Als er een dicht punt bij $x = a$ staat, bestaat de limiet dan?

Nee, niet per se. Het punt geeft alleen $f(a)$. Bij een sprong heeft de grafiek een dicht punt, maar de twee kanten naderen verschillende hoogtes, dus de limiet bestaat niet.

Wat schrijf ik op als een limiet niet bestaat?

Schrijf: $\lim_{x \to a} f(x)$ bestaat niet, en geef de reden, bijvoorbeeld: de linkerkant nadert $2$ en de rechterkant nadert $4$.

Hoe nauwkeurig is het aflezen van een limiet uit een grafiek?

Alleen zo nauwkeurig als de grafiek. Gebruik de roosterlijnen en de gelabelde punten, en als de hoogte niet duidelijk op een roosterlijn valt, controleer hem dan met een tabel of algebraïsch (de volgende lessen).

Leermiddelen

Limieten aflezen uit een grafiek

Q: Kan de limiet bestaan als $f(a)$ niet gedefinieerd is?

Ja. Heeft de grafiek een gat bij $x = a$ en naderen beide kanten de hoogte van het gat, dan is de limiet gelijk aan die hoogte. Zo is $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ niet gedefinieerd bij $x = 2$, maar is de limiet daar $4$.

Lees limieten direct af uit een grafiek, onderscheid de limiet van de functiewaarde en herken wanneer een limiet niet bestaat.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Om een limiet uit een grafiek af te lezen, lees je

\lim_{x \to a} f(x)

direct af uit de grafiek van

f

. Zet aan elke kant van

x = a

een vinger op de kromme, schuif naar

x = a

en kijk naar welke hoogte (

y

-waarde) de kromme gaat.

Gaan beide kanten naar dezelfde hoogte $L$ , dan is $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .
Gaan de twee kanten naar verschillende hoogtes, dan bestaat de limiet niet.

Limiet en functiewaarde. Dat zijn twee verschillende vragen:

$\lim_{x \to a} f(x)$ vraagt waar de kromme in de buurt van $x = a$ naartoe gaat.
$f(a)$ vraagt waar het dichte punt bij $x = a$ echt ligt.

Een open rondje (een gat) markeert een punt dat in de grafiek ontbreekt. Een dicht punt markeert de echte functiewaarde. De limiet negeert wat er precies bij

x = a

gebeurt, dus een gat, of een punt dat ergens anders ligt, verandert de limiet niet.

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{als beide kanten van de grafiek naar de hoogte } L \text{ gaan}

Uitgewerkte voorbeelden

De grafiek van $f$ is de lijn $y = x + 1$ met een open rondje in $(2, 3)$ en een dicht punt in $(2, 5)$ (de eerste grafiek in deze les). Bepaal $\lim_{x \to 2} f(x)$ en $f(2)$ .

Volg de kromme vanaf links

Voor $x = 1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999$ stijgt de lijn naar het open rondje → De hoogte nadert $3$

Volg de kromme vanaf rechts

Voor $x = 2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001$ daalt de lijn naar hetzelfde open rondje → De hoogte nadert $3$

Vergelijk beide kanten

Beide kanten gaan naar dezelfde hoogte → $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$

Zoek het dichte punt bij $x = 2$

Het dichte punt ligt in $(2, 5)$ , naast de lijn → $f(2) = 5$

Antwoord: $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ maar $f(2) = 5$ . De limiet volgt de kromme, de functiewaarde is het dichte punt.

Veelgemaakte fouten

Het dichte punt als limiet aflezen: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$ antwoorden omdat er een punt in $(2, 5)$ staat

Waarom het fout is: De limiet beschrijft waar de kromme in de buurt van $x = 2$ naartoe gaat. Eén los punt naast de kromme verandert niet waar de kromme naartoe gaat.

Correct: Volg de kromme van beide kanten: hij gaat naar het open rondje op hoogte $3$ , dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , terwijl $f(2) = 5$ .

Zeggen dat de limiet niet bestaat omdat er een gat is

Waarom het fout is: Een gat betekent alleen dat $f(a)$ ontbreekt. De limiet kijkt nooit naar $x = a$ zelf, alleen naar de waarden eromheen.

Correct: Als beide kanten de hoogte van het gat naderen, bestaat de limiet en is hij gelijk aan die hoogte, ook als $f(a)$ niet gedefinieerd is.

Bij een sprong de hoogte van het dichte punt (of van één kant) als limiet geven

Waarom het fout is: Voor een tweezijdige limiet moeten beide kanten overeenkomen. Bij een sprong naderen de linker- en rechterkant verschillende hoogtes.

Correct: Controleer beide kanten. Naderen ze verschillende hoogtes, schrijf dan dat de limiet niet bestaat, wat het dichte punt ook laat zien.

Antwoorden met de $x$ -waarde: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2$ schrijven

Waarom het fout is: De $2$ onder het limietteken is waar $x$ naartoe gaat. De limiet zelf is een hoogte, een $y$ -waarde.

Correct: Lees het antwoord af op de $y$ -as: de hoogte die de kromme nadert als $x$ dicht bij $2$ komt.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Bij x = 2: van links en van rechts f(x) → 3, dus de limiet is 3. f(2) = 5.

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Bij x = -1: van links g(x) → 2, van rechts g(x) → 4. De waarden verschillen, dus de limiet bestaat niet (sprong). g(-1) = 2.
Bij x = 2: van links en van rechts g(x) → 1, dus de limiet is 1. g(2) is niet gedefinieerd (een gat).

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = (x^2 - 4)/(x - 2)

m=1, b=2

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

De grafiek van $f$ is een rechte lijn die door een open rondje in $(3, 4)$ loopt. Er is ook een dicht punt in $(3, 1)$ . Wat is $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Oefenproblemen: Limieten aflezen uit een grafiek

1. De grafiek van f is een rechte lijn die door een open rondje in (3, 4) loopt. Er is ook een dicht punt in (3, 1). Wat is \lim_{x \to 3} f(x)?
2. De grafiek van g is de parabool y = x^2 met een open rondje in (2, 4) en een dicht punt in (2, 0). Wat is \lim_{x \to 2} g(x)?
3. De grafiek van f is de lijn y = x + 2 met een open rondje in (1, 3) en een dicht punt in (1, 6). Bepaal \lim_{x \to 1} f(x) en vergelijk die met f(1).
4. De grafiek van f is een rechte lijn door een open rondje in (3, 4), met daarnaast een dicht punt in (3, 1). Wat is f(3)?
5. De grafiek van g is de parabool y = x² met een open rondje in (2, 4) en een dicht punt in (2, 0). Wat is g(2)?
6. De grafiek van f is de lijn y = 4 - x, getekend zonder gaten of extra punten. Bepaal \lim_{x \to 1} f(x) en controleer of die gelijk is aan f(1).
7. Voor x < 2 volgt de grafiek van f de lijn y = x en eindigt in een open rondje in (2, 2). Voor x \ge 2 volgt hij y = 5 - x, beginnend bij een dicht punt in (2, 3). Wat is \lim_{x \to 2} f(x)?
8. De grafiek van h is de lijn door (0, -1) en (4, 7), met een open rondje bij x = 2 en daar geen dicht punt. Wat is \lim_{x \to 2} h(x)?
9. Voor x < 2 is de grafiek van f de lijn y = x, die eindigt in een open rondje in (2, 2). Voor x \ge 2 is het de lijn y = x + 3, beginnend bij een dicht punt in (2, 5). Bestaat \lim_{x \to 2} f(x), en wat is f(2)?
10. Welke uitspraak over \lim_{x \to a} f(x) is altijd waar?
11. In de buurt van x = -2 nadert de grafiek van f van beide kanten een open rondje in (-2, 3), en er staat een dicht punt in (-2, -1). Bereken \lim_{x \to -2} f(x) + f(-2).
12. De grafiek van g: voor x ≤ -1 is het y = x + 3, eindigend in een dicht punt in (-1, 2); voor -1 < x < 2 is het y = (x - 1)², beginnend bij een open rondje in (-1, 4); voor x > 2 is het y = 3 - x. Bij x = 2 staat een open rondje in (2, 1) en geen dicht punt. Lees de limieten af uit de grafiek.
13. De grafiek van f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} lijkt op de lijn y = x - 1 met een gat. Gebruik de grafiek om \lim_{x \to -1} f(x) te bepalen.
14. De grafiek van f heeft drie bijzondere plekken. Bij x = 1 eindigt het linkerdeel op hoogte 2 en begint het rechterdeel op hoogte -1. Bij x = 3 nadert de kromme van beide kanten een open rondje in (3, 4), zonder dicht punt. Bij x = 5 nadert de kromme van beide kanten (5, 0), maar het dichte punt ligt in (5, 3). Voor welke a bestaat \lim_{x \to a} f(x) niet?
15. De grafiek van f volgt y = 3x + k voor x < 2 en y = x^2 voor x > 2, met open rondjes aan beide uiteinden bij x = 2. Voor welke waarde van k bestaat \lim_{x \to 2} f(x)?
16. De grafiek van q: voor x < 2 is het y = x^2, eindigend in een open rondje in (2, 4); er staat een dicht punt in (2, 1); voor 2 < x < 5 is het y = 6 - x, tussen open rondjes in (2, 4) en (5, 1); voor x \ge 5 is het y = x - 2, beginnend bij een dicht punt in (5, 3). Bepaal \lim_{x \to 2} q(x) en q(2), en beslis of \lim_{x \to 5} q(x) bestaat.
17. Voor x < 3 is de grafiek van f de lijn y = ax, voor x > 3 is het y = 12 - x, en er staat een dicht punt in (3, 0). Bepaal de waarde van a waarvoor \lim_{x \to 3} f(x) bestaat.
18. De grafiek van f: voor x \le 0 is het y = -x, eindigend in een dicht punt in (0, 0); voor 0 < x < 4 is het y = x + 2, tussen open rondjes in (0, 2) en (4, 6); er staat een dicht punt in (4, 1); voor x > 4 is het y = 10 - x, beginnend bij een open rondje in (4, 6). Bereken \lim_{x \to 4} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) + f(0).

Waarom het belangrijk is

Een grafiek is vaak de snelste manier om te zien wat een functie in de buurt van een punt doet:

Differentiaalrekening begint hier: de afgeleide (helling van een raaklijn) is een limiet, en je ziet hem eerst als plaatje.
Echte data heeft gaten en fouten: de grafiek van een sensor kan een ontbrekende meting of een foute piek hebben. De limiet geeft het echte verloop rond dat moment.
Prijzen en tarieven maken sprongen: verzendkosten, taxitarieven en belastingschijven hebben grafieken met sprongen, waar de waarde net voor en net na een grens verschilt.
Continuïteit bouwt hierop voort: later noem je een functie continu in $a$ precies als de limiet bestaat en gelijk is aan $f(a)$ , en dat kun je op een grafiek met het oog controleren.

Limieten aflezen uit grafieken traint de belangrijkste gewoonte van de analyse: kijk wat er in de buurt van een punt gebeurt, niet alleen in dat punt.

Toepassingen in de echte wereld

Verzendkosten met een gewichtsgrens

Pakketdiensten rekenen per gewichtsklasse, dus de grafiek van de prijs tegen het gewicht is een trap met sprongen bij de klassengrenzen.

Voorbeeld:

Een pakketdienst vraagt 5 € tot 2 kg en 8 € boven 2 kg. Net onder 2 kg ligt de grafiek op 5, net erboven op 8, dus de limiet van de prijs als het gewicht naar 2 kg gaat, bestaat niet.

1Probeer het zelf

Een pakketdienst vraagt 5 € voor pakketten tot 2 kg (2 kg inbegrepen) en 8 € voor pakketten van net boven 2 kg tot 5 kg. De grafiek van de prijs $C(w)$ heeft een dicht punt in $(2, 5)$ en een open rondje in $(2, 8)$ .

Hoe groot is de sprong bij $w = 2$ (de hoogte die de rechterkant nadert min de hoogte die de linkerkant nadert)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogte rechts min hoogte links:

Een fout in sensordata

Weerstations en sporthorloges zetten metingen uit tegen de tijd. Als een meting verloren gaat of fout is, krijgt de grafiek een gat of een los punt, en de limiet laat het echte verloop zien.

Voorbeeld:

Een hartslaggrafiek die van beide kanten van een moment 120 slagen per minuut nadert, met één foute meting van 0 op dat moment, heeft daar toch de limiet 120.

2Probeer het zelf

Een weerstation zet de temperatuur $T(t)$ in °C uit, met $t$ in uren. Rond $t = 3$ nadert de kromme van beide kanten $18$ °C, maar door een fout is de losse waarde $T(3) = 0$ opgeslagen.

Wat is $\lim_{t \to 3} T(t)$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De hoogte die beide kanten naderen:

Gaten op de grafische rekenmachine

Grafieksoftware tekent $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ als iets wat op een rechte lijn lijkt, maar met trace geeft $x = 3$ een foutmelding. De grafiek heeft daar een gat, en de hoogte van dat gat is de limiet.

Voorbeeld:

Voor $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ lijkt de grafiek op $y = x + 2$ met een gat in $(2, 4)$ , dus $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ terwijl $f(2)$ niet gedefinieerd is.

3Probeer het zelf

Je tekent $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Met trace verschijnt ERROR bij $x = 3$ , en de grafiek lijkt op de lijn $y = x + 3$ met een gat.

Wat is $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De hoogte van het gat:

Belangrijke punten

1Om $\lim_{x \to a} f(x)$ uit een grafiek af te lezen, volg je de kromme van beide kanten naar $x = a$ en lees je de hoogte af die hij nadert
2De limiet is een $y$ -waarde (een hoogte), niet de $x$ -waarde $a$
3Een open rondje (gat) markeert een ontbrekend punt, een dicht punt markeert de echte waarde $f(a)$
4De limiet negeert het punt bij $x = a$ : een gat of een punt dat ergens anders ligt, verandert hem niet
5Naderen de twee kanten verschillende hoogtes (een sprong), dan bestaat de limiet niet, wat $f(a)$ ook is
6Waar de grafiek geen onderbreking heeft, is de limiet gewoon gelijk aan $f(a)$

Veelgestelde vragen

Ja. Heeft de grafiek een gat bij

x = a

en naderen beide kanten de hoogte van het gat, dan is de limiet gelijk aan die hoogte. Zo is

\frac{x^2 - 4}{x - 2}

niet gedefinieerd bij

x = 2

, maar is de limiet daar

4

Woordenlijst

Limiet: De hoogte $L$ die de grafiek van $f$ van beide kanten nadert als $x$ naar $a$ gaat, genoteerd als $\lim_{x \to a} f(x) = L$
Functiewaarde $f(a)$: De echte hoogte van de grafiek bij $x = a$ , aangegeven door een dicht punt of door de kromme die door $x = a$ loopt
Open rondje (gat): Een punt getekend als leeg rondje: de grafiek komt er willekeurig dichtbij, maar het hoort niet bij de grafiek
Dicht punt: Een gevuld punt dat bij de grafiek hoort en daar de functiewaarde geeft
Sprong: Een plek waar de grafiek afbreekt en op een andere hoogte verdergaat, zodat de twee kanten verschillende waarden naderen
Bestaat niet: Wat we van een limiet zeggen als de twee kanten van de grafiek niet dezelfde hoogte naderen

Formulekaart

Een limiet aflezen uit een grafiek

\lim_{x \to a} f(x) = L

Beide kanten van de grafiek naderen de hoogte $L$ als $x$ naar $a$ gaat

Wanneer de limiet niet bestaat

\text{hoogte links} \neq \text{hoogte rechts} \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ bestaat niet}

Als de twee kanten verschillende hoogtes naderen, bestaat $\lim_{x \to a} f(x)$ niet

Limiet en functiewaarde

\lim_{x \to a} f(x) \text{ en } f(a) \text{ kunnen verschillen}

De limiet volgt de kromme in de buurt van $a$, de waarde is het dichte punt bij $a$. Ze kunnen verschillen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Grafiek van de functie

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Verzendkosten met een gewichtsgrens

Een fout in sensordata

Gaten op de grafische rekenmachine

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Een limiet aflezen uit een grafiek

Wanneer de limiet niet bestaat

Limiet en functiewaarde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten bepalen met een tabel

Limieten door direct invullen