Kan een eenzijdige limiet bestaan als de limiet in $a$ niet bestaat?

Ja, en dat is het typische geval bij een sprong. Bij $\frac{|x|}{x}$ in $0$ bestaan beide eenzijdige limieten ($-1$ en $1$), maar de limiet in $0$ bestaat niet, omdat ze verschillen.

Bepaalt de dichte stip of het open rondje de limiet?

Geen van beide. Rondjes en stippen tonen alleen de functiewaarde $f(a)$. De limieten volgen uit de kromme aan elke kant, terwijl die $x = a$ nadert.

Wat als de functie maar aan één kant gedefinieerd is?

Dan heeft maar één eenzijdige limiet zin. Bij $\sqrt{x}$ in $0$ zijn er links geen waarden, dus gebruiken we $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$. Aan de rand van het domein is de eenzijdige limiet de natuurlijke vraag.

Kan een eenzijdige limiet oneindig zijn?

Ja. Zo wordt $\frac{1}{x}$ onbegrensd groot als $x \to 0^+$. Die gevallen komen aan bod in de les Oneindige limieten; in deze les zijn alle eenzijdige limieten getallen.

Leermiddelen

Eenzijdige limieten

Leer de linkerlimiet en de rechterlimiet te bepalen uit grafieken en gesplitste voorschriften, en beslis wanneer een limiet bestaat.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een eenzijdige limiet bekijkt een functie vanaf maar één kant van een punt.

De linkerlimiet $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ betekent: als $x$ naar $a$ gaat via waarden kleiner dan $a$ (bijvoorbeeld $1{,}9$ ; $1{,}99$ ; $1{,}999$ voor $a = 2$ ), dan nadert $f(x)$ tot $L$ .
De rechterlimiet $\lim_{x \to a^+} f(x) = M$ betekent: als $x$ naar $a$ gaat via waarden groter dan $a$ (bijvoorbeeld $2{,}1$ ; $2{,}01$ ; $2{,}001$ ), dan nadert $f(x)$ tot $M$ .

Deze notatie ken je uit de les Limietnotatie: het kleine teken geeft de kant aan en hoort niet bij het getal, dus

3^-

is niet

-3

. In deze les bereken je zulke limieten en beslis je daarmee of

\lim_{x \to a} f(x)

bestaat.

De belangrijkste regel verbindt eenzijdige limieten met de (tweezijdige) limiet:

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ en } \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Als de twee eenzijdige limieten verschillen, dan bestaat de limiet in

a

niet. De functiewaarde

f(a)

zelf telt nooit mee voor deze limieten: de functie mag in

a

niet gedefinieerd zijn of daar een heel andere waarde hebben.

Probeer het meteen

Wat betekent

x \to 3^-

Uitgewerkte voorbeelden

De grafiek van $f$ toont de lijn $y = x + 1$ voor $x < 1$ (open rondje bij $(1, 2)$ ) en de lijn $y = x + 3$ voor $x \ge 1$ (dichte stip bij $(1, 4)$ ). Bepaal $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ en $\lim_{x \to 1} f(x)$ .

Volg de grafiek van links

Volg het linkerdeel naar $x = 1$ : de hoogtes naderen het open rondje bij $y = 2$ → $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$

Volg de grafiek van rechts

Volg het rechterdeel naar $x = 1$ : de hoogtes naderen $y = 4$ → $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$

Vergelijk beide kanten

$2 \neq 4$ , dus de grafiek springt bij $x = 1$ → De eenzijdige limieten verschillen

Beslis over de limiet in $1$

Verschillende eenzijdige limieten betekenen dat er geen enkele waarde wordt genaderd. De dichte stip $f(1) = 4$ verandert daar niets aan → $\lim_{x \to 1} f(x)$ bestaat niet

Antwoord: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ , dus $\lim_{x \to 1} f(x)$ bestaat niet (ook al is $f(1) = 4$ ).

Veelgemaakte fouten

De dichte stip $f(a)$ als limiet nemen

Waarom het fout is: Een limiet beschrijft de hoogtes die de grafiek dicht bij $a$ nadert, niet de hoogte in $a$ . In voorbeeld 1 is $f(1) = 4$ , maar van links nadert de grafiek $2$ .

Correct: Volg elke kant van de grafiek naar $a$ en negeer de stip bij $x = a$ . Gebruik $f(a)$ alleen als er naar de functiewaarde gevraagd wordt.

$x \to 3^-$ lezen als " $x$ nadert $-3$ "

Waarom het fout is: Het kleine minteken staat achter het getal, als superscript. Het geeft de kant aan, niet het teken van het getal.

Correct: $x \to 3^-$ betekent $x = 2{,}9$ ; $2{,}99$ ; $2{,}999$ ; ... (waarden onder $3$ ). $x \to 3^+$ betekent $x = 3{,}1$ ; $3{,}01$ ; $3{,}001$ ; ...

Het deel dat $x = a$ bevat voor beide kanten gebruiken

Waarom het fout is: Bij $f(x) = x + 1$ voor $x < 1$ en $f(x) = x + 3$ voor $x \ge 1$ beschrijft $x + 3$ alleen de rechterkant. De linkerkant wordt altijd gegeven door het deel voor $x < 1$ .

Correct: Voor $x \to a^-$ gebruik je de formule voor waarden net onder $a$ ; voor $x \to a^+$ de formule voor waarden net boven $a$ . Het teken $\le$ of $\ge$ bepaalt alleen $f(a)$ .

Zeggen dat de limiet bestaat omdat beide eenzijdige limieten bestaan

Waarom het fout is: In voorbeeld 1 bestaan beide eenzijdige limieten ( $2$ en $4$ ), maar het zijn verschillende getallen, dus er is geen enkele waarde $L$ .

Correct: De limiet in $a$ bestaat alleen als beide eenzijdige limieten bestaan en gelijk zijn.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

b = 3

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Bij x = 1: van links f(x) → 2, van rechts f(x) → 4. De waarden verschillen, dus de limiet bestaat niet (sprong). f(1) = 4.

Waardetabel

x	0,9	0,99	1	1,01	1,1
y	1,9	1,99	4	4,01	4,1

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = |x|/x

Bij x = 0: van links y(x) → -1, van rechts y(x) → 1. De waarden verschillen, dus de limiet bestaat niet (sprong). y(0) is niet gedefinieerd.

Waardetabel

x	-0,1	-0,01	0,01	0,1
y	-1	-1	1	1

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = (x^2 - 4)/|x - 2|

Bij x = 2: van links y(x) → -4, van rechts y(x) → 4. De waarden verschillen, dus de limiet bestaat niet (sprong). y(2) is niet gedefinieerd.

Waardetabel

x	1,9	1,99	2,01	2,1
y	-3,9	-3,99	4,01	4,1

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Wat betekent $x \to 3^-$ ?

Waarom het belangrijk is

Eenzijdige limieten zijn het gereedschap voor functies die in een punt van voorschrift wisselen:

Gesplitste voorschriften: belastingschijven, telefoonabonnementen en verzendkosten wisselen bij bepaalde waarden van formule, en je moet elke kant apart bekijken
Sprongen: een parkeertarief dat na een uur van 3 € naar 5 € springt, heeft een verschillende linkerlimiet en rechterlimiet
Absolute waarden: uitdrukkingen zoals $\frac{|x|}{x}$ gedragen zich anders voor negatieve en positieve $x$
Continuïteit: in de lessen Continuïteit en Soorten discontinuïteiten gebruik je eenzijdige limieten om elke onderbreking in een grafiek in te delen
Analyse: afgeleiden van functies zoals $|x|$ onderzoek je met linker- en rechterlimieten

Als een grafiek een onderbreking heeft, is de eerste vraag altijd: wat gebeurt er links, en wat gebeurt er rechts?

Toepassingen in de echte wereld

Parkeertarieven

Veel parkeergarages rekenen per begonnen uur, dus de prijs springt bij elk vol uur. Eenzijdige limieten beschrijven de prijs net voor en net na de sprong.

Voorbeeld:

Een garage rekent $P(t) = 3$ € voor $0 < t \le 1$ uur en $P(t) = 5$ € voor $1 < t \le 2$ uur. Net voor een uur betaal je 3 €, net erna 5 €.

1Probeer het zelf

De garage gebruikt $P(t) = 3$ voor $0 < t \le 1$ en $P(t) = 5$ voor $1 < t \le 2$ ( $t$ in uren, prijs in €).

Met hoeveel euro springt de prijs bij $t = 1$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Rechterlimiet min linkerlimiet bij $t = 1$ :

Een helling zonder opstapje bouwen

Wie een helling op een platform aansluit, moet zorgen dat de hoogtes van beide kanten op elkaar aansluiten. Anders ontstaat er een opstapje waarover je kunt struikelen.

Voorbeeld:

Een helling heeft hoogte $h(x) = 0{,}2x$ meter voor $0 \le x < 5$ , en bij $x = 5$ begint een platform met constante hoogte $c$ . Helling en platform sluiten precies zonder opstapje aan als $\lim_{x \to 5^-} h(x) = c$ .

2Probeer het zelf

De helling heeft hoogte $h(x) = 0{,}2x$ voor $0 \le x < 5$ en het platform hoogte $c$ voor $x \ge 5$ (alle lengtes in meter).

Bij welke platformhoogte $c$ is er geen opstapje bij $x = 5$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De platformhoogte moet gelijk zijn aan de linkerlimiet bij $x = 5$ :

Mobiele databundels

Een databundel heeft vaak een vaste prijs tot een grens en daarna een toeslag per gigabyte. Eenzijdige limieten laten zien of de prijs bij die grens springt.

Voorbeeld:

Een bundel kost $C(g) = 10$ € voor $0 \le g \le 5$ GB en $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ € voor $g > 5$ . Net boven 5 GB begint de prijs te stijgen, maar hij start bij 10.

3Probeer het zelf

De bundel kost $C(g) = 10$ voor $0 \le g \le 5$ en $C(g) = 10 + 2(g - 5)$ voor $g > 5$ ( $g$ in GB, prijs in €).

Wat is $\lim_{g \to 5} C(g)$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal beide eenzijdige limieten bij $g = 5$ en vergelijk ze:

Belangrijke punten

1 $\lim_{x \to a^-} f(x)$ is de linkerlimiet: $x$ nadert $a$ via waarden kleiner dan $a$
2 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ is de rechterlimiet: $x$ nadert $a$ via waarden groter dan $a$
3 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ precies als beide eenzijdige limieten bestaan en allebei gelijk zijn aan $L$
4Als de eenzijdige limieten verschillen (een sprong), bestaat de limiet in $a$ niet
5Bij een gesplitst voorschrift gebruik je links het deel voor waarden net onder $a$ en rechts het deel voor waarden net boven $a$
6De functiewaarde $f(a)$ (open rondje of dichte stip) verandert nooit een limiet

Veelgestelde vragen

Ja, en dat is het typische geval bij een sprong. Bij

\frac{|x|}{x}

0

bestaan beide eenzijdige limieten (

-1

1

), maar de limiet in

0

bestaat niet, omdat ze verschillen.

Woordenlijst

Eenzijdige limiet: Een limiet die alleen waarden van $x$ aan één kant van $a$ gebruikt
Linkerlimiet: De waarde die $f(x)$ nadert als $x \to a^-$ , via waarden kleiner dan $a$
Rechterlimiet: De waarde die $f(x)$ nadert als $x \to a^+$ , via waarden groter dan $a$
Tweezijdige limiet: De gewone limiet $\lim_{x \to a} f(x)$ ; die bestaat alleen als de linkerlimiet en de rechterlimiet gelijk zijn
Gesplitst voorschrift: Een functie die op verschillende intervallen van $x$ door verschillende formules gegeven wordt
Sprongdiscontinuïteit: Een onderbreking waar beide eenzijdige limieten bestaan maar verschillen, zodat de grafiek springt

Formulekaart

Linkerlimiet

\lim_{x \to a^-} f(x)

$x$ nadert $a$ van links (waarden kleiner dan $a$)

Rechterlimiet

\lim_{x \to a^+} f(x)

$x$ nadert $a$ van rechts (waarden groter dan $a$)

Wanneer de limiet bestaat

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Beide eenzijdige limieten moeten bestaan en gelijk zijn

Absolute waarde per kant

|x - a| = x - a

voor

x > a

|x - a| = -(x - a)

voor

x < a

Gebruik dit om uitdrukkingen met absolute waarden aan elke kant te vereenvoudigen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Parkeertarieven

Een helling zonder opstapje bouwen

Mobiele databundels

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Linkerlimiet

Rechterlimiet

Wanneer de limiet bestaat

Absolute waarde per kant

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Limietnotatie

Limieten aflezen uit een grafiek

Limieten bepalen met een tabel