Een groeiende stad

Een stad heeft $50000$ inwoners en groeit met $2\%$ per jaar. Schat het aantal inwoners na 5 jaar.

Bepaal $P_0$, $r$ en $t$: $P_0 = 50000$, $r = 0{,}02$, $t = 5$ = Waarden bepaald

Bepaal de groeifactor: $1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ = Groeifactor $1{,}02$

Stel het model op: $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ = Model klaar

Vul $t = 5$ in: $P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ = $P(5) \approx 55204$

Answer: Na 5 jaar heeft de stad ongeveer **55204** inwoners.

Bacteriën met een verdubbelingstijd

Een monster bevat $300$ bacteriën. Het aantal verdubbelt elke $30$ minuten. Hoeveel bacteriën zijn er na 3 uur?

Stel het verdubbelingsmodel op: $P(t) = 300 \cdot 2^{t/30}$, met $t$ in minuten = Verdubbelingsmodel

Reken de tijd om naar minuten: $3$ uur $= 180$ minuten = $t = 180$

Tel de verdubbelingen: $\frac{t}{d} = \frac{180}{30} = 6$ = 6 verdubbelingen

Reken uit: $P(180) = 300 \cdot 2^6 = 300 \cdot 64 = 19200$ = $19200$

Answer: Na 3 uur zijn er **19200** bacteriën.

De verdubbelingstijd schatten met de regel van 70

Een land met $8$ miljoen inwoners groeit met $3{,}5\%$ per jaar. Hoelang duurt het ongeveer tot het $16$ miljoen inwoners heeft? En $32$ miljoen?

Pas de regel van 70 toe: $d \approx \frac{70}{3{,}5} = 20$ jaar = Verdubbelingstijd ongeveer 20 jaar

Eén verdubbeling: $8$ miljoen $\to 16$ miljoen na ongeveer $20$ jaar = Ongeveer 20 jaar

Twee verdubbelingen: $16$ miljoen $\to 32$ miljoen na ongeveer $20 + 20 = 40$ jaar = Ongeveer 40 jaar

Controleer met het exacte model: $1{,}035^{20} \approx 1{,}99$, heel dicht bij $2$ = De schatting is goed

Answer: De bevolking bereikt ongeveer **16 miljoen na 20 jaar** en ongeveer **32 miljoen na 40 jaar**. De regel van 70 is een schatting, en hier is de exacte verdubbelingstijd ongeveer 20,15 jaar, dus de schatting zit er minder dan een kwart jaar naast.

Een model opstellen uit twee tellingen

Een populatie herten werd in 2020 geteld op $1200$ en in 2021 op $1320$. Voorspel de populatie in 2025, als het jaarlijkse groeipercentage gelijk blijft.

Bepaal de groeifactor: $1 + r = \frac{P_1}{P_0} = \frac{1320}{1200} = 1{,}1$ = Groeifactor $1{,}1$

Bepaal het groeipercentage: $r = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 = 10\%$ per jaar = $r = 10\%$

Stel het model op (2020 is $t = 0$): $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ = Model klaar

Voorspel 2025 ($t = 5$): $P(5) = 1200 \cdot 1{,}1^5 = 1200 \cdot 1{,}61051 \approx 1933$ = Ongeveer $1933$ herten

Answer: Het model $P(t) = 1200 \cdot 1{,}1^t$ voorspelt ongeveer **1933 herten** in 2025.

Lineaire en exponentiële prognose vergeleken

Een dorp had $20000$ inwoners in 2020 en $22000$ in 2022. Maak een prognose voor 2030 met een lineair en met een exponentieel model.

Lineair model: elk jaar dezelfde toename: $\frac{22000 - 20000}{2} = 1000$ inwoners per jaar = $L(t) = 20000 + 1000t$

Lineaire prognose voor 2030 ($t = 10$): $L(10) = 20000 + 1000 \cdot 10 = 30000$ = $30000$

Exponentieel model: factor per 2 jaar: $\frac{22000}{20000} = 1{,}1$ elke 2 jaar, dus $P(t) = 20000 \cdot 1{,}1^{t/2}$ = $\times 1{,}1$ elke 2 jaar

Exponentiële prognose voor 2030: $P(10) = 20000 \cdot 1{,}1^5 = 20000 \cdot 1{,}61051 \approx 32210$ = $32210$

Vergelijk: $32210 - 30000 = 2210$ = Exponentieel ligt $2210$ hoger

Answer: Lineaire prognose: **30000**. Exponentiële prognose: ongeveer **32210**. Beide modellen passen bij de twee tellingen, maar na slechts 10 jaar verschillen ze al ongeveer 2210 mensen.

Mistake: Het percentage zelf gebruiken in de groeifactor: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Why: Een groei van $2\%$ is als decimaal getal $0{,}02$. Met $1 + 2 = 3$ zou de stad elk jaar verdrievoudigen.

Correct: Reken eerst het percentage om: $2\% = 0{,}02$, dus de groeifactor is $1{,}02$ en $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$.

Mistake: Vergeten te delen door de verdubbelingstijd: $300 \cdot 2^{180}$

Why: De exponent moet verdubbelingen tellen, geen minuten. In 180 minuten zijn er maar $\frac{180}{30} = 6$ verdubbelingen.

Correct: Gebruik $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$: $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$.

Mistake: Het decimale percentage gebruiken in de regel van 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ jaar

Why: De regel van 70 is bedoeld voor het percentage als getal. Met het decimale getal wordt de uitkomst 100 keer te groot.

Correct: Deel 70 door het percentagegetal: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ jaar, en onthoud dat het een schatting is.

Mistake: Bij het groeipercentage delen door de latere telling: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Why: Het groeipercentage wordt gemeten ten opzichte van de beginpopulatie, niet van de eindpopulatie.

Correct: Deel de nieuwe telling door de oude: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$, dus $r = 10\%$.

Stadsplanning

Stadsplanners voorspellen hoeveel inwoners een stad krijgt, zodat er op tijd genoeg scholen, woningen en openbaar vervoer worden gebouwd.

Een stad met $250000$ inwoners die $1\%$ per jaar groeit, heeft na 10 jaar ongeveer $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ inwoners.

Bacteriën in het lab

Microbiologen gebruiken verdubbelingstijden om te voorspellen wanneer een kweek groot genoeg is om te onderzoeken, of hoe snel een infectie zich kan verspreiden vóór de behandeling.

Sommige bacteriën verdubbelen onder ideale omstandigheden ongeveer elke 20 minuten, dat zijn 3 verdubbelingen, ofwel een factor $2^3 = 8$, per uur.

Herstel van wilde dieren

Natuurbeschermers tellen dieren elk jaar, stellen uit de tellingen een groeimodel op en controleren of een beschermde soort herstelt. Ze weten ook dat een natuurgebied maar een beperkt aantal dieren kan voeden, de draagkracht, dus de groei zal later afremmen.

Als een kudde in een jaar groeit van $500$ naar $540$ dieren, is de groeifactor $\frac{540}{500} = 1{,}08$, dus de kudde groeit $8\%$ per jaar zolang er genoeg voedsel is.

Q: Waarom werkt de regel van 70?

A: De exacte verdubbelingstijd is $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, en voor kleine percentages ligt $\ln(1 + r)$ heel dicht bij $r$. Omdat $\ln 2 \approx 0{,}693$, is de verdubbelingstijd ongeveer $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{percentage}}$, afgerond 70. Logaritmen leer je in een latere les; gebruik de regel voorlopig als snelle schatting.

Q: Hoe nauwkeurig is de regel van 70?

A: Voor percentages tot ongeveer $10\%$ zit hij er meestal minder dan een jaar naast. Bij $2\%$ geeft hij $35$ jaar en de exacte waarde is ongeveer $35{,}0$ jaar. Bij $7\%$ geeft hij $10$ jaar en de exacte waarde is ongeveer $10{,}2$ jaar. Bij grote percentages wordt de fout groter.

Q: Wat is draagkracht?

A: De draagkracht is de grootste populatie die een omgeving met haar voedsel, water en ruimte kan onderhouden. Als een populatie die grens nadert, remt de groei af en vlakt de grafiek af tot een S-vorm. Dat heet logistische groei; in deze les beschrijven we het alleen, zonder formule.

Q: Moet ik een lineair of een exponentieel model gebruiken?

A: Kijk naar de data. Groeit de populatie elk jaar met ongeveer hetzelfde **aantal**, gebruik dan een lineair model. Groeit ze elk jaar met ongeveer hetzelfde **percentage** (de verhoudingen $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ zijn ongeveer gelijk), gebruik dan een exponentieel model.