Een gat en een punt bij dezelfde x

De grafiek van $f$ is de lijn $y = x + 1$ met een open rondje in $(2, 3)$ en een dicht punt in $(2, 5)$ (de eerste grafiek in deze les). Bepaal $\lim_{x \to 2} f(x)$ en $f(2)$.

Volg de kromme vanaf links: Voor $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ stijgt de lijn naar het open rondje = De hoogte nadert $3$

Volg de kromme vanaf rechts: Voor $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ daalt de lijn naar hetzelfde open rondje = De hoogte nadert $3$

Vergelijk beide kanten: Beide kanten gaan naar dezelfde hoogte = $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Zoek het dichte punt bij $x = 2$: Het dichte punt ligt in $(2, 5)$, naast de lijn = $f(2) = 5$

Answer: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ maar $f(2) = 5$. De limiet volgt de kromme, de functiewaarde is het dichte punt.

Een gat zonder punt

In de tweede grafiek van deze les volgt $g$ de kromme $y = (x - 1)^2$ tot $x = 2$ en $y = 3 - x$ na $x = 2$, met een open rondje in $(2, 1)$ en geen dicht punt bij $x = 2$. Bepaal $\lim_{x \to 2} g(x)$ en $g(2)$.

Linkerkant: De parabool nadert de hoogte $(2 - 1)^2 = 1$ = Nadert $1$

Rechterkant: De lijn nadert de hoogte $3 - 2 = 1$ = Nadert $1$

Vergelijk: Beide kanten gaan naar $1$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$

Zoek een dicht punt bij $x = 2$: Er is alleen het open rondje, geen dicht punt = $g(2)$ is niet gedefinieerd

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 1$, ook al is $g(2)$ niet gedefinieerd. Een ontbrekend punt houdt niet tegen dat de limiet bestaat.

Een sprong: de limiet bestaat niet

In dezelfde grafiek volgt $g$ de lijn $y = x + 3$ tot een dicht punt in $(-1, 2)$, en direct rechts van $x = -1$ gaat hij verder als $y = (x - 1)^2$, beginnend bij een open rondje in $(-1, 4)$. Bepaal $\lim_{x \to -1} g(x)$ en $g(-1)$.

Linkerkant: De lijn $y = x + 3$ nadert de hoogte $-1 + 3 = 2$ = Nadert $2$

Rechterkant: De parabool nadert de hoogte $(-1 - 1)^2 = 4$ = Nadert $4$

Vergelijk: $2 \neq 4$: de twee kanten komen niet overeen = $\lim_{x \to -1} g(x)$ bestaat niet

Lees het dichte punt af: Het dichte punt ligt in $(-1, 2)$ = $g(-1) = 2$

Answer: $\lim_{x \to -1} g(x)$ bestaat niet (de kanten naderen $2$ en $4$), en toch is $g(-1) = 2$. Een functie kan een waarde hebben waar ze geen limiet heeft.

Een parabool met een verplaatst punt

De grafiek van $h$ is de parabool $y = 4 - x^2$, behalve dat er bij $x = 1$ een open rondje in $(1, 3)$ en een dicht punt in $(1, 0)$ staat. Bepaal $\lim_{x \to 1} h(x)$, $h(1)$ en $\lim_{x \to 0} h(x)$.

Hoogte van het gat: Beide kanten van de parabool naderen $4 - 1^2 = 3$ = $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$

Waarde bij $x = 1$: Het dichte punt ligt in $(1, 0)$ = $h(1) = 0$

Limiet bij $x = 0$: Bij $x = 0$ gebeurt niets bijzonders: de kromme loopt zonder onderbreking door $(0, 4)$ = $\lim_{x \to 0} h(x) = 4$

Vergelijk met $h(0)$: Het punt $(0, 4)$ ligt op de kromme = $h(0) = 4$, gelijk aan de limiet

Answer: $\lim_{x \to 1} h(x) = 3$, $h(1) = 0$ en $\lim_{x \to 0} h(x) = h(0) = 4$. Waar de grafiek geen onderbreking heeft, is de limiet gelijk aan de waarde.

Drie limieten in één grafiek

De grafiek van $p$: voor $x < 1$ is het de horizontale lijn $y = 2$, die eindigt in een open rondje in $(1, 2)$; er staat een dicht punt in $(1, 4)$; voor $1 < x \le 3$ is het de lijn $y = x + 1$, die begint bij een open rondje in $(1, 2)$ en eindigt in een dicht punt in $(3, 4)$; voor $x > 3$ is het de lijn $y = 1$, beginnend bij een open rondje in $(3, 1)$. Bepaal $\lim_{x \to 1} p(x)$, $\lim_{x \to 2} p(x)$ en $\lim_{x \to 3} p(x)$.

Bij $x = 1$, beide kanten: Links: $y = 2$. Rechts: $y = x + 1 \to 1 + 1 = 2$. Zelfde hoogte = $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$

Vergelijk met $p(1)$: Het dichte punt ligt in $(1, 4)$ = $p(1) = 4 \neq 2$

Bij $x = 2$: De lijn $y = x + 1$ loopt zonder onderbreking door $(2, 3)$ = $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$

Bij $x = 3$, beide kanten: Links: $y = x + 1 \to 4$. Rechts: $y = 1$. Verschillende hoogtes = $\lim_{x \to 3} p(x)$ bestaat niet

Answer: $\lim_{x \to 1} p(x) = 2$ (hoewel $p(1) = 4$), $\lim_{x \to 2} p(x) = 3$, en $\lim_{x \to 3} p(x)$ bestaat niet (de kanten naderen $4$ en $1$).

Mistake: Het dichte punt als limiet aflezen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antwoorden omdat er een punt in $(2, 5)$ staat

Why: De limiet beschrijft waar de kromme in de buurt van $x = 2$ naartoe gaat. Eén los punt naast de kromme verandert niet waar de kromme naartoe gaat.

Correct: Volg de kromme van beide kanten: hij gaat naar het open rondje op hoogte $3$, dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$, terwijl $f(2) = 5$.

Mistake: Zeggen dat de limiet niet bestaat omdat er een gat is

Why: Een gat betekent alleen dat $f(a)$ ontbreekt. De limiet kijkt nooit naar $x = a$ zelf, alleen naar de waarden eromheen.

Correct: Als beide kanten de hoogte van het gat naderen, bestaat de limiet en is hij gelijk aan die hoogte, ook als $f(a)$ niet gedefinieerd is.

Mistake: Bij een sprong de hoogte van het dichte punt (of van één kant) als limiet geven

Why: Voor een tweezijdige limiet moeten beide kanten overeenkomen. Bij een sprong naderen de linker- en rechterkant verschillende hoogtes.

Correct: Controleer beide kanten. Naderen ze verschillende hoogtes, schrijf dan dat de limiet niet bestaat, wat het dichte punt ook laat zien.

Mistake: Antwoorden met de $x$-waarde: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schrijven

Why: De $2$ onder het limietteken is waar $x$ naartoe gaat. De limiet zelf is een hoogte, een $y$-waarde.

Correct: Lees het antwoord af op de $y$-as: de hoogte die de kromme nadert als $x$ dicht bij $2$ komt.

Verzendkosten met een gewichtsgrens

Pakketdiensten rekenen per gewichtsklasse, dus de grafiek van de prijs tegen het gewicht is een trap met sprongen bij de klassengrenzen.

Een pakketdienst vraagt 5 € tot 2 kg en 8 € boven 2 kg. Net onder 2 kg ligt de grafiek op 5, net erboven op 8, dus de limiet van de prijs als het gewicht naar 2 kg gaat, bestaat niet.

Een fout in sensordata

Weerstations en sporthorloges zetten metingen uit tegen de tijd. Als een meting verloren gaat of fout is, krijgt de grafiek een gat of een los punt, en de limiet laat het echte verloop zien.

Een hartslaggrafiek die van beide kanten van een moment 120 slagen per minuut nadert, met één foute meting van 0 op dat moment, heeft daar toch de limiet 120.

Gaten op de grafische rekenmachine

Grafieksoftware tekent $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als iets wat op een rechte lijn lijkt, maar met trace geeft $x = 3$ een foutmelding. De grafiek heeft daar een gat, en de hoogte van dat gat is de limiet.

Voor $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ lijkt de grafiek op $y = x + 2$ met een gat in $(2, 4)$, dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ terwijl $f(2)$ niet gedefinieerd is.

Q: Kan de limiet bestaan als $f(a)$ niet gedefinieerd is?

A: Ja. Heeft de grafiek een gat bij $x = a$ en naderen beide kanten de hoogte van het gat, dan is de limiet gelijk aan die hoogte. Zo is $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ niet gedefinieerd bij $x = 2$, maar is de limiet daar $4$.

Q: Als er een dicht punt bij $x = a$ staat, bestaat de limiet dan?

A: Nee, niet per se. Het punt geeft alleen $f(a)$. Bij een sprong heeft de grafiek een dicht punt, maar de twee kanten naderen verschillende hoogtes, dus de limiet bestaat niet.

Q: Wat schrijf ik op als een limiet niet bestaat?

A: Schrijf: $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat niet, en geef de reden, bijvoorbeeld: de linkerkant nadert $2$ en de rechterkant nadert $4$.

Q: Hoe nauwkeurig is het aflezen van een limiet uit een grafiek?

A: Alleen zo nauwkeurig als de grafiek. Gebruik de roosterlijnen en de gelabelde punten, en als de hoogte niet duidelijk op een roosterlijn valt, controleer hem dan met een tabel of algebraïsch (de volgende lessen).