De pH van frisdrank

Een frisdrank heeft een waterstofionenconcentratie van $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Bereken de pH, afgerond op twee decimalen.

Schrijf de formule op: $\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ = $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Bereken de briggse logaritme: $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$ = $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Pas het minteken toe: $\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$ = $3{,}49485$

Rond af op twee decimalen: De derde decimaal is $4$, dus rond je naar beneden af = $\text{pH} \approx 3{,}49$

Answer: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (zuur, want lager dan 7)

Het geluidsniveau van een stofzuiger

Een stofzuiger maakt geluid dat $5\,000\,000$ keer zo intens is als de gehoordrempel, dus $\frac{I}{I_0} = 5\,000\,000$. Bereken het geluidsniveau in decibel, afgerond op één decimaal.

Schrijf de formule op: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \log(5\,000\,000)$ = $L = 10 \log(5\,000\,000)$

Bereken de logaritme: $5\,000\,000 = 5 \times 10^6$, dus $\log(5\,000\,000) = \log 5 + 6 \approx 6{,}69897$ = $\approx 6{,}69897$

Vermenigvuldig met 10: $L \approx 10 \times 6{,}69897 = 66{,}9897$ = $66{,}9897$

Rond af op één decimaal: De tweede decimaal is $8$, dus rond je naar boven af = $L \approx 67{,}0$ dB

Answer: $L \approx 67{,}0$ dB

Twee aardbevingen vergelijken

Een aardbeving meet $7{,}3$ op de schaal van Richter en een andere $5{,}1$. Hoeveel keer zo groot is de amplitude van de sterkste? Rond af op een geheel getal.

Bepaal het verschil in magnitude: $d = 7{,}3 - 5{,}1 = 2{,}2$ = $d = 2{,}2$

Zet het verschil om in een verhouding: Elke hele stap op de schaal vermenigvuldigt de amplitude met $10$, dus de verhouding is $10^{d} = 10^{2{,}2}$ = $10^{2{,}2}$

Bereken de macht: $10^{2{,}2} = 10^2 \times 10^{0{,}2} \approx 100 \times 1{,}58489 = 158{,}489$ = $\approx 158{,}489$

Rond af op een geheel getal: $158{,}489 \approx 158$ = $158$

Answer: De amplitude is ongeveer $158$ keer zo groot (niet $2{,}2$ keer!)

Wanneer is je spaargeld verdubbeld?

Je zet 1000 € op een rekening met $5\,\%$ rente, die één keer per jaar wordt bijgeschreven (rente op rente). Hoe lang duurt het tot het saldo 2000 € is? Geef $t$ afgerond op twee decimalen en daarna het aantal hele jaren dat nodig is.

Schrijf de groeivergelijking op: $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ = $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$

Maak de macht vrij: Deel beide kanten door $1000$ = $1{,}05^t = 2$

Neem van beide kanten ln en gebruik de machtsregel: $\ln(1{,}05^t) = \ln 2 \Rightarrow t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2$ = $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$

Bereken en rond af op twee decimalen: $t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$ = $t \approx 14{,}21$ jaar

Interpreteer: de rente komt één keer per jaar: Na 14 jaar: $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1979{,}93$ (nog niet). Na 15 jaar: $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2078{,}93$ = $15$ hele jaren

Answer: $t \approx 14{,}21$ jaar, dus het saldo bereikt voor het eerst 2000 € na $15$ hele jaren

De halveringstijd van een medicijn

Een patiënt neemt $400$ mg van een medicijn met een halveringstijd van $6$ uur. Na hoeveel uur is er nog maar $30$ mg over? Rond af op één decimaal.

Schrijf het model met halveringstijd op: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = 30$ = $400 \cdot 0{,}5^{t/6} = 30$

Maak de macht vrij: $0{,}5^{t/6} = \frac{30}{400} = 0{,}075$ = $0{,}5^{t/6} = 0{,}075$

Neem van beide kanten ln: $\frac{t}{6} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}075$ = $\frac{t}{6} = \frac{\ln 0{,}075}{\ln 0{,}5} \approx 3{,}73697$

Vermenigvuldig met 6 en rond af: $t \approx 6 \times 3{,}73697 \approx 22{,}4218$ = $t \approx 22{,}4$ uur

Answer: Ongeveer $22{,}4$ uur (iets minder dan 4 halveringstijden, want na 4 halveringstijden zou er nog $25$ mg over zijn)

Mistake: Zeggen dat een aardbeving met magnitude 8 "2 keer" of "twee keer" zo sterk is als een met magnitude 6

Why: De schaal van Richter is logaritmisch: elke hele stap vermenigvuldigt de amplitude met 10. Verschillen in magnitude zijn exponenten, geen factoren.

Correct: Verhouding van de amplitudes $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$ keer.

Mistake: Het minteken in $\text{pH} = -\log[H^+]$ vergeten en een negatieve pH zoals $-3{,}49$ krijgen

Why: Concentraties zoals $0{,}00032$ zijn kleiner dan 1, dus hun logaritme is negatief. Het minteken in de formule maakt de pH positief.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Mistake: Het rentepercentage gebruiken in plaats van de groeifactor: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Why: Het saldo wordt elk jaar vermenigvuldigd met $1 + r = 1{,}05$, niet met $0{,}05$. Bovendien is $\ln 0{,}05$ negatief, wat een negatieve tijd zou geven.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ jaar. Bij afname gebruik je $1 - r$, bijvoorbeeld $0{,}85$ bij $15\,\%$ verlies.

Mistake: Te vroeg afronden, bijvoorbeeld $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$ schrijven

Why: Kleine afrondingen in een quotiënt worden groter: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ in plaats van $14{,}21$, ongeveer 4 maanden ernaast.

Correct: Reken met de volledige nauwkeurigheid van de rekenmachine (of minstens 5 significante cijfers) en rond alleen het eindantwoord af, zoals de opgave vraagt.

Zure regen

Milieuwetenschappers vergelijken de zuurgraad van regen met de pH. Omdat de pH een logaritme is, betekent een klein pH-verschil een groot verschil in waterstofionen.

Gewone regen heeft een pH van ongeveer $5{,}6$. Regen met pH $4{,}6$ heeft $10^{1} = 10$ keer zoveel waterstofionen.

Gehoorbescherming bij concerten

Geluidstechnici en audiologen werken in decibel. Oordoppen worden beoordeeld op hoeveel ze de geluidsintensiteit verminderen.

Als je de intensiteit door $10$ deelt, daalt het niveau $10$ dB, deel je door $100$, dan daalt het $20$ dB.

Een spaardoel plannen

Financieel adviseurs gebruiken logaritmen om te berekenen hoeveel jaar een belegging nodig heeft om een doel te halen.

Bij $4\,\%$ per jaar wordt het geld elk jaar met $1{,}04$ vermenigvuldigd, dus het aantal jaren is $t = \frac{\ln(\text{doel}/\text{start})}{\ln 1{,}04}$.

Q: Gebruik ik log of ln om de tijd te berekenen?

A: Allebei werkt, zolang je boven en onder dezelfde gebruikt: $\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$. De formules voor pH en decibel zijn gedefinieerd met de briggse logaritme $\log$ (grondtal 10), dus daar gebruik je $\log$.

Q: Waarom is het antwoord 15 jaar als de rekenmachine 14,21 geeft?

A: De vergelijking behandelt de tijd als continu, maar een bank schrijft de rente maar één keer per jaar bij. Na 14 jaar zit het saldo nog onder het doel, dus heb je de 15e rentebetaling nodig. Vraag je altijd af of de situatie delen van een jaar toelaat.

Q: Kan een pH negatief zijn of groter dan 14?

A: Wiskundig wel: $[H^+] = 2$ mol/L geeft $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. In de dagelijkse scheikunde liggen bijna alle oplossingen echter tussen 0 en 14.

Q: Is er een snelle schatting voor de verdubbelingstijd?

A: De "regel van 72" zegt dat de verdubbelingstijd ongeveer $72 \div (\text{rente in }\%)$ is. Bij $5\,\%$: $72 \div 5 = 14{,}4$ jaar, dicht bij de exacte $14{,}21$. Gebruik logaritmen als de opgave een exact antwoord vraagt.