Een gat door een factor die wegdeelt

Bepaal de soort discontinuïteit van $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ bij $x = 2$ en hef haar op.

Kijk waar $f$ niet bestaat: De noemer $x - 2$ is $0$ bij $x = 2$ = $f(2)$ bestaat niet

Ontbind de teller: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ = $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Deel de gemeenschappelijke factor weg: $f(x) = x + 1$ voor elke $x \neq 2$ = De factor $(x - 2)$ deelt helemaal weg

Bepaal de limiet: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ = $= 3$, een eindige limiet

Indelen en herstellen: De limiet bestaat, $f(2)$ niet: gat in $(2, 3)$. Definieer $f(2) = 3$. = Ophefbare discontinuïteit

Answer: Ophefbare discontinuïteit (gat) in $(2, 3)$. Met $f(2) = 3$ wordt $f$ continu.

Een gat met de verkeerde waarde

Neem $g(x) = x^2$ voor $x \neq 1$ en $g(1) = 4$. Welke soort discontinuïteit is er bij $x = 1$?

Bepaal de limiet: Dicht bij $x = 1$ geldt het voorschrift $x^2$, dus $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2$ = $= 1$

Bepaal de functiewaarde: De definitie zegt $g(1) = 4$ = $g(1) = 4$

Vergelijk: $\lim_{x \to 1} g(x) = 1 \neq 4 = g(1)$ = De limiet bestaat, maar is niet gelijk aan $g(1)$

Indelen en herstellen: Het punt $(1, 4)$ ligt los van de kromme; definieer opnieuw $g(1) = 1$ = Ophefbare discontinuïteit

Answer: Ophefbare discontinuïteit bij $x = 1$: een gat in $(1, 1)$ en een los punt in $(1, 4)$. Met $g(1) = 1$ is ze opgeheven.

Een sprong meten

Neem $h(x) = x + 2$ voor $x < 1$ en $h(x) = x^2 + 5$ voor $x \geq 1$. Bepaal de soort discontinuïteit bij $x = 1$ en de grootte van de sprong.

Linkerlimiet (voorschrift voor $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2$ = $= 3$

Rechterlimiet (voorschrift voor $x \geq 1$): $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 5) = 1 + 5$ = $= 6$

Vergelijk de eenzijdige limieten: Beide zijn eindig, maar $3 \neq 6$ = Sprongdiscontinuïteit

Grootte van de sprong: $|6 - 3|$ = $= 3$

Answer: Sprongdiscontinuïteit bij $x = 1$ met sprong $3$. De waarde $h(1) = 6$ maakt niet uit: geen enkele waarde van $h(1)$ kan de sprong dichten.

Een oneindige discontinuïteit

Bepaal de soort discontinuïteit van $k(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ bij $x = 4$.

Vul $x = 4$ in: Teller $4 + 3 = 7$, noemer $4 - 4 = 0$ = $\frac{7}{0}$: een getal ongelijk aan nul gedeeld door nul

Nader van rechts: $k(4{,}01) = \frac{7{,}01}{0{,}01} = 701$ = $\lim_{x \to 4^+} k(x) = \infty$

Nader van links: $k(3{,}99) = \frac{6{,}99}{-0{,}01} = -699$ = $\lim_{x \to 4^-} k(x) = -\infty$

Indelen: De eenzijdige limieten zijn oneindig = Oneindige discontinuïteit, verticale asymptoot $x = 4$

Answer: Oneindige discontinuïteit bij $x = 4$: de grafiek heeft de verticale asymptoot $x = 4$.

Gat en asymptoot in één functie

Zoek alle discontinuïteiten van $r(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ en bepaal hun soort.

Ontbind beide delen: $r(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$ = Niet gedefinieerd bij $x = 3$ en $x = -2$

Deel de gemeenschappelijke factor weg: $r(x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ voor $x \neq 3$ = $(x - 3)$ deelt weg, $(x + 2)$ blijft

Onderzoek $x = 3$: $\lim_{x \to 3} r(x) = \frac{3 + 3}{3 + 2}$ = $= \frac{6}{5}$: gat in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$

Onderzoek $x = -2$: Vereenvoudigde teller $-2 + 3 = 1 \neq 0$, noemer $0$ = Verticale asymptoot $x = -2$

Answer: Ophefbare discontinuïteit (gat) in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ en oneindige discontinuïteit bij $x = -2$.

Mistake: Bij elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot tekenen

Why: Een nulpunt van de noemer kan ook een gat zijn. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ deelt $(x - 2)$ weg, dus bij $x = 2$ is er geen asymptoot.

Correct: Eerst ontbinden en wegdelen. Alleen factoren die in de noemer blijven, geven verticale asymptoten; weggedeelde factoren geven gaten.

Mistake: Een sprong ophefbaar noemen omdat beide eenzijdige limieten bestaan

Why: Ophefbaar vraagt dat de limiet bestaat, en dat gebeurt alleen als beide kanten gelijk zijn. Bij een sprong zijn het verschillende getallen.

Correct: Gelijke eenzijdige limieten: ophefbaar (of continu). Verschillende eindige eenzijdige limieten: sprong.

Mistake: $f(a)$ gebruiken als hoogte van het gat

Why: Bij een gat ontbreekt $f(a)$ of is het fout. Het gat ligt op de hoogte van de limiet.

Correct: De $y$-coördinaat van een gat vind je door $x = a$ in te vullen in de vereenvoudigde functie: het gat van $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ ligt in $\left(3, \frac{6}{5}\right)$.

Mistake: Denken dat een weggedeelde factor altijd een gat geeft, ook als hij twee keer in de noemer staat

Why: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ deelt maar één factor weg; er blijft $\frac{1}{x - 1}$ over, dat bij $x = 1$ nog steeds onbegrensd groeit.

Correct: Deel zo ver mogelijk weg en controleer dan: staat $(x - a)$ nog in de noemer, dan is het een oneindige discontinuïteit.

Parkeertarieven (sprongen)

Parkeergarages rekenen per begonnen uur: de prijs is binnen elk uur constant en springt bij elk vol uur.

Een garage vraagt 4 € tot en met 1 uur en 7 € voor meer dan 1 tot en met 2 uur. Bij $t = 1$ springt de prijs met 3 €.

Lenzen en beelden in het oneindige

Bij een lens met brandpuntsafstand $10$ cm geeft een voorwerp op afstand $u$ een beeld op afstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Bereikt het voorwerp het brandpunt, dan verdwijnt het beeld naar oneindig.

Bij $u = 15$ cm ligt het beeld op $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Bij $u = 10{,}1$ cm ligt het al op $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

Een deling door nul in software oplossen

Programma's berekenen vaak een gemiddelde verandering $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bij $t = a$ geeft de formule $\frac{0}{0}$ en loopt het programma vast, hoewel de waarden in de buurt mooi glad zijn: een ophefbare discontinuïteit.

Voor $f(t) = t^2$ en $a = 3$ vereenvoudigt $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ tot $t + 3$, dus de programmeur slaat voor $t = 3$ de waarde $6$ op.

Q: Waarom heet een gat ophefbaar?

A: Omdat één punt genoeg is om het te herstellen. De limiet $L$ bestaat al, dus door $f(a) = L$ te definiëren (of opnieuw te definiëren) klopt $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, en de functie is continu in $a$.

Q: Kun je een sprongdiscontinuïteit ooit opheffen?

A: Nee. Van links gaat de functie naar de ene hoogte, van rechts naar een andere. Welke waarde je $f(a)$ ook geeft, die past hooguit bij één kant, en de limiet bestaat nog steeds niet.

Q: Verandert de functiewaarde bij $x = a$ de soort?

A: Nee. De soort hangt alleen af van de limieten in de buurt van $a$. Een sprong blijft een sprong, of $f(a)$ nu de linkerwaarde, de rechterwaarde of niet gedefinieerd is, en een gat blijft ophefbaar, of $f(a)$ nu ontbreekt of fout is.

Q: Zijn er nog andere soorten discontinuïteit?

A: Ja, maar die komen minder vaak voor. Zo schommelt $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ steeds sneller in de buurt van $x = 0$ en heeft daar helemaal geen eenzijdige limieten (oscillerende discontinuïteit). Sprongen, oneindige en oscillerende discontinuïteiten zijn allemaal niet-ophefbaar; veel boeken noemen alleen de oneindige en oscillerende essentieel.