Jacob Bernoulli vond het rond 1683 toen hij samengestelde interest bestudeerde, precies zoals in deze les. Leonhard Euler gaf het later de naam $e$, bewees veel eigenschappen en berekende veel decimalen. Daarom heet het het getal van Euler.

Is e hetzelfde als de constante van Euler?

Nee. Het getal van Euler $e \approx 2{,}71828$ is het grondtal van de natuurlijke exponentiële functie. De constante van Euler-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}5772$ is een ander getal uit de getaltheorie. In dit onderwerp wordt alleen $e$ gebruikt.

Hoe gebruik ik e op een rekenmachine?

De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben een $e^x$-toets. De rekenmachine in deze les kent $e$ ook: typ e^0.5 voor $e^{0{,}5}$, wat ongeveer $1{,}6487$ geeft. Zonder $e$-toets typ je in plaats daarvan 2.71828, bijvoorbeeld 2.71828^0.5.

Leermiddelen

Het natuurlijke grondtal e

Q: Waarom heet e het natuurlijke grondtal?

Omdat het vanzelf opduikt in de natuur en in de financiële wereld, telkens als iets voortdurend groeit en niet in stappen. In de analyse is $e^x$ de enige exponentiële functie waarvan de helling in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde, en daardoor zijn formules met grondtal $e$ het eenvoudigst.

Ontdek waar het getal e vandaan komt, waarom het ongeveer 2,71828 is en hoe de natuurlijke exponentiële functie y = e^x zich gedraagt.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Het natuurlijke grondtal

e

is een bijzonder getal, ongeveer

2{,}71828

. Het verschijnt als je de uitdrukking

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

berekent voor steeds grotere waarden van

n

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$12$	$\approx 2{,}61304$
$365$	$\approx 2{,}71457$
$1\,000\,000$	$\approx 2{,}71828$

De waarden blijven groeien, maar komen nooit boven een bepaalde grens uit. Die grens is het getal

e

e \approx 2{,}718281828\ldots

Belangrijke feiten:

$e$ is irrationaal: de decimalen stoppen nooit en herhalen zich nooit, dus $2{,}71828$ is alleen een benadering
$e$ ligt tussen $2$ en $3$ , dus de grafiek van de natuurlijke exponentiële functie $y = e^x$ ligt tussen de grafieken van $y = 2^x$ en $y = 3^x$
Zoals elke functie $y = b^x$ gaat ze door $(0, 1)$ , want $e^0 = 1$
Het grondtal $e$ wordt zo vaak gebruikt dat $e^x$ vaak gewoon de exponentiële functie wordt genoemd

Probeer het meteen

Welk getal is de beste benadering van

e

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ voor $n = 1$ , $n = 2$ en $n = 12$ . Wat valt je op?

Neem $n = 1$

$\left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$

Neem $n = 2$

$\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$

Neem $n = 12$ (met de rekenmachine)

$\left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 1{,}083333^{12} \approx 2{,}61304$

Vergelijk met grotere $n$

$n = 365$ geeft $\approx 2{,}71457$ , $n = 1\,000\,000$ geeft $\approx 2{,}71828$ → De waarden groeien steeds langzamer

Antwoord: De uitkomsten $2$ , $2{,}25$ , $2{,}61304$ , ... blijven stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ en komen er nooit boven.

Veelgemaakte fouten

Denken dat $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ onbeperkt groeit, of dat het krimpt tot $1$

Waarom het fout is: Twee effecten werken tegen elkaar in: $1 + \frac{1}{n}$ komt dichter bij $1$ , maar de exponent $n$ wordt groter. Geen van beide wint helemaal.

Correct: Controleer het met een tabel: $2$ , $2{,}25$ , $2{,}613$ , $2{,}7146$ , $2{,}71828$ . De waarden stijgen, maar vlakken af bij $e \approx 2{,}71828$ .

$e$ behandelen als een variabele, net als $x$

Waarom het fout is: Letters staan in de algebra meestal voor onbekenden, dus leerlingen proberen $e$ op te lossen of er andere getallen voor in te vullen.

Correct: $e$ is een vaste constante, net als $\pi$ . In $y = e^x$ is $x$ de variabele; $e \approx 2{,}71828$ verandert nooit.

$e^2$ uitrekenen als $2e \approx 5{,}437$

Waarom het fout is: Een exponent betekent herhaald vermenigvuldigen, niet vermenigvuldigen met de exponent.

Correct: $e^2 = e \cdot e \approx 2{,}71828 \cdot 2{,}71828 \approx 7{,}389$ .

$e = 2{,}71828$ of $e = 2{,}72$ schrijven alsof het exact is

Waarom het fout is: $e$ is irrationaal, dus geen enkel eindig decimaal getal en geen enkele breuk is precies gelijk aan $e$ .

Correct: Schrijf $e \approx 2{,}71828$ en rond pas aan het eind van een berekening af, zo nauwkeurig als de vraag vraagt.

Interactieve visualisatie

Renteberekening

Hoofdsom (€ 1.000,00)

Rentevoet (100%)

Periode (1 jaar)

Samenstelling

Formule

Samengestelde rente:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 1)^1 = € 2.000,00

Samengestelde rente

Verdiende rente:€ 1.000,00

Totaalbedrag:€ 2.000,00

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Samenstelling	n	Totaalbedrag	Verdiende rente
Jaarlijks	1	€ 2.000,00	€ 1.000,00
Maandelijks	12	€ 2.613,04	€ 1.613,04
Dagelijks	365	€ 2.714,57	€ 1.714,57
Continu	∞	€ 2.718,28	€ 1.718,28

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

x	-1	0	1	2
2^x	0,5	1	2	4
e^x	0,367879	1	2,71828	7,38906
3^x	0,333333	1	3	9

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welk getal is de beste benadering van $e$ ?

Waarom het belangrijk is

Het getal

e

duikt overal op waar iets groeit of krimpt in verhouding tot zijn huidige grootte:

Banken: als rente steeds vaker wordt bijgeschreven (elke maand, elke dag, elke seconde), nadert het resultaat een grens die op $e$ is gebaseerd. Dit heet continue rentebijschrijving
Biologie: bacteriën en celculturen die zonder pauze groeien, worden beschreven met $e^x$
Natuurkunde en scheikunde: radioactief verval, afkoeling en het opladen van een condensator gebruiken machten van $e$
Kansrekening: als veel mensen lootjes trekken voor Sinterklaas, is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt ongeveer $\frac{1}{e} \approx 0{,}368$
Analyse: $e^x$ is de enige exponentiële functie waarvan de veranderingssnelheid in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde. Daarom is ze de natuurlijke keuze in de wetenschap

Daarom hebben wetenschappelijke rekenmachines een

e^x

-toets, en daarom gebruiken latere lessen (continue groei, populatiemodellen) het grondtal

e

Toepassingen in de echte wereld

Banken en hoe vaak rente wordt bijgeschreven

Banken noemen een jaarrente, maar schrijven de rente misschien jaarlijks, maandelijks of dagelijks bij. Hoe vaker dat gebeurt, hoe dichter het resultaat bij de continue grens komt die op $e$ is gebaseerd.

Voorbeeld:

Bij 12 % per jaar groeit 1000 € met jaarlijkse bijschrijving tot 1120,00 € en met continue bijschrijving tot ongeveer 1127,50 € ( $1000 \cdot e^{0{,}12}$ ).

1Probeer het zelf

Je zet 1000 € een jaar lang vast tegen 12 % per jaar, met maandelijkse rentebijschrijving.

Hoeveel staat er na een jaar op de rekening, afgerond op de cent?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{12}\right)^{12}$ :

Groeiende celculturen

Cellen in een laboratoriumkweek delen zich voortdurend, niet één keer per dag. Daarom beschrijven biologen hun groei met het grondtal $e$: $N = N_0 e^{kt}$.

Voorbeeld:

Een kweek van 200 cellen, beschreven door $N = 200e^{t}$ ( $t$ in uren), heeft na 1 uur $200e^{1} \approx 544$ cellen.

2Probeer het zelf

Een kweek begint met 200 cellen en wordt beschreven door $N = 200e^{t}$ , met $t$ in uren.

Hoeveel cellen zijn er ongeveer na 2 uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $200 \cdot e^2$ :

Lootjes trekken en 1/e

Bij lootjes trekken, waarbij iedereen een naam uit een hoed trekt, is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt bijna precies $\frac{1}{e}$ zodra de groep uit meer dan een paar mensen bestaat.

Voorbeeld:

In een klas van 25 leerlingen is de kans dat niemand zijn eigen naam trekt ongeveer $0{,}368$ , dus in ongeveer 63 % van de gevallen moet er opnieuw getrokken worden.

3Probeer het zelf

Een grote groep trekt lootjes. De kans dat niemand zijn eigen naam trekt is $\frac{1}{e}$ .

Hoe groot is de kans, in procenten, dat minstens één persoon zijn eigen naam trekt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $1 - \frac{1}{e}$ :

Belangrijke punten

1Als $n$ groter wordt, komt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ steeds dichter bij het getal $e \approx 2{,}71828$
2 $e$ is irrationaal: $2{,}71828$ is een benadering, niet de exacte waarde
3Vaker rente bijschrijven (jaarlijks, maandelijks, dagelijks) levert meer op, maar het bedrag nadert een grens: continue rentebijschrijving
4De natuurlijke exponentiële functie $y = e^x$ gaat door $(0, 1)$ en heeft de x-as als horizontale asymptoot
5Omdat $2 < e < 3$ , ligt de grafiek van $y = e^x$ tussen de grafieken van $y = 2^x$ en $y = 3^x$
6Continue groei gebruikt $A = Pe^{rt}$ , dat je leert in de les Continue groei en afname

Veelgestelde vragen

Omdat het vanzelf opduikt in de natuur en in de financiële wereld, telkens als iets voortdurend groeit en niet in stappen. In de analyse is

e^x

de enige exponentiële functie waarvan de helling in elk punt gelijk is aan haar eigen waarde, en daardoor zijn formules met grondtal

e

het eenvoudigst.

Woordenlijst

Getal van Euler e: De irrationale constante $e \approx 2{,}71828$ , de limiet van $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ als $n$ groter wordt
Natuurlijke exponentiële functie: De functie $f(x) = e^x$ , een exponentiële functie met grondtal $e$
Irrationaal getal: Een getal dat niet als breuk te schrijven is; de decimalen stoppen nooit en herhalen zich nooit (voorbeelden: $e$ , $\pi$ , $\sqrt{2}$ )
Bijschrijffrequentie: Hoe vaak per jaar de rente bij het saldo wordt opgeteld, genoteerd als $n$ (jaarlijks $n = 1$ , maandelijks $n = 12$ , dagelijks $n = 365$ )
Continue rentebijschrijving: De grens als rente steeds vaker wordt bijgeschreven; het bedrag is $A = Pe^{rt}$

Formulekaart

Definitie van e

e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828

Voor zeer grote $n$ ligt $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ heel dicht bij $e$.

Natuurlijke exponentiële functie

f(x) = e^x

Gaat door $(0, 1)$, altijd positief, horizontale asymptoot $y = 0$, ligt tussen $2^x$ en $3^x$.

Samengestelde interest

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$P$ = beginkapitaal, $r$ = jaarrente als decimaal getal, $n$ = bijschrijvingen per jaar, $t$ = jaren.

Continue rentebijschrijving

A = Pe^{rt}

De limiet van samengestelde interest als $n$ onbeperkt groeit.

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Renteberekening

Samengestelde rente

Zelfde bedrag, andere samenstelling

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Banken en hoe vaak rente wordt bijgeschreven

Groeiende celculturen

Lootjes trekken en 1/e

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Definitie van e

Natuurlijke exponentiële functie

Samengestelde interest

Continue rentebijschrijving

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname