Soorten discontinuïteiten

Leer ophefbare discontinuïteiten (gaten), sprongdiscontinuïteiten en oneindige discontinuïteiten herkennen, in een grafiek en aan een formule.

Gevorderd30 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een functie ff is continu in x=ax = a als lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Klopt dat niet, dan heeft ff een discontinuïteit in x=ax = a. Hoe het misgaat, bepaalt de soort:
1. Ophefbare discontinuïteit (gat) De limiet bestaat en is een eindig getal LL, maar f(a)f(a) bestaat niet of f(a)≠Lf(a) \neq L. De grafiek heeft één gat in (a,L)(a, L). Je heft het op door f(a)=Lf(a) = L te definiëren.
2. Sprongdiscontinuïteit De linkerlimiet en de rechterlimiet zijn eindig maar verschillend:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)
De grafiek springt van de ene hoogte naar een andere. De grootte van de sprong is ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|. Geen enkele waarde van f(a)f(a) kan dat herstellen.
3. Oneindige discontinuïteit (pool) Minstens één eenzijdige limiet is ∞\infty of −∞-\infty. De grafiek heeft een verticale asymptoot x=ax = a.
Aan de formule (gebroken functies): ontbind de teller en de noemer in factoren.
  • Een factor (x−a)(x - a) die helemaal wegdeelt, geeft een gat bij x=ax = a.
  • Een factor (x−a)(x - a) die in de noemer blijft, geeft een verticale asymptoot bij x=ax = a.

Probeer het meteen

Welke soort discontinuïteit heeft f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} bij x=4x = 4?

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal de soort discontinuïteit van f(x)=x2−x−2x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} bij x=2x = 2 en hef haar op.

1

Kijk waar ff niet bestaat

De noemer x−2x - 2 is 00 bij x=2x = 2 → f(2)f(2) bestaat niet

2

Ontbind de teller

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) → f(x)=(x−2)(x+1)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}

3

Deel de gemeenschappelijke factor weg

f(x)=x+1f(x) = x + 1 voor elke x≠2x \neq 2 → De factor (x−2)(x - 2) deelt helemaal weg

4

Bepaal de limiet

lim⁡x→2f(x)=2+1\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1 → =3= 3, een eindige limiet

5

Indelen en herstellen

De limiet bestaat, f(2)f(2) niet: gat in (2,3)(2, 3). Definieer f(2)=3f(2) = 3. → Ophefbare discontinuïteit

Veelgemaakte fouten

Bij elk nulpunt van de noemer een verticale asymptoot tekenen

Waarom het fout is: Een nulpunt van de noemer kan ook een gat zijn. In x2−x−2x−2\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} deelt (x−2)(x - 2) weg, dus bij x=2x = 2 is er geen asymptoot.

Correct: Eerst ontbinden en wegdelen. Alleen factoren die in de noemer blijven, geven verticale asymptoten; weggedeelde factoren geven gaten.

Een sprong ophefbaar noemen omdat beide eenzijdige limieten bestaan

Waarom het fout is: Ophefbaar vraagt dat de limiet bestaat, en dat gebeurt alleen als beide kanten gelijk zijn. Bij een sprong zijn het verschillende getallen.

Correct: Gelijke eenzijdige limieten: ophefbaar (of continu). Verschillende eindige eenzijdige limieten: sprong.

f(a)f(a) gebruiken als hoogte van het gat

Waarom het fout is: Bij een gat ontbreekt f(a)f(a) of is het fout. Het gat ligt op de hoogte van de limiet.

Correct: De yy-coördinaat van een gat vind je door x=ax = a in te vullen in de vereenvoudigde functie: het gat van x2−9x2−x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} ligt in (3,65)\left(3, \frac{6}{5}\right).

Denken dat een weggedeelde factor altijd een gat geeft, ook als hij twee keer in de noemer staat

Waarom het fout is: In x−1(x−1)2\frac{x - 1}{(x - 1)^2} deelt maar één factor weg; er blijft 1x−1\frac{1}{x - 1} over, dat bij x=1x = 1 nog steeds onbegrensd groeit.

Correct: Deel zo ver mogelijk weg en controleer dan: staat (x−a)(x - a) nog in de noemer, dan is het een oneindige discontinuïteit.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

-3-2-1012345-20246xy(2; 3)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2)

Waardetabel

x1,91,9922,012,1
y2,92,99niet gedef.3,013,1

Grafiek van de functie

-3-2-101230246xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

g(x)
  • Bij x = 1: van links en van rechts g(x) → 1, dus de limiet is 1. g(1) = 4.

Waardetabel

x0,90,9911,011,1
y0,810,980141,02011,21

Grafiek van de functie

-3-2-101230510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

h(x)
  • Bij x = 1: van links h(x) → 3, van rechts h(x) → 6. De waarden verschillen, dus de limiet bestaat niet (sprong). h(1) = 6.

Waardetabel

x0,90,9911,011,1
y2,92,9966,02016,21

Grafiek van de functie

-8-6-4-202468-505xy(3; 1,2)x = -2y = 1

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

r(x) = (x² − 9)/(x² − x − 6)Asymptoot

Waardetabel

x-2,1-2,01-1,99-1,92,993,01
y-9-99101111,20041,1996

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-10-50510-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk

Welke soort discontinuïteit heeft f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} bij x=4x = 4?

Waarom het belangrijk is

De soort discontinuïteit vertelt je hoe ernstig de breuk is en wat je eraan kunt doen:
  • Gaten zijn onschuldige openingen: de functie gedraagt zich er voorspelbaar omheen, en één opnieuw gedefinieerd punt maakt haar continu. Programma's die vastlopen op 00\frac{0}{0} worden vaak precies zo gerepareerd.
  • Sprongen beschrijven plotselinge veranderingen: parkeertarieven, verzendtarieven, belastingschijven en schakelaars die aan of uit gaan.
  • Oneindige discontinuïteiten waarschuwen dat een grootheid onbegrensd groeit: het beeld van een lens dat naar oneindig verdwijnt, resonantie in een brug of een formule die door bijna nul deelt.
In de analyse bepaalt de soort discontinuïteit of een limiet bestaat, of je een functie over een interval kunt integreren en hoe je de grafiek moet tekenen. Gebroken functies goed schetsen (gaten of asymptoten) is een van de meest getoetste vaardigheden vóór de analyse.

Toepassingen in de echte wereld

Parkeertarieven (sprongen)

Parkeergarages rekenen per begonnen uur: de prijs is binnen elk uur constant en springt bij elk vol uur.

Voorbeeld:

Een garage vraagt 4 € tot en met 1 uur en 7 € voor meer dan 1 tot en met 2 uur. Bij t=1t = 1 springt de prijs met 3 €.

1Probeer het zelf

Dezelfde garage vraagt 7 € voor meer dan 1 tot en met 2 uur en 10 € voor meer dan 2 tot en met 3 uur. C(t)C(t) is de prijs voor tt uur.

Hoe groot is de sprong in de prijs bij t=2t = 2 uur (in €)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Trek de linkerlimiet af van de rechterlimiet:

Lenzen en beelden in het oneindige

Bij een lens met brandpuntsafstand $10$ cm geeft een voorwerp op afstand $u$ een beeld op afstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Bereikt het voorwerp het brandpunt, dan verdwijnt het beeld naar oneindig.

Voorbeeld:

Bij u=15u = 15 cm ligt het beeld op v=1505=30v = \frac{150}{5} = 30 cm. Bij u=10,1u = 10{,}1 cm ligt het al op v=1010,1=1010v = \frac{101}{0{,}1} = 1010 cm.

2Probeer het zelf

De beeldafstand is v(u)=10uu−10v(u) = \frac{10u}{u - 10} (in cm).

Bij welke voorwerpsafstand uu (in cm) heeft vv een oneindige discontinuïteit?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Zoek waar de noemer nul is en de teller niet:

Een deling door nul in software oplossen

Programma's berekenen vaak een gemiddelde verandering $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bij $t = a$ geeft de formule $\frac{0}{0}$ en loopt het programma vast, hoewel de waarden in de buurt mooi glad zijn: een ophefbare discontinuïteit.

Voorbeeld:

Voor f(t)=t2f(t) = t^2 en a=3a = 3 vereenvoudigt t2−9t−3\frac{t^2 - 9}{t - 3} tot t+3t + 3, dus de programmeur slaat voor t=3t = 3 de waarde 66 op.

3Probeer het zelf

Een programma berekent R(t)=t2−16t−4R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4} en loopt vast bij t=4t = 4.

Welke waarde moet R(4)R(4) krijgen zodat RR continu is?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vereenvoudig en vul dan t=4t = 4 in:

Belangrijke punten

  • 1Een discontinuïteit bij x=ax = a betekent dat lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) niet geldt
  • 2Ophefbaar (gat): de limiet LL bestaat, maar f(a)f(a) ontbreekt of is anders; herstel met f(a)=Lf(a) = L
  • 3Sprong: eindige eenzijdige limieten die verschillen; sprong =∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
  • 4Oneindig: een eenzijdige limiet is ±∞\pm\infty; de grafiek heeft de verticale asymptoot x=ax = a
  • 5Bij gebroken functies eerst ontbinden: weggedeelde factoren geven gaten, factoren die in de noemer blijven geven asymptoten
  • 6De yy-coördinaat van een gat komt uit de vereenvoudigde functie, nooit uit f(a)f(a)

Veelgestelde vragen

Omdat één punt genoeg is om het te herstellen. De limiet LL bestaat al, dus door f(a)=Lf(a) = L te definiëren (of opnieuw te definiëren) klopt lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), en de functie is continu in aa.
Omdat één punt genoeg is om het te herstellen. De limiet LL bestaat al, dus door f(a)=Lf(a) = L te definiëren (of opnieuw te definiëren) klopt lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a), en de functie is continu in aa.
Nee. Van links gaat de functie naar de ene hoogte, van rechts naar een andere. Welke waarde je f(a)f(a) ook geeft, die past hooguit bij één kant, en de limiet bestaat nog steeds niet.
Nee. De soort hangt alleen af van de limieten in de buurt van aa. Een sprong blijft een sprong, of f(a)f(a) nu de linkerwaarde, de rechterwaarde of niet gedefinieerd is, en een gat blijft ophefbaar, of f(a)f(a) nu ontbreekt of fout is.
Ja, maar die komen minder vaak voor. Zo schommelt sin⁡(1x)\sin\left(\frac{1}{x}\right) steeds sneller in de buurt van x=0x = 0 en heeft daar helemaal geen eenzijdige limieten (oscillerende discontinuïteit). Sprongen, oneindige en oscillerende discontinuïteiten zijn allemaal niet-ophefbaar; veel boeken noemen alleen de oneindige en oscillerende essentieel.

Woordenlijst

Discontinuïteit
Een punt x=ax = a waar lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) niet geldt
Ophefbare discontinuïteit (gat)
De limiet bestaat en is eindig, maar f(a)f(a) bestaat niet of is anders; te herstellen door één punt opnieuw te definiëren
Sprongdiscontinuïteit
De linkerlimiet en de rechterlimiet zijn eindig maar niet gelijk
Grootte van de sprong
De afstand tussen de twee eenzijdige limieten: ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
Oneindige discontinuïteit (pool)
Minstens één eenzijdige limiet is ∞\infty of −∞-\infty; de grafiek heeft een verticale asymptoot
Verticale asymptoot
Een verticale lijn x=ax = a die de grafiek nadert terwijl de functiewaarden onbegrensd groeien

Formulekaart

Ophefbaar (gat)

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L bestaat, f(a)≠Lf(a) \neq L of bestaat niet

Herstel met $f(a) = L$

Sprong

lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x), beide eindig

Sprong $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Oneindig

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Verticale asymptoot $x = a$

Test voor gebroken functies

(x−a) p(x)(x−a) q(x)=p(x)q(x)\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Een weggedeelde factor geeft een gat in $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$ als $q(a) \neq 0$; een factor die in de noemer blijft, geeft een asymptoot

Meer over dit onderwerp

Introductie tot limieten

Gevorderd25 min

Limietnotatie

Gevorderd25 min

Limieten aflezen uit een grafiek

Gevorderd25 min

Limieten bepalen met een tabel

Gevorderd30 min