40}{8} = 5$ = 5 halveringstijden

Bepaal welk deel er over is: $\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$ = $\frac{1}{32}$

Bereken de hoeveelheid: $200 \times \frac{1}{32} = 6{,}25$ = $6{,}25$ mg

Schrijf het als percentage: $\frac{1}{32} = 0{,}03125 = 3{,}125\,\%$ = $3{,}125\,\%$

Answer: Na 40 dagen is er nog **6,25 mg** over, dat is **3,125 %** van de beginhoeveelheid.

Hoe oud is het bot? (koolstof-14)

Een bot bevat $\frac{1}{8}$ van de koolstof-14 die het had toen het dier nog leefde. De halveringstijd van koolstof-14 is $5730$ jaar. Hoe oud is het bot?

Schrijf de breuk als macht van $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ = $n = 3$

Interpreteer de exponent: De exponent is het aantal halveringstijden: $\frac{t}{5730} = 3$ = Er zijn 3 halveringstijden verstreken

Bereken de tijd: $t = 3 \times 5730 = 17190$ = $17190$ jaar

Answer: Het bot is ongeveer **17190 jaar** oud.

De halveringstijd bepalen uit meetgegevens

Een monster van $96$ g neemt in $15$ uur af tot $12$ g. Wat is de halveringstijd?

Bepaal hoeveel keer zo klein het monster is: $\frac{96}{12} = 8$ = Het monster is 8 keer zo klein

Schrijf 8 als macht van 2: $8 = 2^3$, dus $96 \to 48 \to 24 \to 12$ = 3 halveringstijden

Deel de tijd door het aantal halveringstijden: $T = \frac{15}{3} = 5$ = $T = 5$ uur

Controleer: $96 \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 96 \times \frac{1}{8} = 12$ ✓ = Klopt

Answer: De halveringstijd is **5 uur**.

Een medicijn tussen twee halveringstijden

Een patiënt neemt $400$ mg van een medicijn met een halveringstijd van $6$ uur. Hoeveel zit er na $9$ uur nog in het bloed? Gebruik $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$ en rond af op één decimaal.

Bepaal het aantal halveringstijden: $\frac{9}{6} = 1{,}5$ = 1,5 halveringstijd (geen heel getal)

Schrijf de formule op: $N(9) = 400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$ = Formule opgesteld

Gebruik de gegeven macht: $400 \times 0{,}3536 = 141{,}44$ = $\approx 141{,}4$ mg

Controleer of het antwoord logisch is: Na 6 uur is er $200$ mg, na 12 uur $100$ mg. $141{,}4$ ligt daartussen ✓ = Logisch

Answer: Na 9 uur zit er nog ongeveer **141,4 mg** van het medicijn in het bloed.

Mistake: Elk uur (of elke dag, of elk jaar) halveren in plaats van één keer per halveringstijd

Why: Bij een halveringstijd van 4 uur rekenen sommige leerlingen na 12 uur $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$. Maar de hoeveelheid halveert maar om de 4 uur, niet elk uur.

Correct: De exponent is het aantal halveringstijden $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$, dus het antwoord is $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$.

Mistake: Elke halveringstijd de helft van de BEGINhoeveelheid aftrekken

Why: Wie $100 \to 50 \to 0$ rekent, behandelt het verval als lineair. Elke halveringstijd haalt de helft weg van wat er NU nog is, niet de helft van de beginhoeveelheid.

Correct: Halveer steeds de huidige hoeveelheid: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$. Een monster wordt nooit precies nul.

Mistake: De noemer gebruiken als aantal halveringstijden

Why: Als er $\frac{1}{8}$ over is, zeggen sommige leerlingen dat er 8 halveringstijden voorbij zijn. Maar na 8 halveringstijden zou er maar $\frac{1}{256}$ over zijn.

Correct: Schrijf de noemer als macht van 2: $8 = 2^3$, dus er zijn 3 halveringstijden voorbij.

Mistake: Het deel dat over is verwarren met het deel dat vervallen is

Why: Na 3 halveringstijden is er $\frac{1}{8}$ over, dus is $\frac{7}{8}$ vervallen. Een vraag kan naar allebei vragen.

Correct: Lees de vraag goed: vervallen deel $= 1 -$ deel dat over is. Na 3 halveringstijden: $12{,}5\,\%$ over, $87{,}5\,\%$ vervallen.

C-14-datering

Levende wezens nemen koolstof-14 op. Na hun dood vervalt het met een halveringstijd van 5730 jaar, dus het deel dat over is, laat zien hoe oud botten, hout en houtskool zijn.

Een stuk hout met $\frac{1}{4}$ van zijn oorspronkelijke koolstof-14 is $2 \times 5730 = 11460$ jaar oud.

Medicijnen in het bloed

Artsen gebruiken de halveringstijd van een medicijn om te bepalen wanneer de volgende dosis komt, zodat de hoeveelheid in het lichaam veilig en werkzaam blijft.

Van een dosis van $400$ mg met een halveringstijd van $6$ uur is na $12$ uur nog $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg over.

Behandeling met jodium-131

Jodium-131 wordt gebruikt bij schildklierziekten. De halveringstijd van 8 dagen vertelt het ziekenhuis hoe snel de straling afneemt en wanneer restanten veilig opgeslagen of afgevoerd kunnen worden.

$100$ mg jodium-131 wordt na $16$ dagen $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg.

Q: Verdwijnt een stof ooit helemaal?

A: Wiskundig niet: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ is nooit nul. In de praktijk is er na ongeveer 10 halveringstijden minder dan $0{,}1\,\%$ over ($\frac{1}{1024}$), en dat geldt meestal als verdwenen.

Q: Waarom is de exponent $\frac{t}{T}$ en niet gewoon $t$?

A: De factor $\frac{1}{2}$ werkt één keer per halveringstijd, niet één keer per tijdseenheid. Door de tijd $t$ te delen door de halveringstijd $T$ tel je hoeveel halveringstijden er verstreken zijn.

Q: Wat als de tijd geen heel aantal halveringstijden is?

A: De formule werkt dan nog steeds, bijvoorbeeld $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Gebruik een rekenmachine (typ 400 × 0.5^1.5) of een gegeven waarde zoals $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Een onbekende tijd berekenen in zo'n geval vraagt om logaritmen, die in een latere les aan bod komen.

Q: Hoe hangt de halveringstijd samen met het afnamepercentage bij exponentiële afname?

A: In de les over exponentiële afname wordt een hoeveelheid per tijdseenheid met $b = 1 - r$ vermenigvuldigd. De halveringstijd gebruikt hetzelfde idee, maar kiest de tijdseenheid zo dat de factor precies $\frac{1}{2}$ is. Dat maakt hoofdrekenen veel makkelijker.