Logaritmen van machten van 10

Bepaal $\log 100\,000$ en $\log 1$ zonder rekenmachine.

Stel de vraag voor 100 000: 10 tot welke macht geeft $100\,000$? = $10^n = 100\,000$

Tel de nullen: $100\,000$ is een 1 met 5 nullen, dus $100\,000 = 10^5$ = $\log 100\,000 = 5$

Stel de vraag voor 1: Elk getal behalve nul tot de macht 0 is 1: $10^0 = 1$ = $\log 1 = 0$

Answer: $\log 100\,000 = 5$ en $\log 1 = 0$

Logaritmen van kleine kommagetallen

Bepaal $\log 0{,}001$.

Schrijf het kommagetal als breuk: $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ = $\dfrac{1}{10^3}$

Gebruik een negatieve exponent: $\dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ = $0{,}001 = 10^{-3}$

Lees de exponent af: $\log(10^{-3}) = -3$ = $\log 0{,}001 = -3$

Answer: $\log 0{,}001 = -3$. Getallen tussen 0 en 1 hebben een negatieve logaritme.

log 50 schatten

Tussen welke twee gehele getallen ligt $\log 50$? Bepaal hem daarna met de rekenmachine.

Zoek de machten van 10 rond 50: $10 < 50 < 100$, dus $10^1 < 50 < 10^2$ = Buren: $10$ en $100$

Neem de logaritmen van de buren: $\log 10 = 1$ en $\log 100 = 2$ = $1 < \log 50 < 2$

Gebruik de toets LOG: Typ log(50) = $\log 50 \approx 1{,}699$

Controleer de grootte: Het midden op een logaritmische schaal is $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, niet 55. Omdat $50 > 31{,}6$, ligt $\log 50$ boven $1{,}5$ = $1{,}699$ klopt

Answer: $1 < \log 50 < 2$ en $\log 50 \approx 1{,}699$

Logaritmen en wetenschappelijke notatie

Schrijf $3\,000$ in wetenschappelijke notatie, voorspel het gehele deel van $\log 3\,000$ en controleer het met de rekenmachine.

Schrijf het in wetenschappelijke notatie: $3\,000 = 3 \times 10^3$ = Exponent: $3$

Zoek de machten van 10 eromheen: $10^3 = 1\,000 \le 3\,000 < 10\,000 = 10^4$ = $3 \le \log 3\,000 < 4$

Gebruik de toets LOG: Typ log(3000) = $\log 3\,000 \approx 3{,}477$

Vergelijk: Het gehele deel $3$ is de exponent uit de wetenschappelijke notatie = De orde van grootte is $3$

Answer: $\log 3\,000 \approx 3{,}477$: geheel deel $3$, hetzelfde als de exponent in $3 \times 10^3$

Van de logaritme terug naar het getal

Een positief getal $x$ heeft $\log x = 2{,}5$. Tussen welke machten van 10 ligt $x$, en hoe groot is $x$ (op 2 decimalen)?

Herschrijf met machten van 10: $\log x = 2{,}5$ betekent $x = 10^{2{,}5}$ = $x = 10^{2{,}5}$

Plaats de exponent: $2 < 2{,}5 < 3$, dus $10^2 < x < 10^3$ = $100 < x < 1\,000$

Gebruik de rekenmachine: Typ 10^2,5 = $x \approx 316{,}23$

Answer: $x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}23$, een getal tussen $100$ en $1\,000$ (3 cijfers)

Mistake: Denken dat $\log 50 = 1{,}5$ omdat 50 ongeveer halverwege 10 en 100 ligt

Why: Een logaritmische schaal is niet gelijkmatig. Elke stap van 1 in de logaritme vermenigvuldigt het getal met 10, dus het midden tussen 10 en 100 is $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$. Schat eerst de twee gehele getallen ($1 < \log 50 < 2$) en gebruik dan de rekenmachine.

Mistake: $\log 0{,}01 = 2$ schrijven of zeggen dat de logaritme van een kommagetal niet bestaat

Why: $0{,}01 = 10^{-2}$, dus de exponent is negatief. Logaritmen van getallen tussen 0 en 1 bestaan wel, ze zijn alleen negatief.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$, $\log 0{,}1 = -1$, $\log 0{,}001 = -3$.

Mistake: $\log 0 = 0$ of $\log(-100) = -2$ schrijven

Why: $10^n$ is positief voor elke exponent $n$. Geen enkele macht van 10 is gelijk aan 0 of aan een negatief getal.

Correct: $\log 0$ en $\log(-100)$ bestaan niet, de rekenmachine geeft een foutmelding. Onthoud: $\log 1 = 0$, niet $\log 0$.

Mistake: Alle cijfers tellen: $\log 1\,000 = 4$

Why: $1\,000$ heeft 4 cijfers, maar slechts 3 nullen. De logaritme telt de factoren 10, niet de cijfers.

Correct: $\log 1\,000 = 3$ omdat $10^3 = 1\,000$. Een geheel getal met $d$ cijfers heeft een logaritme tussen $d - 1$ en $d$.

Ordes van grootte

Wetenschappers vergelijken enorme en piepkleine grootheden via hun orde van grootte: het gehele deel van hun briggse logaritme.

Een mensenhaar is ongeveer $0{,}0001$ m dik, en $\log 0{,}0001 = -4$. De aarde is ongeveer $10\,000\,000$ m breed, en $\log 10\,000\,000 = 7$. Het verschil van 11 ordes van grootte betekent dat de aarde ongeveer $10^{11}$ keer zo breed is.

pH in de scheikunde

De pH van een oplossing is $\text{pH} = -\log[H^+]$, waarbij $[H^+]$ de concentratie waterstofionen in mol/L is. Een lagere pH betekent zuurder.

Zuiver water heeft $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$, dus $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutraal).

Decibel en geluid

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, waarbij $\dfrac{I}{I_0}$ zegt hoeveel keer sterker een geluid is dan het zachtste geluid dat we kunnen horen.

Fluisteren is ongeveer $100$ keer zo sterk als de gehoordrempel: $L = 10 \log 100 = 10 \times 2 = 20$ dB.

Q: Waarom heet de logaritme met grondtal 10 de briggse logaritme?

A: Hij is genoemd naar Henry Briggs, die rond 1620 de eerste tabellen met logaritmen met grondtal 10 maakte. Ons getallenstelsel is gebaseerd op 10, en elke wetenschappelijke rekenmachine heeft de toets LOG. Omdat hij zo vaak wordt gebruikt, laten we het grondtal weg: $\log x$ betekent $\log_{10} x$.

Q: Hoe vindt de rekenmachine $\log 50$?

A: Hij gebruikt een snelle numerieke methode om de exponent $n$ met $10^n = 50$ te vinden. Je kunt het antwoord controleren: $10^{1{,}699} \approx 50$. De schatting $1 < \log 50 < 2$ laat zien of je de juiste toetsen hebt ingedrukt.

Q: Waarom zijn logaritmen van kommagetallen zoals $0{,}01$ negatief?

A: Getallen tussen 0 en 1 krijg je met negatieve exponenten: $0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$. Dus $\log 0{,}01 = -2$. Alleen het argument moet positief zijn, de logaritme zelf kan elk reëel getal zijn.

Q: Is $\log$ op mijn rekenmachine hetzelfde als $\ln$?

A: Nee. LOG gebruikt grondtal 10, LN gebruikt een ander grondtal, het getal $e \approx 2{,}718$. Zo is $\log 100 = 2$, maar $\ln 100 \approx 4{,}605$. De les Natuurlijke logaritme (ln) behandelt die toets.