Beide kanten gaan omhoog

Bereken $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$.

Probeer direct invullen: $\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$: de teller is $1$, de noemer is $0$ = Geen getal: beter kijken

Maak een tabel van links: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ = De waarden groeien onbegrensd

Maak een tabel van rechts: $x = 2{,}1$: $100$; $x = 2{,}01$: $10000$ = De waarden groeien onbegrensd

Gebruik het teken: $(x-2)^2$ is een kwadraat, dus positief aan beide kanten van $2$ = Beide eenzijdige limieten zijn $\infty$

Answer: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Beide kanten schieten dezelfde kant op, dus schrijven we $\infty$ voor de limiet, en $x = 2$ is een verticale asymptoot.

De twee kanten zijn het oneens

Bereken $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2}$ en $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$.

Links van 2: $x = 1{,}9$: $\frac{1}{-0{,}1} = -10$; $x = 1{,}99$: $\frac{1}{-0{,}01} = -100$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$

Rechts van 2: $x = 2{,}1$: $\frac{1}{0{,}1} = 10$; $x = 2{,}01$: $\frac{1}{0{,}01} = 100$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty$

Vergelijk de twee kanten: De ene kant gaat naar $-\infty$, de andere naar $\infty$ = Geen gemeenschappelijk gedrag

Geef de tweezijdige limiet: We kunnen voor de limiet in $2$ geen $\infty$ en geen $-\infty$ schrijven = De limiet in $2$ bestaat niet

Answer: Links: $-\infty$, rechts: $\infty$. De limiet $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$ bestaat niet (en wordt niet als $\infty$ geschreven). De lijn $x = 2$ is wel een verticale asymptoot.

Tekenonderzoek zonder tabel

Bereken $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3}$ en $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3}$.

Teller in $x = 3$: $3 + 1 = 4$ = Gaat naar $4$ (positief, niet $0$)

Noemer in $x = 3$: $3 - 3 = 0$ = Gaat naar $0$: de limiet is oneindig

Teken van de noemer voor $x < 3$: Bijvoorbeeld $x = 2{,}99$: $2{,}99 - 3 = -0{,}01$ = Klein negatief getal

Linkerlimiet: $\frac{\text{positief}}{\text{klein negatief}}$; controle: $\frac{3{,}99}{-0{,}01} = -399$ = $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$

Rechterlimiet: Voor $x > 3$ is de noemer een klein positief getal; controle: $\frac{4{,}01}{0{,}01} = 401$ = $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$

Answer: $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+1}{x-3} = -\infty$ en $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{x-3} = \infty$. De grafiek heeft een verticale asymptoot bij $x = 3$: links gaat hij omlaag, rechts omhoog.

Asymptoot of gat?

Bepaal de verticale asymptoten van $f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2}$ en beschrijf het gedrag bij elk nulpunt van de noemer.

Ontbind de noemer: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ = Nulpunten bij $x = 2$ en $x = -1$

Controleer de teller bij $x = 2$: $2 - 2 = 0$: dit is de vorm $\frac{0}{0}$ = Niet automatisch een asymptoot

Vereenvoudig: $\frac{x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ voor $x \neq 2$, dus $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}$ = Een gat in $\left(2, \frac{1}{3}\right)$

Controleer de teller bij $x = -1$: $-1 - 2 = -3 \neq 0$, noemer $0$ = Verticale asymptoot $x = -1$

Tekens rond $x = -1$: Met $\frac{1}{x+1}$: voor $x > -1$ is de noemer klein positief, voor $x < -1$ klein negatief = $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$

Answer: De enige verticale asymptoot is $x = -1$ (rechts $\infty$, links $-\infty$). Bij $x = 2$ heeft de grafiek een gat, omdat de limiet daar het getal $\frac{1}{3}$ is.

Een negatieve teller boven een kwadraat

Bereken $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2}$.

Teller in $x = -4$: $-4 - 1 = -5$ = Gaat naar $-5$ (negatief)

Noemer rond $x = -4$: $(x+4)^2$ gaat naar $0$ en is een kwadraat, dus positief aan beide kanten = Aan beide kanten een klein positief getal

Combineer de tekens: $\frac{\text{negatief}}{\text{klein positief}}$; controle: $x = -3{,}9$ geeft $\frac{-4{,}9}{0{,}01} = -490$ = Beide eenzijdige limieten zijn $-\infty$

Answer: $\lim_{x \to -4} \frac{x-1}{(x+4)^2} = -\infty$. Beide kanten gaan omlaag, dus de limiet wordt geschreven als $-\infty$, en $x = -4$ is een verticale asymptoot.

Mistake: Zeggen "de limiet bestaat en is $\infty$"

Why: $\infty$ is geen reëel getal. De notatie $= \infty$ beschrijft alleen hoe de functie groeit; als getal bestaat de limiet niet.

Correct: Zeg "$f(x)$ groeit onbegrensd als $x \to a$" of "de limiet is $\infty$", en onthoud dat een limiet gelijk aan $\infty$ geen limiet is die bestaat.

Mistake: Schrijven: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Why: Van links gaan de waarden naar $-\infty$, van rechts naar $\infty$. Je mag een tweezijdige limiet alleen als $\infty$ schrijven als beide kanten naar $\infty$ gaan.

Correct: Geef beide eenzijdige limieten ($-\infty$ en $\infty$) en zeg dat de limiet in $2$ niet bestaat.

Mistake: Elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot noemen

Why: Als de teller daar ook $0$ is, heeft de uitdrukking de vorm $\frac{0}{0}$ en kun je misschien vereenvoudigen. Dan kan de limiet een getal zijn en heeft de grafiek alleen een gat.

Correct: Controleer eerst de teller: noemer $0$ en teller niet $0$ betekent een verticale asymptoot; beide $0$ betekent vereenvoudigen en opnieuw kijken.

Mistake: Het teken alleen uit de noemer halen

Why: Een negatieve teller draait het resultaat om: $\frac{-5}{\text{klein positief}}$ gaat naar $-\infty$, niet naar $\infty$.

Correct: Bepaal het teken van de teller en van de noemer aan de kant die je bekijkt, en combineer ze zoals bij delen.

Elektrische kracht op korte afstand

De kracht tussen twee geladen deeltjes is omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand, dus groeit onbegrensd als de afstand naar nul krimpt.

Met $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in newton, $r$ in meter) wordt de kracht vier keer zo groot als je de afstand halveert, en $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$.

De laatste verontreinigingen verwijderen

Water zuiveren wordt steeds moeilijker naarmate je volledige zuiverheid nadert. Modellen voor de benodigde moeite hebben vaak een verticale asymptoot bij 100%.

Als het wegfilteren van $p$ procent van de verontreinigingen $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuten duurt, dan is $T(50) = 50$ minuten, maar $T(90) = 450$ minuten.

Beelden van een lens

Bij een lens met brandpuntsafstand $f$ is de beeldafstand $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Als het voorwerp naar het brandpunt schuift, komt het beeld oneindig ver weg te liggen.

Voor $f = 10$ cm: een voorwerp op $d_o = 20$ cm geeft een beeld op $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, en $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$.

Q: Als de limiet $\infty$ is, bestaat de limiet dan?

A: Nee. Een limiet bestaat alleen als het een reëel getal is. De notatie $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ is een preciezere manier om te zeggen: "de limiet bestaat niet, omdat de waarden in positieve richting onbegrensd groeien".

Q: Wat is het verschil tussen een oneindige limiet en een limiet naar oneindig?

A: Bij een oneindige limiet gaat $x$ naar een getal en explodeert $f(x)$: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Bij een limiet naar oneindig groeit $x$ zelf onbegrensd: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Het eerste geeft verticale asymptoten, het tweede horizontale.

Q: Kan een grafiek een verticale asymptoot snijden?

A: Nee. Bij een verticale asymptoot $x = a$ exploderen de functiewaarden vlak bij $a$, en $f(a)$ zelf is meestal niet gedefinieerd. (Horizontale asymptoten zijn anders: die kan een grafiek wel snijden.)

Q: Waarom geeft een even macht in de noemer aan beide kanten hetzelfde teken?

A: Een kwadraat (of elke even macht) is nooit negatief. Vlak bij $a$ is $(x-a)^2$ aan beide kanten een klein positief getal, dus hangt het teken van het quotiënt alleen van de teller af.