Een logaritme met grondtal 3 via log

Bereken $\log_3 50$. Rond af op 2 decimalen.

Schrijf de formule voor verandering van grondtal op met grondtal 10: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$ = $\dfrac{\log 50}{\log 3}$

Bepaal beide briggse logaritmen met de rekenmachine: $\log 50 \approx 1{,}69897$ en $\log 3 \approx 0{,}47712$ = Houd voorlopig alle cijfers

Deel en rond pas aan het eind af: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Controleer met de definitie: $3^3 = 27$ en $3^4 = 81$, dus het antwoord moet tussen 3 en 4 liggen. Ook is $3^{3{,}56} \approx 50$ = Klopt

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Dezelfde logaritme met ln

Bereken $\log_3 50$ nog een keer, nu met natuurlijke logaritmen. Rond af op 2 decimalen.

Schrijf de formule op met grondtal $e$: $\log_3 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ = $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$

Bepaal beide natuurlijke logaritmen: $\ln 50 \approx 3{,}91202$ en $\ln 3 \approx 1{,}09861$ = Andere getallen dan met log

Deel en rond af: $3{,}91202 : 1{,}09861 \approx 3{,}56088$ = $\approx 3{,}56$

Answer: $\log_3 50 \approx 3{,}56$: teller en noemer veranderen, maar het quotiënt blijft hetzelfde. Het maakt niet uit of je log of ln gebruikt.

Een exact antwoord met een slim grondtal

Bepaal de exacte waarde van $\log_4 8$.

Merk op dat 4 en 8 allebei machten van 2 zijn: $4 = 2^2$ en $8 = 2^3$ = Kies het nieuwe grondtal $c = 2$

Pas de formule voor verandering van grondtal toe met grondtal 2: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$ = $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$

Bereken de twee makkelijke logaritmen: $\log_2 8 = 3$ en $\log_2 4 = 2$ = $\dfrac{3}{2}$

Controleer: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ = Klopt

Answer: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ (exact, afronden is niet nodig)

Grondtal en argument verwisselen

Je weet dat $\log_2 5 \approx 2{,}3219$. Bepaal $\log_5 2$ zonder de log-toets. Rond af op 2 decimalen.

Schrijf beide logaritmen met de formule voor verandering van grondtal: $\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2}$ en $\log_5 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5}$ = De breuken zijn elkaars omgekeerde

Gebruik de regel van het omgekeerde: $\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$ = $\dfrac{1}{2{,}3219}$

Deel en rond af: $1 : 2{,}3219 \approx 0{,}43068$ = $\approx 0{,}43$

Answer: $\log_5 2 \approx 0{,}43$. Controle: $2{,}3219 \cdot 0{,}43068 \approx 1$

Drie decimalen en een verrassing

Bereken $\log_8 1000$ met natuurlijke logaritmen. Rond af op 3 decimalen en vergelijk daarna met $\log_2 10$.

Schrijf de formule op met ln: $\log_8 1000 = \dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$ = $\dfrac{\ln 1000}{\ln 8}$

Bepaal beide natuurlijke logaritmen: $\ln 1000 \approx 6{,}907755$ en $\ln 8 \approx 2{,}079442$ = Houd alle cijfers

Deel en rond af op 3 decimalen: $6{,}907755 : 2{,}079442 \approx 3{,}321928$ = $\approx 3{,}322$

Vergelijk met $\log_2 10$: Ook $\log_2 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}322$, want $\ln 1000 = 3 \ln 10$ en $\ln 8 = 3 \ln 2$, dus de factor 3 valt weg = $\log_8 1000 = \log_2 10$

Answer: $\log_8 1000 \approx 3{,}322$, precies hetzelfde getal als $\log_2 10$

Mistake: De breuk omgekeerd opschrijven: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Why: Het grondtal hoort in de noemer. Een snelle schatting laat de fout zien: $3^3 = 27$ en $3^4 = 81$, dus $\log_3 50$ moet tussen 3 en 4 liggen, niet onder 1.

Correct: Argument boven, grondtal onder: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Mistake: Van een quotiënt van logaritmen de logaritme van een quotiënt maken: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Why: De quotiëntregel zegt $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$. Die gaat over een verschil van logaritmen, niet over een deling.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ is een gewone deling van twee getallen: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Mistake: Het woord log wegstrepen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Why: log is een functie, geen factor. Je kunt het niet wegdelen zoals een gemeenschappelijk getal in een breuk.

Correct: Bereken eerst $\log 50$ en $\log 3$ en deel dan: $\approx 3{,}56$

Mistake: Te vroeg afronden: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Why: Als je $\log 50$ en $\log 3$ afrondt voordat je deelt, verandert de tweede decimaal van het antwoord.

Correct: Deel met alle cijfers van de rekenmachine (of typ log(50)/log(3) in één keer in) en rond alleen het eindantwoord af: $3{,}56$

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Bij jaarlijkse samengestelde rente wordt het geld elk jaar met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd. De verdubbelingstijd is een logaritme met die factor als grondtal.

Bij 3 % per jaar is de groeifactor $1{,}03$, dus het geld verdubbelt als $1{,}03^t = 2$, dat is na $t = \log_{1{,}03} 2$ jaar.

Binair zoeken in de informatica

Binair zoeken vindt een item in een gesorteerde lijst door de lijst steeds te halveren. Het aantal halveringen is een logaritme met grondtal 2, en computers berekenen die met verandering van grondtal.

Een gesorteerde lijst met 1024 namen vraagt $\log_2 1024 = 10$ halveringen, want $2^{10} = 1024$.

Bacteriën die elk uur verdrievoudigen

Sommige bacterieculturen verdrievoudigen elk uur. De tijd tot een bepaalde grootte is een logaritme met grondtal 3.

Na 2 uur is de cultuur $3^2 = 9$ keer zo groot, na 4 uur $3^4 = 81$ keer zo groot.

Q: Gebruik ik in de formule log of ln?

A: Allebei is goed. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ en $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ zijn allebei $\approx 3{,}56$. Gebruik alleen boven en onder dezelfde soort logaritme.

Q: Mijn rekenmachine heeft een $\log_b$-toets. Heb ik de formule dan nog nodig?

A: De toets geeft je het getal, maar de formule heb je nog steeds nodig voor exacte waarden zoals $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, om uitdrukkingen te vereenvoudigen, om vergelijkingen met de hand op te lossen en bij toetsen waar alleen log en ln mogen. De toets zelf rekent intern met verandering van grondtal.

Q: Op hoeveel decimalen moet ik afronden?

A: Op zoveel als de opgave vraagt. Staat er niets, dan zijn 2 tot 4 decimalen gebruikelijk (bijvoorbeeld $\log_3 50 \approx 3{,}56$ of $3{,}5609$). Rond altijd maar één keer af, helemaal aan het eind.

Q: Waarom is $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

A: Met verandering van grondtal is $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ en $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Als je de twee breuken vermenigvuldigt, valt alles tegen elkaar weg en blijft $1$ over. De twee logaritmen zijn dus elkaars omgekeerde.