Limieten bepalen met een tabel

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Je wilt $\lim_{x \to 3} f(x)$ schatten met een tabel. Welke $x$ -waarden zijn de beste keuze?
1. a) $3; 3{,}1; 3{,}2; 3{,}3$
2. b) $1; 2; 4; 5$
3. c)alleen $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$
4. d) $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Antwoord: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Een goede tabel nadert $3$ van beide kanten en komt steeds dichterbij: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$ van links en $3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$ van rechts. Waarden zoals $1; 2; 4; 5$ liggen te ver weg, één kant alleen kan een sprong missen, en $x = 3$ zelf gebruik je niet.
2.
Een tabel geeft $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Schat $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
Antwoord: 10
Van links stijgen de waarden $9{,}9$ ; $9{,}99$ ; $9{,}999$ naar $10$ , van rechts dalen $10{,}1$ ; $10{,}01$ ; $10{,}001$ naar $10$ . Beide kanten zijn het eens, dus $\lim_{x \to 5} f(x) = 10$ .
3.
Links van $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . Rechts van $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . Wat is $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)bestaat niet
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
Antwoord: $7$
De linkerwaarden $6{,}8$ ; $6{,}98$ ; $6{,}998$ en de rechterwaarden $7{,}2$ ; $7{,}02$ ; $7{,}002$ naderen allebei $7$ . De waarden $6{,}998$ en $7{,}002$ zijn alleen schattingen; de limiet is $7$ .
4.
Bereken voor $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ de tabelwaarde $f(2{,}99)$ .
Antwoord: 5.99
$f(2{,}99) = \frac{8{,}9401 - 9}{2{,}99 - 3} = \frac{-0{,}0599}{-0{,}01} = 5{,}99$ . De tabelwaarden gaan naar $6$ als $x \to 3$ .
5.
Schat met een tabel $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Antwoord: 2
1. Bereken $f(0{,}9)$ . 1.9
2. Bereken $f(0{,}99)$ . 1.99
3. Bereken $f(1{,}01)$ . 2.01
4. Welk getal naderen beide kanten? 2
6.
Schat met een tabel $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Antwoord: 8
1. Bereken $f(3{,}9)$ . 7.9
2. Bereken $f(3{,}99)$ . 7.99
3. Bereken $f(4{,}01)$ . 8.01
4. Welk getal naderen beide kanten? 8
7.
Een tabel voor $g(x)$ dicht bij $x = 1$ toont $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . Wat kun je concluderen over $\lim_{x \to 1} g(x)$ ?
1. a)De limiet is $1{,}5$
2. b)De limiet bestaat niet
3. c)De limiet is $5$
4. d)De limiet is $-2$
Antwoord: De limiet bestaat niet
Van links blijft $g(x)$ op $-2$ , van rechts op $5$ . De eenzijdige limieten verschillen ( $-2 \neq 5$ ), dus de tweezijdige limiet bestaat niet. Het gemiddelde nemen ( $1{,}5$ ) mag niet.
8.
Een tabel voor $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ geeft $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Schat $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Antwoord: 1
Van links stijgen $0{,}99502$ ; $0{,}99950$ naar $1$ . Van rechts dalen $1{,}00502$ ; $1{,}00050$ naar $1$ . Dus $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Deze functie kun je niet ontbinden, en juist dan is een tabel handig.
9.
Schat met een tabel $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , met $x$ in radialen.
Antwoord: 1
1. Bereken $f(0{,}1)$ , afgerond op vier decimalen. 0.9983
2. Bereken $f(0{,}01)$ , afgerond op vier decimalen. 1.0000
3. Bereken $f(-0{,}1)$ , afgerond op vier decimalen. 0.9983
4. Welk getal naderen beide kanten? 1
10.
Schat met een tabel $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Antwoord: 12
1. Bereken $f(1{,}9)$ . 11.41
2. Bereken $f(1{,}99)$ . 11.9401
3. Bereken $f(2{,}01)$ . 12.0601
4. Welk getal naderen beide kanten? 12
11.
Voor $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ geeft een tabel $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Schat $\lim_{x \to 0} f(x)$ als decimaal getal, afgerond op drie decimalen.
Antwoord: 0.167
Beide kanten naderen ongeveer $0{,}1667$ , afgerond $0{,}167$ . De algebra bevestigt het: de exacte limiet is $\frac{1}{6} \approx 0{,}16667$ .
12.
Een tabel voor $h(x)$ dicht bij $x = 1$ toont $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . Welke uitspraak beschrijft $\lim_{x \to 1} h(x)$ het best?
1. a)De limiet is $100$
2. b)De limiet is $0$
3. c)De limiet is $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ groeit onbegrensd, dus er is geen eindige limiet
Antwoord: $h(x)$ groeit onbegrensd, dus er is geen eindige limiet
Elke stap dichter bij $1$ maakt $h(x)$ van beide kanten $100$ keer groter. De waarden groeien onbegrensd, dus er is geen eindige limiet; we schrijven $\lim_{x \to 1} h(x) = \infty$ . De waarde $1\,000\,000$ is alleen de laatste waarde, geen limiet.
13.
Neem $f(x) = x + 1$ voor $x < 2$ en $f(x) = x^2$ voor $x \geq 2$ . Beslis met een tabel of $\lim_{x \to 2} f(x)$ bestaat.
Antwoord: De limiet bestaat niet: links naderen de waarden $3$ , rechts $4$
1. Bereken $f(1{,}99)$ . 2.99
2. Bereken $f(2{,}01)$ . 4.0401
3. Welk getal nadert de linkerkant? 3
4. Welk getal nadert de rechterkant? 4
5. Bestaat $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? nee
14.
Een tabel voor $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ geeft $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Schat $\lim_{x \to 0} f(x)$ , afgerond op twee decimalen.
Antwoord: 2.72
De dichtstbijzijnde waarden $2{,}71964$ en $2{,}71692$ sluiten de limiet in, en afgerond geven ze allebei $2{,}72$ . De exacte limiet is het getal $e \approx 2{,}71828$ .
15.
Een tabel voor $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ met $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ geeft elke keer $0$ . Maar $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ en $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , en beide $x$ -waarden liggen minder dan $0{,}02$ van $0$ af. Wat is $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)De limiet bestaat niet
Antwoord: De limiet bestaat niet
De gekozen waarden $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ maken $\frac{\pi}{x}$ een veelvoud van $\pi$ , dus ze komen allemaal op nulpunten uit. Willekeurig dicht bij $0$ zijn er ook $x$ -waarden die $1$ en $-1$ geven, dus $f(x)$ blijft schommelen en de limiet bestaat niet. De tabel alleen was hier misleidend.
16.
Schat met een tabel $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Antwoord: 0.25
1. Bereken $f(3{,}9)$ , afgerond op vier decimalen. 0.2516
2. Bereken $f(3{,}99)$ , afgerond op vier decimalen. 0.2502
3. Bereken $f(4{,}01)$ , afgerond op vier decimalen. 0.2498
4. Welk decimaal getal naderen beide kanten? 0.25
17.
Beschrijf met een tabel $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
Antwoord: $\infty$
1. Bereken $f(-1{,}1)$ . 100
2. Bereken $f(-1{,}01)$ . 10000
3. Bereken $f(-0{,}99)$ . 10000
4. Hoeveel keer groter is $f(-1{,}01)$ dan $f(-1{,}1)$ ? 100
18.
Onderzoek $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ met zorgvuldig gekozen tabelwaarden ( $x$ in radialen).
Antwoord: De limiet bestaat niet: dicht bij $0$ blijven de waarden schommelen tussen $-1$ en $1$
1. Bereken $f(0{,}1)$ . 0
2. Bereken $f(0{,}4)$ . 1
3. Bereken $f\left(\frac{2}{7}\right)$ . -1
4. Bestaat $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ ? nee