Wat is het verschil tussen een oneindige limiet en een limiet naar oneindig?

Bij een oneindige limiet gaat $x$ naar een getal en explodeert $f(x)$: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$. Bij een limiet naar oneindig groeit $x$ zelf onbegrensd: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$. Het eerste geeft verticale asymptoten, het tweede horizontale.

Kan een grafiek een verticale asymptoot snijden?

Nee. Bij een verticale asymptoot $x = a$ exploderen de functiewaarden vlak bij $a$, en $f(a)$ zelf is meestal niet gedefinieerd. (Horizontale asymptoten zijn anders: die kan een grafiek wel snijden.)

Waarom geeft een even macht in de noemer aan beide kanten hetzelfde teken?

Een kwadraat (of elke even macht) is nooit negatief. Vlak bij $a$ is $(x-a)^2$ aan beide kanten een klein positief getal, dus hangt het teken van het quotiënt alleen van de teller af.

Leermiddelen

Oneindige limieten

Leer wat het betekent als een functie vlak bij een punt onbegrensd groeit, hoe je het teken vindt met de noemer en hoe oneindige limieten verticale asymptoten opleveren.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een oneindige limiet beschrijft een functie waarvan de waarden onbegrensd groeien als

x

naar een getal

a

gaat.

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

betekent: als

x

dicht bij

a

komt (van beide kanten), wordt

f(x)

groter dan elk getal dat je kunt noemen. Op dezelfde manier betekent

\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

dat

f(x)

kleiner wordt dan elk getal dat je kunt noemen.

Eenzijdige versies werken hetzelfde:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty

kijkt alleen naar

x < a

, en

\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty

kijkt alleen naar

x > a

Belangrijk:

\infty

is geen getal. De notatie

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

vertelt je *hoe* de limiet niet bestaat als reëel getal: de waarden schieten in positieve richting omhoog. De limiet bestaat niet als getal.

Verticale asymptoot: de lijn

x = a

is een verticale asymptoot van

f

als minstens één van de eenzijdige limieten in

a

gelijk is aan

\infty

-\infty

. Bij een gebroken functie

\frac{p(x)}{q(x)}

gebeurt dat waar

q(a) = 0

maar

p(a) \neq 0

Tekenonderzoek: als de teller naar een getal ongelijk aan nul gaat en de noemer naar

0

, groeit het quotiënt onbegrensd in absolute waarde. Het teken volgt uit de tekens van de twee delen:

positief gedeeld door een klein positief getal: $\infty$
positief gedeeld door een klein negatief getal: $-\infty$
negatief gedeeld door een klein positief getal: $-\infty$
negatief gedeeld door een klein negatief getal: $\infty$

Probeer het meteen

Bereken

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2}$ .

Probeer direct invullen

$\frac{1}{(2-2)^2} = \frac{1}{0}$ : de teller is $1$ , de noemer is $0$ → Geen getal: beter kijken

Maak een tabel van links

$x = 1{,}9$ : $\frac{1}{0{,}01} = 100$ ; $x = 1{,}99$ : $\frac{1}{0{,}0001} = 10000$ → De waarden groeien onbegrensd

Maak een tabel van rechts

$x = 2{,}1$ : $100$ ; $x = 2{,}01$ : $10000$ → De waarden groeien onbegrensd

Gebruik het teken

$(x-2)^2$ is een kwadraat, dus positief aan beide kanten van $2$ → Beide eenzijdige limieten zijn $\infty$

Antwoord: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)^2} = \infty$ . Beide kanten schieten dezelfde kant op, dus schrijven we $\infty$ voor de limiet, en $x = 2$ is een verticale asymptoot.

Veelgemaakte fouten

Zeggen "de limiet bestaat en is $\infty$ "

Waarom het fout is: $\infty$ is geen reëel getal. De notatie $= \infty$ beschrijft alleen hoe de functie groeit; als getal bestaat de limiet niet.

Correct: Zeg " $f(x)$ groeit onbegrensd als $x \to a$ " of "de limiet is $\infty$ ", en onthoud dat een limiet gelijk aan $\infty$ geen limiet is die bestaat.

Schrijven: $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} = \infty$

Waarom het fout is: Van links gaan de waarden naar $-\infty$ , van rechts naar $\infty$ . Je mag een tweezijdige limiet alleen als $\infty$ schrijven als beide kanten naar $\infty$ gaan.

Correct: Geef beide eenzijdige limieten ( $-\infty$ en $\infty$ ) en zeg dat de limiet in $2$ niet bestaat.

Elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot noemen

Waarom het fout is: Als de teller daar ook $0$ is, heeft de uitdrukking de vorm $\frac{0}{0}$ en kun je misschien vereenvoudigen. Dan kan de limiet een getal zijn en heeft de grafiek alleen een gat.

Correct: Controleer eerst de teller: noemer $0$ en teller niet $0$ betekent een verticale asymptoot; beide $0$ betekent vereenvoudigen en opnieuw kijken.

Het teken alleen uit de noemer halen

Waarom het fout is: Een negatieve teller draait het resultaat om: $\frac{-5}{\text{klein positief}}$ gaat naar $-\infty$ , niet naar $\infty$ .

Correct: Bepaal het teken van de teller en van de noemer aan de kant die je bekijkt, en combineer ze zoals bij delen.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

x	1,9	1,99	2	2,01	2,1
1/(x - 2)	-10	-100	niet gedef.	100	10
1/(x - 2)²	100	10000	niet gedef.	10000	100

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = (x - 2)/(x² - x - 2)Asymptoot

Waardetabel

x	-1,1	-1,01	-0,99	-0,9	1,99	2,01
y	-10	-100	100	10	0,334448	0,332226

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Bereken $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ .

Waarom het belangrijk is

Oneindige limieten beschrijven situaties waarin een grootheid explodeert als je een kritieke waarde nadert:

Natuurkunde: de kracht tussen twee ladingen, $F = \frac{k}{r^2}$ , groeit onbegrensd als de afstand $r$ naar $0$ gaat
Optica: als een voorwerp dicht bij het brandpunt van een lens staat, komt het beeld oneindig ver weg te liggen
Milieu: de kosten of de tijd om de laatste procenten van een vervuiling te verwijderen groeien vaak onbegrensd als je 100% nadert
Grafieken: oneindige limieten vertellen je precies waar de verticale asymptoten van een gebroken functie liggen en welke kant de grafiek aan elke zijde op gaat

In de analyse gebruik je oneindige limieten om grafieken te schetsen, discontinuïteiten te beschrijven en met oneigenlijke integralen te werken.

Toepassingen in de echte wereld

Elektrische kracht op korte afstand

De kracht tussen twee geladen deeltjes is omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand, dus groeit onbegrensd als de afstand naar nul krimpt.

Voorbeeld:

Met $F(r) = \frac{100}{r^2}$ (in newton, $r$ in meter) wordt de kracht vier keer zo groot als je de afstand halveert, en $\lim_{r \to 0^+} F(r) = \infty$ .

1Probeer het zelf

Twee geladen deeltjes stoten elkaar af met een kracht van $F(r) = \frac{100}{r^2}$ newton, waarbij $r$ de afstand in meter is.

Hoe groot is de kracht, in newton, bij een afstand van $r = 0{,}1$ meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $F(0{,}1)$ :

De laatste verontreinigingen verwijderen

Water zuiveren wordt steeds moeilijker naarmate je volledige zuiverheid nadert. Modellen voor de benodigde moeite hebben vaak een verticale asymptoot bij 100%.

Voorbeeld:

Als het wegfilteren van $p$ procent van de verontreinigingen $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuten duurt, dan is $T(50) = 50$ minuten, maar $T(90) = 450$ minuten.

2Probeer het zelf

Een filter heeft $T(p) = \frac{50p}{100-p}$ minuten nodig om $p$ procent van de verontreinigingen uit een watertank te halen.

Waar gaat $T(p)$ naartoe als $p \to 100^-$ ?

Stap 1: Kies het juiste antwoord

Kies de waarde van $\lim_{p \to 100^-} T(p)$ :

Beelden van een lens

Bij een lens met brandpuntsafstand $f$ is de beeldafstand $d_i = \frac{f \, d_o}{d_o - f}$. Als het voorwerp naar het brandpunt schuift, komt het beeld oneindig ver weg te liggen.

Voorbeeld:

Voor $f = 10$ cm: een voorwerp op $d_o = 20$ cm geeft een beeld op $d_i = \frac{200}{10} = 20$ cm, en $\lim_{d_o \to 10^+} d_i = \infty$ .

3Probeer het zelf

Een loep heeft een brandpuntsafstand van $10$ cm, dus de beeldafstand is $d_i = \frac{10 \, d_o}{d_o - 10}$ cm.

Hoe groot is de beeldafstand, in cm, als het voorwerp op $d_o = 11$ cm staat?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $d_i$ voor $d_o = 11$ :

Belangrijke punten

1 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ betekent dat $f(x)$ onbegrensd groeit als $x$ naar $a$ gaat; $-\infty$ betekent dat het onbegrensd daalt
2 $\infty$ is geen getal: een limiet gelijk aan $\infty$ of $-\infty$ bestaat niet als reëel getal
3Gaat de teller naar een getal ongelijk aan nul en de noemer naar $0$ , dan is de limiet oneindig; het tekenonderzoek beslist tussen $\infty$ en $-\infty$
4Bekijk elke kant apart: gaan links en rechts verschillende kanten op, dan bestaat de limiet niet en schrijf je geen $\infty$
5 $x = a$ is een verticale asymptoot als minstens één eenzijdige limiet in $a$ gelijk is aan $\infty$ of $-\infty$
6Een nulpunt van de noemer waar de teller ook $0$ is, kan een gat zijn in plaats van een asymptoot: eerst vereenvoudigen

Veelgestelde vragen

Nee. Een limiet bestaat alleen als het een reëel getal is. De notatie

\lim_{x \to a} f(x) = \infty

is een preciezere manier om te zeggen: "de limiet bestaat niet, omdat de waarden in positieve richting onbegrensd groeien".

Woordenlijst

Oneindige limiet: Een limiet waarbij $f(x)$ onbegrensd groeit (of daalt) als $x \to a$ , geschreven als $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ of $-\infty$
Verticale asymptoot: Een verticale lijn $x = a$ die de grafiek nadert terwijl de waarden aan minstens één kant naar $\infty$ of $-\infty$ gaan
Tekenonderzoek: Nagaan of teller en noemer vlak bij $a$ positief of negatief zijn, om te kiezen tussen $\infty$ en $-\infty$
Onbegrensd groeien: Groter worden dan elk getal dat je kunt noemen; dat is wat $\to \infty$ betekent
Bestaat niet: De limiet is geen reëel getal, bijvoorbeeld omdat de waarden exploderen of de twee kanten het oneens zijn

Formulekaart

Test voor een oneindige limiet

\lim_{x \to a^{\pm}} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty \text{ als } p(a) \neq 0,\ q(a) = 0

Teller ongelijk aan nul boven een noemer die naar $0$ gaat: elke eenzijdige limiet is $\infty$ of $-\infty$, de tekens beslissen; de tweezijdige limiet alleen als beide kanten overeenkomen

Oneven macht

\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty, \quad \lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = \infty

De twee kanten gaan tegengestelde kanten op, dus de limiet in $a$ bestaat niet

Even macht

\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^2} = \infty

Een kwadraat is aan beide kanten positief, dus beide kanten gaan naar $\infty$

Verticale asymptoot

x = a \text{ als } \lim_{x \to a^-} f(x) \text{ of } \lim_{x \to a^+} f(x) \text{ gelijk is aan } \pm\infty

Eén oneindige eenzijdige limiet is genoeg

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Elektrische kracht op korte afstand

De laatste verontreinigingen verwijderen

Beelden van een lens

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Test voor een oneindige limiet

Oneven macht

Even macht

Verticale asymptoot

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten aflezen uit een grafiek

Limieten bepalen met een tabel