Hoe nauwkeurig is de regel van 70?

Voor percentages tot ongeveer $10\%$ zit hij er meestal minder dan een jaar naast. Bij $2\%$ geeft hij $35$ jaar en de exacte waarde is ongeveer $35{,}0$ jaar. Bij $7\%$ geeft hij $10$ jaar en de exacte waarde is ongeveer $10{,}2$ jaar. Bij grote percentages wordt de fout groter.

De draagkracht is de grootste populatie die een omgeving met haar voedsel, water en ruimte kan onderhouden. Als een populatie die grens nadert, remt de groei af en vlakt de grafiek af tot een S-vorm. Dat heet logistische groei; in deze les beschrijven we het alleen, zonder formule.

Moet ik een lineair of een exponentieel model gebruiken?

Kijk naar de data. Groeit de populatie elk jaar met ongeveer hetzelfde **aantal**, gebruik dan een lineair model. Groeit ze elk jaar met ongeveer hetzelfde **percentage** (de verhoudingen $\frac{P_1}{P_0}$, $\frac{P_2}{P_1}$ zijn ongeveer gelijk), gebruik dan een exponentieel model.

Leermiddelen

Modellen voor bevolkingsgroei

Q: Waarom werkt de regel van 70?

De exacte verdubbelingstijd is $d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$, en voor kleine percentages ligt $\ln(1 + r)$ heel dicht bij $r$. Omdat $\ln 2 \approx 0{,}693$, is de verdubbelingstijd ongeveer $\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{percentage}}$, afgerond 70. Logaritmen leer je in een latere les; gebruik de regel voorlopig als snelle schatting.

Modelleer groeiende populaties van bacteriën, steden en dieren met exponentiële functies, verdubbelingstijd en de regel van 70.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een populatiemodel is een functie die voorspelt hoeveel individuen (mensen, bacteriën, dieren) er na een tijd

t

zijn. Als een populatie elk jaar met hetzelfde percentage groeit, volgt ze een exponentieel model:

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = beginpopulatie (bij $t = 0$ )
$r$ = jaarlijks groeipercentage als decimaal getal (3% betekent $r = 0{,}03$ )
$1 + r$ = groeifactor
$t$ = tijd in jaren

Als we de verdubbelingstijd

d

kennen (de tijd die de populatie nodig heeft om te verdubbelen), kunnen we hetzelfde soort model zo schrijven:

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

De exponent

\frac{t}{d}

telt hoeveel verdubbelingen er zijn geweest. Een snelle schatting verbindt de twee vormen, de regel van 70:

d \approx \frac{70}{\text{groeipercentage}}

Het is maar een benadering, maar voor kleine percentages is hij erg goed.

Het staafdiagram toont een populatie van

10000

die

10\%

per jaar groeit:

10000

11000

12100

13310

14641

. Elke staaf is

1{,}1

keer de vorige, dus de sprongen worden elk jaar groter.

Probeer het meteen

Een dorp met

2000

inwoners groeit met

4\%

per jaar. Welke functie beschrijft het aantal inwoners na

t

jaar?

Uitgewerkte voorbeelden

Een stad heeft $50000$ inwoners en groeit met $2\%$ per jaar. Schat het aantal inwoners na 5 jaar.

Bepaal $P_0$ , $r$ en $t$

$P_0 = 50000$ , $r = 0{,}02$ , $t = 5$ → Waarden bepaald

Bepaal de groeifactor

$1 + r = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ → Groeifactor $1{,}02$

Stel het model op

$P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ → Model klaar

Vul $t = 5$ in

$P(5) = 50000 \cdot 1{,}02^5 \approx 50000 \cdot 1{,}10408 \approx 55204$ → $P(5) \approx 55204$

Antwoord: Na 5 jaar heeft de stad ongeveer 55204 inwoners.

Veelgemaakte fouten

Het percentage zelf gebruiken in de groeifactor: $50000 \cdot (1 + 2)^t$

Waarom het fout is: Een groei van $2\%$ is als decimaal getal $0{,}02$ . Met $1 + 2 = 3$ zou de stad elk jaar verdrievoudigen.

Correct: Reken eerst het percentage om: $2\% = 0{,}02$ , dus de groeifactor is $1{,}02$ en $P(t) = 50000 \cdot 1{,}02^t$ .

Vergeten te delen door de verdubbelingstijd: $300 \cdot 2^{180}$

Waarom het fout is: De exponent moet verdubbelingen tellen, geen minuten. In 180 minuten zijn er maar $\frac{180}{30} = 6$ verdubbelingen.

Correct: Gebruik $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ : $300 \cdot 2^{180/30} = 300 \cdot 2^6 = 19200$ .

Het decimale percentage gebruiken in de regel van 70: $\frac{70}{0{,}035} = 2000$ jaar

Waarom het fout is: De regel van 70 is bedoeld voor het percentage als getal. Met het decimale getal wordt de uitkomst 100 keer te groot.

Correct: Deel 70 door het percentagegetal: $\frac{70}{3{,}5} = 20$ jaar, en onthoud dat het een schatting is.

Bij het groeipercentage delen door de latere telling: $\frac{120}{1320} \approx 9{,}1\%$

Waarom het fout is: Het groeipercentage wordt gemeten ten opzichte van de beginpopulatie, niet van de eindpopulatie.

Correct: Deel de nieuwe telling door de oude: $\frac{1320}{1200} = 1{,}1$ , dus $r = 10\%$ .

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Eerste term (a₁ = 300)

Reden (r = 2)

300,

600,

1200,

2400,

4800,

9600,

19.200

, ...

Formule

a_n = 300 × 2^(n-1)

a_1

300

a_5

4800

a_10

153.600

a_20

157.286.400

Staafdiagram

t = 0(10.000)

t = 1(11.000)

t = 2(12.100)

t = 3(13.310)

t = 4(14.641)

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een dorp met $2000$ inwoners groeit met $4\%$ per jaar. Welke functie beschrijft het aantal inwoners na $t$ jaar?

Waarom het belangrijk is

Populatiemodellen helpen om vooruit te plannen:

Steden gebruiken groeiprognoses om te bepalen hoeveel scholen, woningen en bussen ze over 10 of 20 jaar nodig hebben
Biologen en artsen voorspellen hoe snel bacteriën zich vermenigvuldigen in een monster of bij een infectie
Natuurbeheerders volgen bedreigde soorten en invasieve dieren om te zien of een populatie herstelt of explodeert
Overheden vergelijken lineaire en exponentiële prognoses om water, energie en voedsel te plannen

Het verschil kennen tussen een rechte lijn en een kromme die steeds verdubbelt, kan een plan volledig veranderen: een exponentiële prognose kan al na een paar decennia duizenden mensen hoger uitkomen. Echte populaties kunnen niet eeuwig exponentieel groeien, dus een goede voorspeller weet ook wanneer het model niet meer werkt.

Toepassingen in de echte wereld

Stadsplanning

Stadsplanners voorspellen hoeveel inwoners een stad krijgt, zodat er op tijd genoeg scholen, woningen en openbaar vervoer worden gebouwd.

Voorbeeld:

Een stad met $250000$ inwoners die $1\%$ per jaar groeit, heeft na 10 jaar ongeveer $250000 \cdot 1{,}01^{10} \approx 276156$ inwoners.

1Probeer het zelf

Een snelgroeiende stad heeft $80000$ inwoners en groeit met $5\%$ per jaar.

Hoeveel inwoners heeft de stad na 3 jaar?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $80000 \cdot 1{,}05^3$ :

Bacteriën in het lab

Microbiologen gebruiken verdubbelingstijden om te voorspellen wanneer een kweek groot genoeg is om te onderzoeken, of hoe snel een infectie zich kan verspreiden vóór de behandeling.

Voorbeeld:

Sommige bacteriën verdubbelen onder ideale omstandigheden ongeveer elke 20 minuten, dat zijn 3 verdubbelingen, ofwel een factor $2^3 = 8$ , per uur.

2Probeer het zelf

Een kweek begint met $1000$ bacteriën die elke $20$ minuten verdubbelen.

Hoeveel bacteriën zijn er na 1 uur en 40 minuten?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $1000 \cdot 2^{100/20}$ :

Herstel van wilde dieren

Natuurbeschermers tellen dieren elk jaar, stellen uit de tellingen een groeimodel op en controleren of een beschermde soort herstelt. Ze weten ook dat een natuurgebied maar een beperkt aantal dieren kan voeden, de draagkracht, dus de groei zal later afremmen.

Voorbeeld:

Als een kudde in een jaar groeit van $500$ naar $540$ dieren, is de groeifactor $\frac{540}{500} = 1{,}08$ , dus de kudde groeit $8\%$ per jaar zolang er genoeg voedsel is.

3Probeer het zelf

Een wolvenroedel in een natuurgebied groeide in een jaar van $64$ naar $80$ wolven.

Als hetzelfde jaarlijkse percentage aanhoudt, hoeveel wolven zijn er dan 2 jaar na de telling van 80?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $80 \cdot (80/64)^2$ :

Belangrijke punten

1Een populatie die elk jaar met hetzelfde percentage groeit, volgt $P(t) = P_0 (1 + r)^t$ , met $r$ als decimaal getal
2Met een verdubbelingstijd $d$ is het model $P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}$ , waarbij $\frac{t}{d}$ de verdubbelingen telt
3De regel van 70 schat de verdubbelingstijd: $d \approx \frac{70}{\text{groeipercentage}}$ ; het is een benadering, geen exacte formule
4Uit twee jaarlijkse tellingen is de groeifactor $\frac{P_1}{P_0}$ en het groeipercentage $r = \frac{P_1}{P_0} - 1$
5Lineaire prognoses tellen elk jaar hetzelfde getal op; exponentiële prognoses vermenigvuldigen en lopen daardoor na verloop van tijd uit
6Echte populaties groeien langzamer als ze de draagkracht van hun omgeving naderen, dus exponentiële modellen werken het best voor vroege groei

Veelgestelde vragen

De exacte verdubbelingstijd is

d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}

, en voor kleine percentages ligt

\ln(1 + r)

heel dicht bij

r

. Omdat

\ln 2 \approx 0{,}693

, is de verdubbelingstijd ongeveer

\frac{0{,}693}{r} = \frac{69{,}3}{\text{percentage}}

, afgerond 70. Logaritmen leer je in een latere les; gebruik de regel voorlopig als snelle schatting.

Woordenlijst

Populatiemodel: Een functie $P(t)$ die de grootte van een populatie na tijd $t$ voorspelt
Beginpopulatie: De populatie $P_0$ aan het begin, als $t = 0$
Groeipercentage: Het percentage waarmee de populatie per periode groeit, in de formule geschreven als decimaal getal $r$
Verdubbelingstijd: De tijd $d$ die een populatie nodig heeft om te verdubbelen
Regel van 70: De schatting $d \approx \frac{70}{\text{groeipercentage}}$ voor de verdubbelingstijd
Draagkracht: De grootste populatie die een omgeving langdurig kan onderhouden

Formulekaart

Populatiemodel met jaarlijks percentage

P(t) = P_0 (1 + r)^t

$P_0$ = beginpopulatie, $r$ = jaarlijks groeipercentage als decimaal getal, $t$ = jaren.

Model met verdubbelingstijd

P(t) = P_0 \cdot 2^{t/d}

$d$ = verdubbelingstijd, in dezelfde eenheid als $t$. De exponent $\frac{t}{d}$ is het aantal verdubbelingen.

Regel van 70 (schatting)

d \approx \frac{70}{\text{groeipercentage}}

Geschatte verdubbelingstijd. Gebruik het percentage als getal, bijvoorbeeld $\frac{70}{2} = 35$ jaar bij $2\%$.

Groeifactor uit twee tellingen

1 + r = \frac{P_1}{P_0}

$P_0$ en $P_1$ zijn tellingen met één periode ertussen.

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Rij-verkenner

Formule

Staafdiagram

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Stadsplanning

Bacteriën in het lab

Herstel van wilde dieren

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Populatiemodel met jaarlijks percentage

Model met verdubbelingstijd

Regel van 70 (schatting)

Groeifactor uit twee tellingen

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot exponentiële functies

Exponentiële groei

Grafieken van exponentiële functies

Exponentiële afname