Waarom is de exponent $\frac{t}{T}$ en niet gewoon $t$?

De factor $\frac{1}{2}$ werkt één keer per halveringstijd, niet één keer per tijdseenheid. Door de tijd $t$ te delen door de halveringstijd $T$ tel je hoeveel halveringstijden er verstreken zijn.

Wat als de tijd geen heel aantal halveringstijden is?

De formule werkt dan nog steeds, bijvoorbeeld $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5}$. Gebruik een rekenmachine (typ 400 × 0.5^1.5) of een gegeven waarde zoals $\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}5} \approx 0{,}3536$. Een onbekende tijd berekenen in zo'n geval vraagt om logaritmen, die in een latere les aan bod komen.

Hoe hangt de halveringstijd samen met het afnamepercentage bij exponentiële afname?

In de les over exponentiële afname wordt een hoeveelheid per tijdseenheid met $b = 1 - r$ vermenigvuldigd. De halveringstijd gebruikt hetzelfde idee, maar kiest de tijdseenheid zo dat de factor precies $\frac{1}{2}$ is. Dat maakt hoofdrekenen veel makkelijker.

Leermiddelen

Opgaven over halveringstijd

Q: Verdwijnt een stof ooit helemaal?

Wiskundig niet: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ is nooit nul. In de praktijk is er na ongeveer 10 halveringstijden minder dan $0{,}1\,\%$ over ($\frac{1}{1024}$), en dat geldt meestal als verdwenen.

Leer met de halveringstijd uitrekenen hoeveel er van een stof over is, hoeveel tijd er verstreken is en hoe lang een halveringstijd is.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De halveringstijd

T

van een stof is de tijd waarin de helft ervan verdwijnt (vervalt, wordt afgebroken of het lichaam verlaat). Na elke halveringstijd wordt de hoeveelheid met

\frac{1}{2}

vermenigvuldigd.

Als

N_0

de beginhoeveelheid is, dan is de hoeveelheid na een tijd

t

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

waarbij:

$N_0$ = beginwaarde (bij $t = 0$ )
$T$ = halveringstijd (dezelfde tijdseenheid als $t$ )
$\frac{t}{T}$ = het aantal halveringstijden dat verstreken is

n

hele halveringstijden is er nog

\frac{N_0}{2^n}

over:

Halveringstijden	0	1	2	3	4	5
Deel over	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$
Procent over	$100\,\%$	$50\,\%$	$25\,\%$	$12{,}5\,\%$	$6{,}25\,\%$	$3{,}125\,\%$

Dit is exponentiële afname met groeifactor

\frac{1}{2}

per halveringstijd: de hoeveelheid wordt steeds kleiner, maar wordt nooit precies nul.

Probeer het meteen

Een stof heeft een halveringstijd van

10

jaar. Welk deel is er na

2

halveringstijden nog over?

Uitgewerkte voorbeelden

Een monster in het lab bevat $80$ mg van een stof met een halveringstijd van $4$ uur. Hoeveel is er na $12$ uur over?

Bepaal het aantal halveringstijden

$\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ → 3 halveringstijden

Schrijf de formule op

$N(12) = 80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ → Formule opgesteld

Bereken de macht

$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}$ → Er is $\frac{1}{8}$ van het monster over

Vermenigvuldig

$80 \times \frac{1}{8} = 10$ (of halveer drie keer: $80 \to 40 \to 20 \to 10$ ) → $10$ mg

Antwoord: Na 12 uur is er nog 10 mg van de stof over.

Veelgemaakte fouten

Elk uur (of elke dag, of elk jaar) halveren in plaats van één keer per halveringstijd

Waarom het fout is: Bij een halveringstijd van 4 uur rekenen sommige leerlingen na 12 uur $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$ . Maar de hoeveelheid halveert maar om de 4 uur, niet elk uur.

Correct: De exponent is het aantal halveringstijden $\frac{t}{T} = \frac{12}{4} = 3$ , dus het antwoord is $80 \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 10$ .

Elke halveringstijd de helft van de BEGINhoeveelheid aftrekken

Waarom het fout is: Wie $100 \to 50 \to 0$ rekent, behandelt het verval als lineair. Elke halveringstijd haalt de helft weg van wat er NU nog is, niet de helft van de beginhoeveelheid.

Correct: Halveer steeds de huidige hoeveelheid: $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5$ . Een monster wordt nooit precies nul.

De noemer gebruiken als aantal halveringstijden

Waarom het fout is: Als er $\frac{1}{8}$ over is, zeggen sommige leerlingen dat er 8 halveringstijden voorbij zijn. Maar na 8 halveringstijden zou er maar $\frac{1}{256}$ over zijn.

Correct: Schrijf de noemer als macht van 2: $8 = 2^3$ , dus er zijn 3 halveringstijden voorbij.

Het deel dat over is verwarren met het deel dat vervallen is

Waarom het fout is: Na 3 halveringstijden is er $\frac{1}{8}$ over, dus is $\frac{7}{8}$ vervallen. Een vraag kan naar allebei vragen.

Correct: Lees de vraag goed: vervallen deel $= 1 -$ deel dat over is. Na 3 halveringstijden: $12{,}5\,\%$ over, $87{,}5\,\%$ vervallen.

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Eerste term (a₁ = 64)

Reden (r = 0,5)

64,

32,

16,

, ...

Formule

a_n = 64 × 0,5^(n-1)

a_1

a_5

a_10

0,125

a_20

0,000122

Grafiek van de functie

N = 80T = 4

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

N(t) = N₀·(1/2)^(t/T)Asymptoot

Waardetabel

t	0	4	8	12	16
y	80	40	20	10	5

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een stof heeft een halveringstijd van $10$ jaar. Welk deel is er na $2$ halveringstijden nog over?

Waarom het belangrijk is

Met de halveringstijd meten wetenschappers, artsen en ingenieurs hoe snel iets verdwijnt:

Archeologie: koolstof-14 heeft een halveringstijd van $5730$ jaar, dus de koolstof die nog in botten en hout zit, verraadt hoe oud ze zijn
Geneeskunde: de halveringstijd van een medicijn vertelt artsen wanneer de volgende dosis nodig is
Ziekenhuis: jodium-131, dat gebruikt wordt bij schildklierziekten, heeft een halveringstijd van $8$ dagen. Daaraan ziet het personeel wanneer een patiënt veilig naar huis kan
Energie en veiligheid: kernafval moet worden opgeslagen tot er genoeg halveringstijden voorbij zijn

Het goede nieuws: als de tijd een heel aantal halveringstijden is, los je deze opgaven op door te halveren, zonder ingewikkelde hulpmiddelen.

Toepassingen in de echte wereld

C-14-datering

Levende wezens nemen koolstof-14 op. Na hun dood vervalt het met een halveringstijd van 5730 jaar, dus het deel dat over is, laat zien hoe oud botten, hout en houtskool zijn.

Voorbeeld:

Een stuk hout met $\frac{1}{4}$ van zijn oorspronkelijke koolstof-14 is $2 \times 5730 = 11460$ jaar oud.

1Probeer het zelf

Houtskool uit een oude haardplaats bevat $\frac{1}{16}$ van zijn oorspronkelijke koolstof-14. De halveringstijd van koolstof-14 is $5730$ jaar.

Hoe oud is de houtskool?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal het aantal halveringstijden en vermenigvuldig dan met $5730$ :

Medicijnen in het bloed

Artsen gebruiken de halveringstijd van een medicijn om te bepalen wanneer de volgende dosis komt, zodat de hoeveelheid in het lichaam veilig en werkzaam blijft.

Voorbeeld:

Van een dosis van $400$ mg met een halveringstijd van $6$ uur is na $12$ uur nog $400 \left(\frac{1}{2}\right)^{12/6} = 100$ mg over.

2Probeer het zelf

Een patiënt neemt $600$ mg van een medicijn met een halveringstijd van $4$ uur.

Hoeveel mg is er na $16$ uur nog over?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: $600 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/4}$

Behandeling met jodium-131

Jodium-131 wordt gebruikt bij schildklierziekten. De halveringstijd van 8 dagen vertelt het ziekenhuis hoe snel de straling afneemt en wanneer restanten veilig opgeslagen of afgevoerd kunnen worden.

Voorbeeld:

$100$ mg jodium-131 wordt na $16$ dagen $100 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = 25$ mg.

3Probeer het zelf

Een ziekenhuis bewaart $160$ mg jodium-131 (halveringstijd $8$ dagen).

Hoeveel mg is er na $24$ dagen nog over?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken: $160 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Belangrijke punten

1De halveringstijd $T$ is de tijd waarin de helft van een stof verdwijnt
2De hoeveelheid die over is, is $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ , waarbij $\frac{t}{T}$ het aantal halveringstijden is
3Na $n$ halveringstijden is het deel dat over is $\frac{1}{2^n}$ : $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$
4Voor de verstreken tijd schrijf je het deel dat over is als $\frac{1}{2^n}$ en vermenigvuldig je $n$ met de halveringstijd
5Voor de halveringstijd tel je hoe vaak de hoeveelheid in de gegevens halveert en deel je de tijd door dat aantal
6Elke halveringstijd haalt de helft weg van wat er op dat moment is, dus de hoeveelheid wordt nooit precies nul

Veelgestelde vragen

Wiskundig niet:

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

is nooit nul. In de praktijk is er na ongeveer 10 halveringstijden minder dan

0{,}1\,\%

over (

\frac{1}{1024}

), en dat geldt meestal als verdwenen.

Woordenlijst

Halveringstijd: De tijd $T$ waarin de helft van een stof vervalt of verdwijnt
Beginwaarde: De hoeveelheid $N_0$ aan het begin, bij $t = 0$
Aantal halveringstijden: De verhouding $\frac{t}{T}$ : hoe vaak de hoeveelheid gehalveerd is
Radioactief verval: Het proces waarbij instabiele atomen in andere atomen veranderen, waarbij in elke even lange periode een vast deel verdwijnt
C-14-datering: Een methode die de leeftijd van ooit levend materiaal bepaalt uit het deel koolstof-14 dat over is (halveringstijd $5730$ jaar)

Formulekaart

Formule voor halveringstijd

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}

$N_0$ = beginwaarde, $T$ = halveringstijd, $t$ = verstreken tijd (dezelfde eenheid als $T$).

Na n halveringstijden

N = \frac{N_0}{2^n}, \quad n = \frac{t}{T}

Deel voor elke halveringstijd één keer door 2. De verstreken tijd is $t = n \cdot T$.

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Formule

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

C-14-datering

Medicijnen in het bloed

Behandeling met jodium-131

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Formule voor halveringstijd

Na n halveringstijden

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname