Hoe (1 + 1/n)^n naar e toe gaat

Bereken $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ voor $n = 1$, $n = 2$ en $n = 12$. Wat valt je op?

Neem $n = 1$: $\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$ = $2$

Neem $n = 2$: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$ = $2{,}25$

Neem $n = 12$ (met de rekenmachine): $\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$ = $\approx 2{,}61304$

Vergelijk met grotere $n$: $n = 365$ geeft $\approx 2{,}71457$, $n = 1\,000\,000$ geeft $\approx 2{,}71828$ = De waarden groeien steeds langzamer

Answer: De uitkomsten $2$, $2{,}25$, $2{,}61304$, ... blijven stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ en komen er nooit boven.

Steeds vaker rente bijschrijven

Je zet 1000 € op een denkbeeldige rekening die 100 % rente per jaar betaalt. Hoeveel heb je na een jaar als de rente jaarlijks, maandelijks of dagelijks wordt bijgeschreven?

Gebruik de formule voor samengestelde interest: $A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}$ met $P = 1000$, $r = 1$ (100 %), $t = 1$ jaar = $A = 1000\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Jaarlijks: $n = 1$: $1000 \cdot 2^1 = 2000$ = 2000 €

Maandelijks: $n = 12$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1000 \cdot 2{,}61304$ = ongeveer 2613,04 €

Dagelijks: $n = 365$: $1000 \cdot \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 1000 \cdot 2{,}71457$ = ongeveer 2714,57 €

Bepaal de grens: Rente op elk moment bijschrijven geeft $1000 \cdot e \approx 1000 \cdot 2{,}71828$ = ongeveer 2718,28 €

Answer: Jaarlijks: 2000 €, maandelijks: ongeveer 2613,04 €, dagelijks: ongeveer 2714,57 €. Hoe vaak de rente ook wordt bijgeschreven, het bedrag komt nooit boven ongeveer 2718,28 €, en dat is $1000 \cdot e$.

De natuurlijke exponentiële functie uitrekenen

Neem $f(x) = e^x$. Bereken met $e \approx 2{,}71828$ en $e^2 \approx 7{,}389$ de waarden $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$ en $f(2)$. Rond af op drie decimalen.

Bereken $f(0)$: Elk getal behalve nul tot de macht $0$ is $1$: $e^0 = 1$ = $f(0) = 1$

Bereken $f(1)$: $e^1 = e \approx 2{,}71828$ = $f(1) \approx 2{,}718$

Bereken $f(-1)$: $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx \frac{1}{2{,}71828} \approx 0{,}36788$ = $f(-1) \approx 0{,}368$

Bereken $f(2)$: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ = $f(2) \approx 7{,}389$

Answer: $f(0) = 1$, $f(1) \approx 2{,}718$, $f(-1) \approx 0{,}368$, $f(2) \approx 7{,}389$. Elke stap van $1$ naar rechts vermenigvuldigt de waarde met $e$.

Waar ligt y = e^x?

Vergelijk $2^x$, $e^x$ en $3^x$ bij $x = 2$ en bij $x = -1$. Gebruik $e^2 \approx 7{,}389$ en $e^{-1} \approx 0{,}368$.

Reken uit bij $x = 2$: $2^2 = 4$, $e^2 \approx 7{,}389$, $3^2 = 9$ = $4 < 7{,}389 < 9$

Reken uit bij $x = -1$: $2^{-1} = 0{,}5$, $e^{-1} \approx 0{,}368$, $3^{-1} \approx 0{,}333$ = $0{,}333 < 0{,}368 < 0{,}5$

Reken uit bij $x = 0$: $2^0 = e^0 = 3^0 = 1$ = Alle drie komen samen in $(0, 1)$

Beschrijf de grafiek: Omdat $2 < e < 3$, ligt de waarde van $e^x$ altijd tussen de andere twee = De grafiek van $e^x$ ligt tussen $2^x$ en $3^x$

Answer: Voor $x > 0$ ligt $e^x$ boven $2^x$ en onder $3^x$; voor $x < 0$ draait de volgorde om, maar $e^x$ blijft in het midden. Alle drie de grafieken snijden de y-as in $1$ en hebben de x-as als horizontale asymptoot.

Een eerste blik op continue rentebijschrijving

Je zet 1000 € een jaar lang vast tegen 12 % per jaar. Vergelijk jaarlijkse, maandelijkse, dagelijkse en continue rentebijschrijving. Gebruik voor continue bijschrijving $A = Pe^{rt}$ en $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$.

Jaarlijks: $1000 \cdot 1{,}12 = 1120$ = 1120,00 €

Maandelijks: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12} = 1000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 1126{,}83$ = 1126,83 €

Dagelijks: $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{365}\right)^{365} \approx 1127{,}47$ = 1127,47 €

Continu: $A = Pe^{rt} = 1000 \cdot e^{0{,}12 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1{,}1275$ = 1127,50 €

Answer: De bedragen zijn 1120,00 €, 1126,83 €, 1127,47 € en 1127,50 €. Vaker bijschrijven helpt, maar de winst wordt piepklein, en het plafond is $Pe^{rt}$. De les Continue groei en afname behandelt deze formule uitgebreid.

Mistake: Denken dat $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ onbeperkt groeit, of dat het krimpt tot $1$

Why: Twee effecten werken tegen elkaar in: $1 + \frac{1}{n}$ komt dichter bij $1$, maar de exponent $n$ wordt groter. Geen van beide wint helemaal.

Correct: Controleer het met een tabel: $2$, $2{,}25$, $2{,}613$, $2{,}7146$, $2{,}71828$. De waarden stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$.

Mistake: $e$ behandelen als een variabele, net als $x$

Why: Letters staan in de algebra meestal voor onbekenden, dus leerlingen proberen $e$ op te lossen of er andere getallen voor in te vullen.

Correct: $e$ is een vaste constante, net als $\pi$. In $y = e^x$ is $x$ de variabele; $e \approx 2{,}71828$ verandert nooit.

Mistake: $e^2$ uitrekenen als $2e \approx 5{,}437$

Why: Een exponent betekent herhaald vermenigvuldigen, niet vermenigvuldigen met de exponent.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$.

Mistake: $e = 2{,}71828$ of $e = 2{,}72$ schrijven alsof het exact is

Why: $e$ is irrationaal, dus geen enkel eindig decimaal getal en geen enkele breuk is precies gelijk aan $e$.

Correct: Schrijf $e \approx 2{,}71828$ en rond pas aan het eind van een berekening af, zo nauwkeurig als de vraag vraagt.

Banken en hoe vaak rente wordt bijgeschreven

Banken noemen een jaarrente, maar schrijven de rente misschien jaarlijks, maandelijks of dagelijks bij. Hoe vaker dat gebeurt, hoe dichter het resultaat bij de continue grens komt die op $e$ is gebaseerd.

Bij 12 % per jaar groeit 1000 € met jaarlijkse bijschrijving tot 1120,00 € en met continue bijschrijving tot ongeveer 1127,50 € ($1000 \cdot e^{0{,}12}$).

Groeiende celculturen

Cellen in een laboratoriumkweek delen zich voortdurend, niet één keer per dag. Daarom beschrijven biologen hun groei met het grondtal $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Een kweek van 200 cellen, beschreven door $N = 200e^{t}$ ($t$ in uren), heeft na 1 uur $200e^{1} \approx 544$ cellen.

Lootjes trekken en 1/e

Bij lootjes trekken, waarbij iedereen een naam uit een hoed trekt, is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt bijna precies $\frac{1}{e}$ zodra de groep uit meer dan een paar mensen bestaat.

In een klas van 25 leerlingen is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt ongeveer $0{,}368$, dus in ongeveer 63 % van de gevallen moet er opnieuw getrokken worden.

Q: Waarom heet e het natuurlijke grondtal?

A: Omdat het vanzelf opduikt in de natuur en in de financiële wereld, telkens als iets voortdurend groeit en niet in stappen. In de analyse is $e^x$ de enige exponentiële functie waarvan de helling in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde, en daardoor zijn formules met grondtal $e$ het eenvoudigst.

Q: Wie heeft e ontdekt?

A: Jacob Bernoulli vond het rond 1683 toen hij samengestelde interest bestudeerde, precies zoals in deze les. Leonhard Euler gaf het later de naam $e$, bewees veel eigenschappen en berekende veel decimalen. Daarom heet het het getal van Euler.

Q: Is e hetzelfde als de constante van Euler?

A: Nee. Het getal van Euler $e \approx 2{,}71828$ is het grondtal van de natuurlijke exponentiële functie. De constante van Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ is een ander getal uit de getaltheorie. In dit onderwerp wordt alleen $e$ gebruikt.

Q: Hoe gebruik ik e op een rekenmachine?

A: De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben een $e^x$-toets. De rekenmachine in deze les kent $e$ ook: typ e^0.5 voor $e^{0{,}5}$, wat ongeveer $1{,}6487$ geeft. Zonder $e$-toets typ je in plaats daarvan 2.71828, bijvoorbeeld 2.71828^0.5.