Docentenhandleiding: Briggse logaritme (grondtal 10)

Leer de briggse logaritme log x met grondtal 10: exacte waarden voor machten van 10, logaritmen schatten tussen twee gehele getallen en de rekenmachine gebruiken.

Les presenterenStudentpagina bekijken

Gebruik deze les in de klas

Gratis, leerlingen hebben geen account nodig.

Delen met leerlingen

Leerlingen openen de les en oefenen met directe feedback.

Werkblad om te printen

Alle oefenopgaven op papier, met een apart antwoordblad.

Werkblad Antwoorden

Klassenquiz

10 vragen over Logaritmen. Leerlingen doen mee met een naam, jij ziet alle scores.

Voor docenten

Leerdoelen

$\log x$ lezen als de logaritme met grondtal 10
$\log(10^n) = n$ bepalen voor machten van 10 van $0{,}001$ tot $1\,000\,000$ zonder rekenmachine
De logaritme van elk positief getal schatten tussen twee gehele getallen
De toets LOG van de rekenmachine gebruiken en het antwoord met een schatting controleren
Het gehele deel van $\log x$ koppelen aan wetenschappelijke notatie en ordes van grootte

Vereisten

• Introductie tot logaritmen en Definitie van een logaritme: $\log_b y = x \iff b^x = y$
• Machten van 10, ook met negatieve exponenten ( $10^{-2} = 0{,}01$ )
• Wetenschappelijke notatie ( $3\,000 = 3 \times 10^3$ )

Discussiestarters

1. Waarom denk je dat juist logaritmen met grondtal 10 als eerste in tabellen werden gedrukt en op rekenmachines kwamen?
2. Als $\log x$ met 1 toeneemt, wat gebeurt er dan met $x$ ? En als hij met 2 toeneemt?
3. $50$ ligt ongeveer halverwege $10$ en $100$ . Waarom is $\log 50$ dan niet $1{,}5$ ?
4. Hoe zou je het aantal cijfers van een groot geheel getal uit zijn logaritme kunnen raden?
5. Waar in de wetenschap of in het dagelijks leven heb je een schaal gezien waarbij elke stap 10 keer zoveel betekent?

Veelvoorkomende misvattingen

De logaritme van een getal tussen 10 en 100 groeit gelijkmatig, dus $\log 50 = 1{,}5$

Herstel: Laat de getallenlijn met logaritmische schaal zien: gelijke stappen betekenen vermenigvuldigen met 10. Bereken $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ met de rekenmachine: het midden van de schaal is 31,6 en niet 55.

Logaritmen van kommagetallen bestaan niet, of $\log 0{,}01 = 2$

Herstel: Zet het patroon van de tabel terug voort: $\log 100 = 2$ , $\log 10 = 1$ , $\log 1 = 0$ , $\log 0{,}1 = ?$ . Elke deling door 10 trekt er 1 af, dus daarna volgen $-1$ en $-2$ .

$\log 0 = 0$

Herstel: Zet $\log 1 = 0$ (omdat $10^0 = 1$ ) naast de vergelijking $10^n = 0$ , die geen oplossing heeft. Laat leerlingen log(0) intypen op de rekenmachine en de foutmelding verklaren.

De logaritme is het aantal cijfers

Herstel: Vergelijk $\log 10 = 1$ (2 cijfers) en $\log 999 \approx 2{,}9996$ (3 cijfers). Een geheel getal met $d$ cijfers heeft een logaritme tussen $d - 1$ en $d$ .

DifferentiatieIdeeën

Voor leerlingen met moeite:

• Beginnen met een tabel van twee rijen, machten van 10 en hun logaritmen, die leerlingen invullen van $10^{-3}$ tot $10^6$
• Eerst alleen gehele logaritmen gebruiken en daarna één schatting toevoegen zoals $1 < \log 50 < 2$
• Nullen en decimalen laten tellen met een plaatswaardekaart voordat de logaritme wordt opgeschreven

Voor leerlingen op niveau:

• Logaritmen schatten tussen twee gehele getallen en ze controleren met de rekenmachine
• De orde van grootte bepalen van grootheden in wetenschappelijke notatie
• Met $10^{\log x} = x$ van de logaritme terugrekenen naar het getal

Voor gevorderde leerlingen:

• Uitleggen waarom een geheel getal met $d$ cijfers een logaritme tussen $d - 1$ en $d$ heeft
• $\log 2$ , $\log 20$ en $\log 200$ op de rekenmachine vergelijken en het patroon beschrijven (uitgelegd in de les Productregel voor logaritmen)
• Uitzoeken hoe men vóór de rekenmachine met logaritmetabellen grote getallen vermenigvuldigde

Standaarduitlijning

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
De oplossing van een exponentiële vergelijking schrijven als logaritme met grondtal 2, 10 of e, en de logaritme met technologie berekenen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Het inverse verband tussen machten en logaritmen begrijpen
8.EE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.A.3)
Getallen geschreven als één cijfer maal een gehele macht van 10 gebruiken om zeer grote of zeer kleine hoeveelheden te schatten

Lesbronnen

visualGetallenlijn met logaritmische schaal
Machten van 10 van 0,001 tot 1 000 000 op gelijke afstanden, zodat elke stap 1 bij de logaritme optelt
visualStaafdiagram van log x
Vergelijkt de logaritmen van 0,01, 0,1, 1, 5, 10, 50, 100 en 1000, ook de negatieve
activityEerst schatten, dan LOG
In tweetallen schrijven leerlingen de twee gehele getallen rond een logaritme op, controleren met de rekenmachine en krijgen een punt als de schatting klopt
worksheetJacht op ordes van grootte
Echte grootheden zoeken (grootte van een cel, afstanden, bevolkingen) en ze ordenen op het gehele deel van hun logaritme

Lesinhoud

Alles wat leerlingen zien: definitie, voorbeelden, veelgemaakte fouten, toepassingen. Tik om te openen.

Definitie

De briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10. Hij wordt zo vaak gebruikt dat we het grondtal weglaten:

\log x = \log_{10} x

\log x

beantwoordt de vraag: **"10 tot welke macht geeft

x

?"**

\log x = n \iff 10^n = x

Machten van 10 hebben gehele logaritmen:

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$	$1\,000\,000$
$\log x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$

Dus

\log(10^n) = n

voor elke exponent

n

Getallen tussen twee machten van 10 hebben een logaritme tussen twee gehele getallen. Omdat

10 < 50 < 100

, weten we dat

1 < \log 50 < 2

. De rekenmachine (toets LOG) geeft

\log 50 \approx 1{,}699

Het argument moet positief zijn:

\log 0

\log(-5)

bestaan niet.

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal $\log 100\,000$ en $\log 1$ zonder rekenmachine.

Stel de vraag voor 100 000

10 tot welke macht geeft $100\,000$ ? → $10^n = 100\,000$

Tel de nullen

$100\,000$ is een 1 met 5 nullen, dus $100\,000 = 10^5$ → $\log 100\,000 = 5$

Stel de vraag voor 1

Elk getal behalve nul tot de macht 0 is 1: $10^0 = 1$ → $\log 1 = 0$

Antwoord: $\log 100\,000 = 5$ en $\log 1 = 0$

Veelgemaakte fouten

Denken dat $\log 50 = 1{,}5$ omdat 50 ongeveer halverwege 10 en 100 ligt

Waarom het fout is: Een logaritmische schaal is niet gelijkmatig. Elke stap van 1 in de logaritme vermenigvuldigt het getal met 10, dus het midden tussen 10 en 100 is $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ .

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$ . Schat eerst de twee gehele getallen ( $1 < \log 50 < 2$ ) en gebruik dan de rekenmachine.

$\log 0{,}01 = 2$ schrijven of zeggen dat de logaritme van een kommagetal niet bestaat

Waarom het fout is: $0{,}01 = 10^{-2}$ , dus de exponent is negatief. Logaritmen van getallen tussen 0 en 1 bestaan wel, ze zijn alleen negatief.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$ , $\log 0{,}1 = -1$ , $\log 0{,}001 = -3$ .

$\log 0 = 0$ of $\log(-100) = -2$ schrijven

Waarom het fout is: $10^n$ is positief voor elke exponent $n$ . Geen enkele macht van 10 is gelijk aan 0 of aan een negatief getal.

Correct: $\log 0$ en $\log(-100)$ bestaan niet, de rekenmachine geeft een foutmelding. Onthoud: $\log 1 = 0$ , niet $\log 0$ .

Alle cijfers tellen: $\log 1\,000 = 4$

Waarom het fout is: $1\,000$ heeft 4 cijfers, maar slechts 3 nullen. De logaritme telt de factoren 10, niet de cijfers.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ omdat $10^3 = 1\,000$ . Een geheel getal met $d$ cijfers heeft een logaritme tussen $d - 1$ en $d$ .

Waarom het belangrijk is

Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, dus de briggse logaritme laat je in één oogopslag zien hoe groot een getal is:

Ordes van grootte: het gehele deel van $\log x$ is de exponent van $x$ in wetenschappelijke notatie. $\log(3\,000) \approx 3{,}477$ en $3\,000 = 3 \times 10^3$ .
Scheikunde: de pH van een oplossing is $-\log$ van de concentratie waterstofionen.
Geluid: decibel gebruikt $10 \log$ van een verhouding van intensiteiten.
Aardbevingen en sterren: de schaal van Richter en de helderheidsschalen van sterren zijn gebouwd op logaritmen met grondtal 10.
Grafieken in de wetenschap: een logaritmische schaal zet $1$ , $10$ , $100$ en $1\,000\,000$ op één leesbare as.

Als je de logaritmen van machten van 10 uit je hoofd kent, controleer je elk antwoord van de rekenmachine in een paar seconden.

Toepassingen in de echte wereld

Ordes van grootte

Wetenschappers vergelijken enorme en piepkleine grootheden via hun orde van grootte: het gehele deel van hun briggse logaritme.

Voorbeeld:

Een mensenhaar is ongeveer $0{,}0001$ m dik, en $\log 0{,}0001 = -4$ . De aarde is ongeveer $10\,000\,000$ m breed, en $\log 10\,000\,000 = 7$ . Het verschil van 11 ordes van grootte betekent dat de aarde ongeveer $10^{11}$ keer zo breed is.

1Probeer het zelf

De wereldbevolking is ongeveer $8\,000\,000\,000$ mensen.

Wat is de orde van grootte, dus het gehele deel van $\log 8\,000\,000\,000$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het gehele deel van de logaritme:

pH in de scheikunde

De pH van een oplossing is $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen in mol/L is. Een lagere pH betekent zuurder.

Voorbeeld:

Zuiver water heeft $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$ , dus $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutraal).

2Probeer het zelf

Een monster sinaasappelsap heeft $[H^+] = 0{,}0001$ mol/L.

Wat is de pH?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $-\log 0{,}0001$ :

Decibel en geluid

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, waarbij $\dfrac{I}{I_0}$ zegt hoeveel keer sterker een geluid is dan het zachtste geluid dat we kunnen horen.

Voorbeeld:

Fluisteren is ongeveer $100$ keer zo sterk als de gehoordrempel: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

3Probeer het zelf

Een normaal gesprek is ongeveer $1\,000\,000$ keer zo intens als de gehoordrempel.

Wat is het geluidsniveau in decibel?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $10 \log 1\,000\,000$ :

Belangrijke punten

1De briggse logaritme heeft grondtal 10: $\log x = \log_{10} x$ , en $\log x = n$ betekent $10^n = x$
2Machten van 10 hebben gehele logaritmen: $\log(10^n) = n$ , bijvoorbeeld $\log 1\,000 = 3$ en $\log 0{,}01 = -2$
3 $\log 1 = 0$ en $\log 10 = 1$ ; getallen tussen 0 en 1 hebben een negatieve logaritme
4Om $\log x$ te schatten zoek je de machten van 10 rond $x$ : $10 < 50 < 100$ geeft $1 < \log 50 < 2$
5Het gehele deel van $\log x$ is de orde van grootte, de exponent van $x$ in wetenschappelijke notatie
6Gebruik de toets LOG voor de decimalen ( $\log 50 \approx 1{,}699$ ); $\log 0$ en logaritmen van negatieve getallen bestaan niet

Veelgestelde vragen

Waarom heet de logaritme met grondtal 10 de briggse logaritme?

Hij is genoemd naar Henry Briggs, die rond 1620 de eerste tabellen met logaritmen met grondtal 10 maakte. Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, en elke wetenschappelijke rekenmachine heeft de toets LOG. Omdat hij zo vaak wordt gebruikt, laten we het grondtal weg:

\log x

betekent

\log_{10} x

Hoe vindt de rekenmachine $\log 50$ ?

Hij gebruikt een snelle numerieke methode om de exponent

n

met

10^n = 50

te vinden. Je kunt het antwoord controleren:

10^{1{,}699} \approx 50

. De schatting

1 < \log 50 < 2

laat zien of je de juiste toetsen hebt ingedrukt.

Waarom zijn logaritmen van kommagetallen zoals $0{,}01$ negatief?

Getallen tussen 0 en 1 krijg je met negatieve exponenten:

0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}

. Dus

\log 0{,}01 = -2

. Alleen het argument moet positief zijn, de logaritme zelf kan elk reëel getal zijn.

Is $\log$ op mijn rekenmachine hetzelfde als $\ln$ ?

Nee. LOG gebruikt grondtal 10, LN gebruikt een ander grondtal, het getal

e \approx 2{,}718

. Zo is

\log 100 = 2

, maar

\ln 100 \approx 4{,}605

. De les Natuurlijke logaritme (ln) behandelt die toets.

Woordenlijst

Briggse logaritme: De logaritme met grondtal 10, geschreven als $\log x$ : de exponent $n$ met $10^n = x$
Grondtal: Het getal dat tot een macht wordt verheven; bij de briggse logaritme is dat 10
Argument: Het getal waarvan je de logaritme neemt, de $x$ in $\log x$ ; het moet positief zijn
Macht van 10: Een getal van de vorm $10^n$ , zoals $1\,000 = 10^3$ of $0{,}01 = 10^{-2}$
Orde van grootte: Het gehele deel van $\log x$ , dus de exponent van $x$ in wetenschappelijke notatie
Wetenschappelijke notatie: Een getal schrijven als $a \times 10^n$ met $1 \le a < 10$ , zoals $3\,000 = 3 \times 10^3$

Formulekaart

Briggse logaritme

\log x = n \iff 10^n = x

Het grondtal 10 schrijf je niet op

Logaritme van een macht van 10

\log(10^n) = n

Bijvoorbeeld $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Bijzondere waarden

\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Omdat $10^0 = 1$ en $10^1 = 10$

Schatten

10^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

De machten van 10 rond $x$ geven het gehele deel

Terug naar het getal

10^{\log x} = x

Bijvoorbeeld $10^{1{,}699} \approx 50$

Meer over dit onderwerp

Docentenhandleiding: Briggse logaritme (grondtal 10)

Gebruik deze les in de klas

Voor docenten

Voor leerlingen met moeite:

Voor leerlingen op niveau:

Voor gevorderde leerlingen:

Lesinhoud

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Ordes van grootte

pH in de scheikunde

Decibel en geluid

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Briggse logaritme

Logaritme van een macht van 10

Bijzondere waarden

Schatten

Terug naar het getal

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Natuurlijke logaritme (ln)

Grafieken van logaritmische functies