Mijn rekenmachine heeft een $\log_b$-toets. Heb ik de formule dan nog nodig?

De toets geeft je het getal, maar de formule heb je nog steeds nodig voor exacte waarden zoals $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$, om uitdrukkingen te vereenvoudigen, om vergelijkingen met de hand op te lossen en bij toetsen waar alleen log en ln mogen. De toets zelf rekent intern met verandering van grondtal.

Op hoeveel decimalen moet ik afronden?

Op zoveel als de opgave vraagt. Staat er niets, dan zijn 2 tot 4 decimalen gebruikelijk (bijvoorbeeld $\log_3 50 \approx 3{,}56$ of $3{,}5609$). Rond altijd maar één keer af, helemaal aan het eind.

Waarom is $\log_b a \cdot \log_a b = 1$?

Met verandering van grondtal is $\log_b a = \dfrac{\log a}{\log b}$ en $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$. Als je de twee breuken vermenigvuldigt, valt alles tegen elkaar weg en blijft $1$ over. De twee logaritmen zijn dus elkaars omgekeerde.

Leermiddelen

Formule voor verandering van grondtal

Q: Gebruik ik in de formule log of ln?

Allebei is goed. $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ en $\dfrac{\ln 50}{\ln 3}$ zijn allebei $\approx 3{,}56$. Gebruik alleen boven en onder dezelfde soort logaritme.

Gebruik de formule voor verandering van grondtal om een logaritme met elk grondtal te berekenen met de log- of ln-toets van je rekenmachine.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De meeste rekenmachines hebben maar twee logaritmetoetsen: log (grondtal 10, de briggse logaritme) en ln (grondtal

e

, de natuurlijke logaritme). Met de formule voor verandering van grondtal bereken je een logaritme met elk grondtal met een van die toetsen:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Hierbij is

x > 0

b > 0

b \neq 1

, en het nieuwe grondtal

c

mag elk positief getal behalve

1

zijn. In de praktijk kies je

c = 10

c = e

\log_b x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b}

Waarom het werkt: stel

y = \log_b x

. Dan is

b^y = x

. Neem aan beide kanten de briggse logaritme:

\log(b^y) = \log x

. Met de machtsregel wordt dat

y \cdot \log b = \log x

, dus

y = \dfrac{\log x}{\log b}

Voorbeeld:

\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx \dfrac{1{,}69897}{0{,}47712} \approx 3{,}56

(afgerond op 2 decimalen). Controle:

3^{3{,}56} \approx 50

Een handig speciaal geval: als je het grondtal en het argument verwisselt, krijg je het omgekeerde,

\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Afronden: doe de hele deling op de rekenmachine en rond alleen het eindantwoord af, op zoveel decimalen als de opgave vraagt.

Probeer het meteen

Welke uitdrukking is gelijk aan

\log_5 20

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\log_3 50$ . Rond af op 2 decimalen.

Schrijf de formule voor verandering van grondtal op met grondtal 10

$\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3}$

Bepaal beide briggse logaritmen met de rekenmachine

$\log 50 \approx 1{,}69897$ en $\log 3 \approx 0{,}47712$ → Houd voorlopig alle cijfers

Deel en rond pas aan het eind af

$1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56088$ → $\approx 3{,}56$

Controleer met de definitie

$3^3 = 27$ en $3^4 = 81$ , dus het antwoord moet tussen 3 en 4 liggen. Ook is $3^{3{,}56} \approx 50$ → Klopt

Antwoord: $\log_3 50 \approx 3{,}56$

Veelgemaakte fouten

De breuk omgekeerd opschrijven: $\log_3 50 = \dfrac{\log 3}{\log 50} \approx 0{,}28$

Waarom het fout is: Het grondtal hoort in de noemer. Een snelle schatting laat de fout zien: $3^3 = 27$ en $3^4 = 81$ , dus $\log_3 50$ moet tussen 3 en 4 liggen, niet onder 1.

Correct: Argument boven, grondtal onder: $\log_3 50 = \dfrac{\log 50}{\log 3} \approx 3{,}56$

Van een quotiënt van logaritmen de logaritme van een quotiënt maken: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \log\dfrac{50}{3} \approx 1{,}22$

Waarom het fout is: De quotiëntregel zegt $\log 50 - \log 3 = \log \dfrac{50}{3}$ . Die gaat over een verschil van logaritmen, niet over een deling.

Correct: $\dfrac{\log 50}{\log 3}$ is een gewone deling van twee getallen: $1{,}69897 : 0{,}47712 \approx 3{,}56$

Het woord log wegstrepen: $\dfrac{\log 50}{\log 3} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$

Waarom het fout is: log is een functie, geen factor. Je kunt het niet wegdelen zoals een gemeenschappelijk getal in een breuk.

Correct: Bereken eerst $\log 50$ en $\log 3$ en deel dan: $\approx 3{,}56$

Te vroeg afronden: $\dfrac{1{,}70}{0{,}48} \approx 3{,}54$

Waarom het fout is: Als je $\log 50$ en $\log 3$ afrondt voordat je deelt, verandert de tweede decimaal van het antwoord.

Correct: Deel met alle cijfers van de rekenmachine (of typ log(50)/log(3) in één keer in) en rond alleen het eindantwoord af: $3{,}56$

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

b = 3

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

x	1	2	3	10	50
log(x) / log(b)	0	0,63093	1	2,0959	3,56088
ln(x) / ln(b)	0	0,63093	1	2,0959	3,56088

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke uitdrukking is gelijk aan $\log_5 20$ ?

Waarom het belangrijk is

Pas met de formule voor verandering van grondtal worden logaritmen echt bruikbaar:

Elk grondtal op elke rekenmachine: $\log_2$ , $\log_3$ of $\log_{1{,}05}$ worden één deling met de log- of ln-toets.
Geld en groei: de tijd waarin spaargeld verdubbelt bij 5 % rente per jaar is $\log_{1{,}05} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx 14{,}21$ jaar.
Informatica: binair zoeken en bits gebruiken grondtal 2. Zoeken in 1 000 000 gesorteerde items kost ongeveer $\log_2 1000000 \approx 19{,}93$ , dus 20 halveringen.
Biologie: een populatie die elk uur verdrievoudigt, heeft $\log_3 500 \approx 5{,}66$ uur nodig om 500 keer zo groot te worden.
Vergelijkingen oplossen: elke exponentiële vergelijking zoals $2^x = 50$ heeft als oplossing $x = \log_2 50$ , en die bereken je met deze formule.

De formule verklaart ook waarom

\log

\ln

genoeg zijn: elke andere logaritme is gewoon een van die twee gedeeld door een constante.

Toepassingen in de echte wereld

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Bij jaarlijkse samengestelde rente wordt het geld elk jaar met dezelfde groeifactor vermenigvuldigd. De verdubbelingstijd is een logaritme met die factor als grondtal.

Voorbeeld:

Bij 3 % per jaar is de groeifactor $1{,}03$ , dus het geld verdubbelt als $1{,}03^t = 2$ , dat is na $t = \log_{1{,}03} 2$ jaar.

1Probeer het zelf

Je zet 1000 € op een spaarrekening met 3 % rente per jaar, die één keer per jaar wordt bijgeschreven.

Na hoeveel jaar is het geld verdubbeld?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_{1{,}03} 2$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Binair zoeken in de informatica

Binair zoeken vindt een item in een gesorteerde lijst door de lijst steeds te halveren. Het aantal halveringen is een logaritme met grondtal 2, en computers berekenen die met verandering van grondtal.

Voorbeeld:

Een gesorteerde lijst met 1024 namen vraagt $\log_2 1024 = 10$ halveringen, want $2^{10} = 1024$ .

2Probeer het zelf

Een database bevat 1 000 000 gesorteerde records. Elke stap van binair zoeken halveert het aantal records dat overblijft.

Hoeveel halveringen zijn nodig om bij één record uit te komen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_2 1000000$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Bacteriën die elk uur verdrievoudigen

Sommige bacterieculturen verdrievoudigen elk uur. De tijd tot een bepaalde grootte is een logaritme met grondtal 3.

Voorbeeld:

Na 2 uur is de cultuur $3^2 = 9$ keer zo groot, na 4 uur $3^4 = 81$ keer zo groot.

3Probeer het zelf

Een cultuur verdrievoudigt elk uur. Een lab wil dat ze 500 keer zo groot wordt als aan het begin.

Hoeveel uur duurt dat?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $\log_3 500$ als quotiënt van twee briggse logaritmen (typ de uitdrukking in de vorm log(a)/log(b), niet de afgeronde waarde):

Belangrijke punten

1Formule voor verandering van grondtal: $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ voor elk nieuw grondtal $c > 0$ , $c \neq 1$
2Op de rekenmachine neem je $c = 10$ of $c = e$ : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} = \dfrac{\ln x}{\ln b}$ , beide geven hetzelfde antwoord
3Het argument komt boven, het grondtal onder
4Het werkt omdat uit $b^y = x$ met de machtsregel $y \log b = \log x$ volgt, dus $y = \dfrac{\log x}{\log b}$
5Grondtal en argument verwisselen geeft het omgekeerde: $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$
6Deel met alle cijfers en rond alleen het eindantwoord af, op het gevraagde aantal decimalen

Veelgestelde vragen

Allebei is goed.

\dfrac{\log 50}{\log 3}

\dfrac{\ln 50}{\ln 3}

zijn allebei

\approx 3{,}56

. Gebruik alleen boven en onder dezelfde soort logaritme.

Woordenlijst

Formule voor verandering van grondtal: De regel $\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}$ die een logaritme herschrijft met een nieuw grondtal $c$
Grondtal: Het getal $b$ in $\log_b x$ , het getal dat tot een macht wordt verheven; het moet positief zijn en niet $1$
Argument: Het getal $x$ in $\log_b x$ waarvan je de logaritme neemt; het moet positief zijn
Briggse logaritme: De logaritme met grondtal 10, geschreven als $\log x$ (de log-toets)
Natuurlijke logaritme: De logaritme met grondtal $e \approx 2{,}718$ , geschreven als $\ln x$ (de ln-toets)
Omgekeerde: Het getal $\dfrac{1}{a}$ bij een getal $a \neq 0$ ; $\log_b a$ en $\log_a b$ zijn elkaars omgekeerde

Formulekaart

Verandering van grondtal (elk grondtal)

\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_c b}

Elk nieuw grondtal $c > 0$, $c \neq 1$

Met briggse logaritmen

\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}

Met de log-toets

Met natuurlijke logaritmen

\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}

Met de ln-toets, zelfde uitkomst

Regel van het omgekeerde

\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}

Grondtal en argument verwisselen keert de waarde om

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Binair zoeken in de informatica

Bacteriën die elk uur verdrievoudigen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Verandering van grondtal (elk grondtal)

Met briggse logaritmen

Met natuurlijke logaritmen

Regel van het omgekeerde

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)