Eenzijdige limieten aflezen uit een grafiek

De grafiek van $f$ toont de lijn $y = x + 1$ voor $x < 1$ (open rondje bij $(1, 2)$) en de lijn $y = x + 3$ voor $x \ge 1$ (dichte stip bij $(1, 4)$). Bepaal $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ en $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Volg de grafiek van links: Volg het linkerdeel naar $x = 1$: de hoogtes naderen het open rondje bij $y = 2$ = $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Volg de grafiek van rechts: Volg het rechterdeel naar $x = 1$: de hoogtes naderen $y = 4$ = $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Vergelijk beide kanten: $2 \neq 4$, dus de grafiek springt bij $x = 1$ = De eenzijdige limieten verschillen

Beslis over de limiet in $1$: Verschillende eenzijdige limieten betekenen dat er geen enkele waarde wordt genaderd. De dichte stip $f(1) = 4$ verandert daar niets aan = $\lim_{x \to 1} f(x)$ bestaat niet

Answer: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$, dus $\lim_{x \to 1} f(x)$ bestaat niet (ook al is $f(1) = 4$).

De functie |x|/x bij nul

Bepaal $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x}$ en $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$. Bestaat $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$?

Vereenvoudig voor positieve $x$: Als $x > 0$, dan is $|x| = x$, dus $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ = $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

Vereenvoudig voor negatieve $x$: Als $x < 0$, dan is $|x| = -x$, dus $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ = $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

Controleer met getallen: $\frac{|0{,}01|}{0{,}01} = 1$ en $\frac{|-0{,}01|}{-0{,}01} = -1$ = De tabel bevestigt dit

Vergelijk: $-1 \neq 1$ = De limiet in $0$ bestaat niet

Answer: De linkerlimiet is $-1$ en de rechterlimiet is $1$, dus $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ bestaat niet. De functie is bij $x = 0$ niet eens gedefinieerd, maar dat is niet de reden: de reden is dat de twee kanten niet overeenkomen.

Een gesplitst voorschrift met een limiet

Neem $g(x) = x^2$ voor $x < 2$, $g(2) = 7$ en $g(x) = 3x - 2$ voor $x > 2$. Bepaal $\lim_{x \to 2} g(x)$.

Linkerkant: gebruik het deel voor $x < 2$: $x^2 \to 2^2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^-} g(x) = 4$

Rechterkant: gebruik het deel voor $x > 2$: $3x - 2 \to 3 \cdot 2 - 2 = 4$ = $\lim_{x \to 2^+} g(x) = 4$

Vergelijk de eenzijdige limieten: Beide kanten naderen $4$ = $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$

Kijk naar de functiewaarde $g(2)$: $g(2) = 7$, maar de limiet kijkt alleen naar waarden dicht bij $2$ = Limiet $4$, functiewaarde $7$

Answer: $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$. De losse waarde $g(2) = 7$ verandert de limiet niet; ze geeft alleen een gat met een aparte stip erboven.

Een absolute waarde in de noemer

Bereken $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ en $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$.

Ontbind de teller in factoren: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ = $\frac{(x - 2)(x + 2)}{|x - 2|}$

Rechterkant: $x > 2$: $|x - 2| = x - 2$, dus de breuk is $x + 2 \to 4$ = $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$

Linkerkant: $x < 2$: $|x - 2| = -(x - 2)$, dus de breuk is $-(x + 2) \to -4$ = $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$

Controleer met een tabel: $x = 2{,}01$: $\frac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01$; $x = 1{,}99$: $\frac{-0{,}0399}{0{,}01} = -3{,}99$ = Waarden dicht bij $4$ en dicht bij $-4$

Answer: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = -4$ en $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = 4$, dus de limiet in $2$ bestaat niet.

Een constante kiezen zodat de limiet bestaat

Neem $h(x) = 2x + k$ voor $x < 3$ en $h(x) = x^2 - 1$ voor $x \ge 3$. Bepaal $k$ zodat $\lim_{x \to 3} h(x)$ bestaat.

Rechterlimiet: $x^2 - 1 \to 3^2 - 1 = 8$ = $\lim_{x \to 3^+} h(x) = 8$

Linkerlimiet (met $k$): $2x + k \to 2 \cdot 3 + k = 6 + k$ = $\lim_{x \to 3^-} h(x) = 6 + k$

Stel de eenzijdige limieten gelijk: $6 + k = 8$ = $k = 2$

Controleer: Met $k = 2$: links $2 \cdot 3 + 2 = 8$, rechts $8$ = $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$

Answer: $k = 2$. Dan zijn beide eenzijdige limieten gelijk aan $8$, dus $\lim_{x \to 3} h(x) = 8$.

Mistake: De dichte stip $f(a)$ als limiet nemen

Why: Een limiet beschrijft de hoogtes die de grafiek dicht bij $a$ nadert, niet de hoogte in $a$. In voorbeeld 1 is $f(1) = 4$, maar van links nadert de grafiek $2$.

Correct: Volg elke kant van de grafiek naar $a$ en negeer de stip bij $x = a$. Gebruik $f(a)$ alleen als er naar de functiewaarde gevraagd wordt.

Mistake: $x \to 3^-$ lezen als "$x$ nadert $-3$"

Why: Het kleine minteken staat achter het getal, als superscript. Het geeft de kant aan, niet het teken van het getal.

Correct: $x \to 3^-$ betekent $x = 2{,}9$; $2{,}99$; $2{,}999$; ... (waarden onder $3$). $x \to 3^+$ betekent $x = 3{,}1$; $3{,}01$; $3{,}001$; ...

Mistake: Het deel dat $x = a$ bevat voor beide kanten gebruiken

Why: Bij $f(x) = x + 1$ voor $x < 1$ en $f(x) = x + 3$ voor $x \ge 1$ beschrijft $x + 3$ alleen de rechterkant. De linkerkant wordt altijd gegeven door het deel voor $x < 1$.

Correct: Voor $x \to a^-$ gebruik je de formule voor waarden net onder $a$; voor $x \to a^+$ de formule voor waarden net boven $a$. Het teken $\le$ of $\ge$ bepaalt alleen $f(a)$.

Mistake: Zeggen dat de limiet bestaat omdat beide eenzijdige limieten bestaan

Why: In voorbeeld 1 bestaan beide eenzijdige limieten ($2$ en $4$), maar het zijn verschillende getallen, dus er is geen enkele waarde $L$.

Correct: De limiet in $a$ bestaat alleen als beide eenzijdige limieten bestaan **en** gelijk zijn.

Parkeertarieven

Veel parkeergarages rekenen per begonnen uur, dus de prijs springt bij elk vol uur. Eenzijdige limieten beschrijven de prijs net voor en net na de sprong.

Een garage rekent $P(t) = 3$ € voor $0 < t \le 1$ uur en $P(t) = 5$ € voor $1 < t \le 2$ uur. Net voor een uur betaal je 3 €, net erna 5 €.

Een helling zonder opstapje bouwen

Wie een helling op een platform aansluit, moet zorgen dat de hoogtes van beide kanten op elkaar aansluiten. Anders ontstaat er een opstapje waarover je kunt struikelen.

Een helling heeft hoogte $h(x) = 0{,}2x$ meter voor $0 \le x < 5$, en bij $x = 5$ begint een platform met constante hoogte $c$. Helling en platform sluiten precies zonder opstapje aan als $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$.

Mobiele databundels

Een databundel heeft vaak een vaste prijs tot een grens en daarna een toeslag per gigabyte. Eenzijdige limieten laten zien of de prijs bij die grens springt.

Een bundel kost $C(g) = 10$ € voor $0 \le g \le 5$ GB en $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € voor $g > 5$. Net boven 5 GB begint de prijs te stijgen, maar hij start bij 10.

Q: Kan een eenzijdige limiet bestaan als de limiet in $a$ niet bestaat?

A: Ja, en dat is het typische geval bij een sprong. Bij $\frac{|x|}{x}$ in $0$ bestaan beide eenzijdige limieten ($-1$ en $1$), maar de limiet in $0$ bestaat niet, omdat ze verschillen.

Q: Bepaalt de dichte stip of het open rondje de limiet?

A: Geen van beide. Rondjes en stippen tonen alleen de functiewaarde $f(a)$. De limieten volgen uit de kromme aan elke kant, terwijl die $x = a$ nadert.

Q: Wat als de functie maar aan één kant gedefinieerd is?

A: Dan heeft maar één eenzijdige limiet zin. Bij $\sqrt{x}$ in $0$ zijn er links geen waarden, dus gebruiken we $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Aan de rand van het domein is de eenzijdige limiet de natuurlijke vraag.

Q: Kan een eenzijdige limiet oneindig zijn?

A: Ja. Zo wordt $\frac{1}{x}$ onbegrensd groot als $x \to 0^+$. Die gevallen komen aan bod in de les Oneindige limieten; in deze les zijn alle eenzijdige limieten getallen.