Briggse logaritme (grondtal 10)

Leer de briggse logaritme log x met grondtal 10: exacte waarden voor machten van 10, logaritmen schatten tussen twee gehele getallen en de rekenmachine gebruiken.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10. Hij wordt zo vaak gebruikt dat we het grondtal weglaten:
log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x
log⁡x\log x beantwoordt de vraag: **"10 tot welke macht geeft xx?"**
log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x
Machten van 10 hebben gehele logaritmen:
xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
log⁡x\log x−3-3−2-2−1-10011223366
Dus log⁡(10n)=n\log(10^n) = n voor elke exponent nn.
Getallen tussen twee machten van 10 hebben een logaritme tussen twee gehele getallen. Omdat 10<50<10010 < 50 < 100, weten we dat 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2. De rekenmachine (toets LOG) geeft log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699.
Het argument moet positief zijn: log⁡0\log 0 en log⁡(−5)\log(-5) bestaan niet.

Probeer het meteen

Wat is log⁡10 000\log 10\,000?

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal log⁡100 000\log 100\,000 en log⁡1\log 1 zonder rekenmachine.

1

Stel de vraag voor 100 000

10 tot welke macht geeft 100 000100\,000? → 10n=100 00010^n = 100\,000

2

Tel de nullen

100 000100\,000 is een 1 met 5 nullen, dus 100 000=105100\,000 = 10^5 → log⁡100 000=5\log 100\,000 = 5

3

Stel de vraag voor 1

Elk getal behalve nul tot de macht 0 is 1: 100=110^0 = 1 → log⁡1=0\log 1 = 0

Veelgemaakte fouten

Denken dat log⁡50=1,5\log 50 = 1{,}5 omdat 50 ongeveer halverwege 10 en 100 ligt

Waarom het fout is: Een logaritmische schaal is niet gelijkmatig. Elke stap van 1 in de logaritme vermenigvuldigt het getal met 10, dus het midden tussen 10 en 100 is 101,5≈31,610^{1{,}5} \approx 31{,}6.

Correct: log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699. Schat eerst de twee gehele getallen (1<log⁡50<21 < \log 50 < 2) en gebruik dan de rekenmachine.

log⁡0,01=2\log 0{,}01 = 2 schrijven of zeggen dat de logaritme van een kommagetal niet bestaat

Waarom het fout is: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}, dus de exponent is negatief. Logaritmen van getallen tussen 0 en 1 bestaan wel, ze zijn alleen negatief.

Correct: log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2, log⁡0,1=−1\log 0{,}1 = -1, log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3.

log⁡0=0\log 0 = 0 of log⁡(−100)=−2\log(-100) = -2 schrijven

Waarom het fout is: 10n10^n is positief voor elke exponent nn. Geen enkele macht van 10 is gelijk aan 0 of aan een negatief getal.

Correct: log⁡0\log 0 en log⁡(−100)\log(-100) bestaan niet, de rekenmachine geeft een foutmelding. Onthoud: log⁡1=0\log 1 = 0, niet log⁡0\log 0.

Alle cijfers tellen: log⁡1 000=4\log 1\,000 = 4

Waarom het fout is: 1 0001\,000 heeft 4 cijfers, maar slechts 3 nullen. De logaritme telt de factoren 10, niet de cijfers.

Correct: log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 omdat 103=1 00010^3 = 1\,000. Een geheel getal met dd cijfers heeft een logaritme tussen d−1d - 1 en dd.

Interactieve visualisatie

10³ = 1000
3

Zie hoe machten van een getal groeien op de getallenlijn. Verander het grondtal en de exponent.

Staafdiagram

Briggse logaritme van x

0,01(-2)
0,1(-1)
1(0)
5(0,7)
10(1)
50(1,7)
100(2)
1000(3)

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk

Wat is log⁡10 000\log 10\,000?

Waarom het belangrijk is

Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, dus de briggse logaritme laat je in één oogopslag zien hoe groot een getal is:
  • Ordes van grootte: het gehele deel van log⁡x\log x is de exponent van xx in wetenschappelijke notatie. log⁡(3 000)≈3,477\log(3\,000) \approx 3{,}477 en 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3.
  • Scheikunde: de pH van een oplossing is −log⁡-\log van de concentratie waterstofionen.
  • Geluid: decibel gebruikt 10log⁡10 \log van een verhouding van intensiteiten.
  • Aardbevingen en sterren: de schaal van Richter en de helderheidsschalen van sterren zijn gebouwd op logaritmen met grondtal 10.
  • Grafieken in de wetenschap: een logaritmische schaal zet 11, 1010, 100100 en 1 000 0001\,000\,000 op één leesbare as.
Als je de logaritmen van machten van 10 uit je hoofd kent, controleer je elk antwoord van de rekenmachine in een paar seconden.

Toepassingen in de echte wereld

Ordes van grootte

Wetenschappers vergelijken enorme en piepkleine grootheden via hun orde van grootte: het gehele deel van hun briggse logaritme.

Voorbeeld:

Een mensenhaar is ongeveer 0,00010{,}0001 m dik, en log⁡0,0001=−4\log 0{,}0001 = -4. De aarde is ongeveer 10 000 00010\,000\,000 m breed, en log⁡10 000 000=7\log 10\,000\,000 = 7. Het verschil van 11 ordes van grootte betekent dat de aarde ongeveer 101110^{11} keer zo breed is.

1Probeer het zelf

De wereldbevolking is ongeveer 8 000 000 0008\,000\,000\,000 mensen.

Wat is de orde van grootte, dus het gehele deel van log⁡8 000 000 000\log 8\,000\,000\,000?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het gehele deel van de logaritme:

pH in de scheikunde

De pH van een oplossing is $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen in mol/L is. Een lagere pH betekent zuurder.

Voorbeeld:

Zuiver water heeft [H+]=0,0000001=10−7[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}, dus pH=−(−7)=7\text{pH} = -(-7) = 7 (neutraal).

2Probeer het zelf

Een monster sinaasappelsap heeft [H+]=0,0001[H^+] = 0{,}0001 mol/L.

Wat is de pH?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken −log⁡0,0001-\log 0{,}0001:

Decibel en geluid

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, waarbij $\dfrac{I}{I_0}$ zegt hoeveel keer sterker een geluid is dan het zachtste geluid dat we kunnen horen.

Voorbeeld:

Fluisteren is ongeveer 100100 keer zo sterk als de gehoordrempel: L=10log⁡100=10×2=20L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20 dB.

3Probeer het zelf

Een normaal gesprek is ongeveer 1 000 0001\,000\,000 keer zo intens als de gehoordrempel.

Wat is het geluidsniveau in decibel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken 10log⁡1 000 00010 \log 1\,000\,000:

Belangrijke punten

  • 1De briggse logaritme heeft grondtal 10: log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x, en log⁡x=n\log x = n betekent 10n=x10^n = x
  • 2Machten van 10 hebben gehele logaritmen: log⁡(10n)=n\log(10^n) = n, bijvoorbeeld log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 en log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2
  • 3log⁡1=0\log 1 = 0 en log⁡10=1\log 10 = 1; getallen tussen 0 en 1 hebben een negatieve logaritme
  • 4Om log⁡x\log x te schatten zoek je de machten van 10 rond xx: 10<50<10010 < 50 < 100 geeft 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2
  • 5Het gehele deel van log⁡x\log x is de orde van grootte, de exponent van xx in wetenschappelijke notatie
  • 6Gebruik de toets LOG voor de decimalen (log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699); log⁡0\log 0 en logaritmen van negatieve getallen bestaan niet

Veelgestelde vragen

Hij is genoemd naar Henry Briggs, die rond 1620 de eerste tabellen met logaritmen met grondtal 10 maakte. Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, en elke wetenschappelijke rekenmachine heeft de toets LOG. Omdat hij zo vaak wordt gebruikt, laten we het grondtal weg: log⁡x\log x betekent log⁡10x\log_{10} x.
Hij is genoemd naar Henry Briggs, die rond 1620 de eerste tabellen met logaritmen met grondtal 10 maakte. Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, en elke wetenschappelijke rekenmachine heeft de toets LOG. Omdat hij zo vaak wordt gebruikt, laten we het grondtal weg: log⁡x\log x betekent log⁡10x\log_{10} x.
Hij gebruikt een snelle numerieke methode om de exponent nn met 10n=5010^n = 50 te vinden. Je kunt het antwoord controleren: 101,699≈5010^{1{,}699} \approx 50. De schatting 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2 laat zien of je de juiste toetsen hebt ingedrukt.
Getallen tussen 0 en 1 krijg je met negatieve exponenten: 0,01=1100=10−20{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}. Dus log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2. Alleen het argument moet positief zijn, de logaritme zelf kan elk reëel getal zijn.
Nee. LOG gebruikt grondtal 10, LN gebruikt een ander grondtal, het getal e≈2,718e \approx 2{,}718. Zo is log⁡100=2\log 100 = 2, maar ln⁡100≈4,605\ln 100 \approx 4{,}605. De les Natuurlijke logaritme (ln) behandelt die toets.

Woordenlijst

Briggse logaritme
De logaritme met grondtal 10, geschreven als log⁡x\log x: de exponent nn met 10n=x10^n = x
Grondtal
Het getal dat tot een macht wordt verheven; bij de briggse logaritme is dat 10
Argument
Het getal waarvan je de logaritme neemt, de xx in log⁡x\log x; het moet positief zijn
Macht van 10
Een getal van de vorm 10n10^n, zoals 1 000=1031\,000 = 10^3 of 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}
Orde van grootte
Het gehele deel van log⁡x\log x, dus de exponent van xx in wetenschappelijke notatie
Wetenschappelijke notatie
Een getal schrijven als a×10na \times 10^n met 1≤a<101 \le a < 10, zoals 3 000=3×1033\,000 = 3 \times 10^3

Formulekaart

Briggse logaritme

log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x

Het grondtal 10 schrijf je niet op

Logaritme van een macht van 10

log⁡(10n)=n\log(10^n) = n

Bijvoorbeeld $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Bijzondere waarden

log⁡1=0,log⁡10=1\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Omdat $10^0 = 1$ en $10^1 = 10$

Schatten

10n≤x<10n+1⇒n≤log⁡x<n+110^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

De machten van 10 rond $x$ geven het gehele deel

Terug naar het getal

10log⁡x=x10^{\log x} = x

Bijvoorbeeld $10^{1{,}699} \approx 50$

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Gevorderd25 min

Definitie van een logaritme

Gevorderd25 min

Natuurlijke logaritme (ln)

Gevorderd25 min

Grafieken van logaritmische functies

Gevorderd30 min